Racionális törtfüggvény

A racionális törtfüggvény a valós számok halmazának olyan önmagára való leképezése, amelyben a hozzárendelést két polinom hányadosával adjuk meg: $y=\frac{P_m(x)}{Q_n(x)}=\frac{a_m{x}^m+a_{m-1}{x}^{m-1}+...+a_{1}x+a_0}{b_n{x}^n+b_{n-1}{x}^{n-1}+...+b_{1}x+b_0}$ . A függvény két polinomfüggvény, vagyis racionális egészfüggvény hányadosa. Az együtthatók lehetnek racionális, valós vagy komplex számok, az egyetlen kikötés, hogy $Q_n(x)$ nem lehet nulla, emiatt nem lehet az azonosan nulla polinom. A leképezés értelmezési tartománya azokból a valós számokból áll, amelyekre $Q_n(x)$ nem nulla.

Típusai

Ha a $Q_n$ polinom foka nulla, azaz konstans, akkor a függvény polinomfüggvény, vagyis racionális egészfüggvény. Egyébként, ha a nevező foka nagyobb, akkor valódi racionális törtfüggvényről van szó. Ha ez nem teljesül, akkor a racionális törtfüggvény nem valódi. Polinomosztással egy polinom és egy racionális törtfüggvény összegeként ábrázolható. A táblázat mutat néhány példát a számláló különböző $z$ fokaira és a nevező különböző $n$ fokaira:

Példa	Alternatív írásmód	z =	n =	Függvénytípus
$f:x\mapsto \frac{3x^3-4x+5}{2}$	$f:x\mapsto \frac{3}{2}{x}^3-2x+\frac{5}{2}$	3	0	racionális egészfüggvény
$f:x\mapsto \frac{2x-1}{x^2+1}$		1	2	valódi racionális törtfüggvény
$f:x\mapsto \frac{(x-1{)}^2\cdot (x+2)}{x\cdot (2-3x^2)}$	$f:x\mapsto \frac{x^3-3x+2}{2x-3x^3}$	3	3	nem valódi racionális törtfüggvény
$f:x\mapsto x+1+\frac{1}{x-1}$	$f:x\mapsto \frac{x^2}{x-1}$	2	1	nem valódi racionális törtfüggvény

Tulajdonságai

Mivel $Q_n(x)$-nek legfeljebb n nullhelye van, a függvény értelmezési tartománya legfeljebb n+1 nyílt intervallum uniója. Ezeken a nyílt intervallumokon a függvény folytonos és akárhányszor differenciálható. Az összefüggő zárt résztartományokon integrálható. A függvény grafikonja általában egy vagy több aszimptotával rendelkezik.

Fokszám, rendszám

Az m illetve n fokszámú polinomokkal definiált törtfüggvényeket (m/n)-edfokúnak nevezzük, s a grafikonjuk r rendszámát az egyenletük implicit alakjában szereplő legmagasabb fokszámmal adjuk meg: $\{\begin{array}{l}y.Q_n(x)=P_m(x)\\ y.a_m{x}^m+\dots =a_n{x}^n+\dots \end{array}$ $\{\begin{array}{l}r=m+1,(m+1\ge n)\\ r=n,(m+1<n)\end{array}$

Fontosabb törtfüggvények

Fordított arányosság

A görbe hiperbola (kúpszelet), explicit illetve implicit egyenlete:

$y=\frac{a}{x};xy=a$

(Az ábrán $a<0$ együtthatójú görbe, aszimptotái a koordináta-rendszer tengelyei.)

Lineáris törtfüggvény

A függvény és grafikonja az egyenes arányosság transzformáltja.

Reciprok hatványfüggvény

Pontosabban: negatív egész kitevőjű hatványfüggvény. Grafikonja hiperbolikus típusú görbe. Páros kitevő esetén a két ága az Y tengelyre, páratlan kitevő esetén az origóra szimmetrikus.

Reciprok polinomfüggvény

Az n-edfokú polinom reciprokaként megadott racionális törtfüggvény, melynek grafikonja a nevezőtől függően változatos alakú és számú nyílt görbeívből áll. A görbe rendszáma: r = n+1. Az ábrán az $y=\frac{1}{a{x}^2+bx+c}$ explicit alakban adott harmadrendű görbe látható. (Ennek speciális esete az Agnesi-féle görbe)

Aszimptotika

A racionális törtfüggvényeknek szakadásuk van a nevező gyökeinél. Emellett még a végtelenben vett viselkedés is kérdéses. A végtelenben vett viselkedés szempontjából a nevező és számláló foka döntő fontossággal bír. A szakasz további részében $z$ a számláló, $n$ a nevező fokszáma. Ha $x\to \mathrm{\infty }$, akkor $f(x)$

• tart $\mathrm{sgn}\left(\frac{a_z}{b_n}\right)\cdot \mathrm{\infty }$-hez, hogyha $z>n$, ahol $\mathrm{sgn}$ a szignumfüggvény.
• tart $\frac{a_z}{b_n}$-hez, ha $z=n$ (az aszimptota párhuzamos az $x$-tengellyel),
• tart $0$-hoz (az $x$-tengely vízszintes aszimptota), ha $z<n$.

Ha $x\to -\mathrm{\infty }$, akkor a második és a harmadik esetben ugyanaz a határérték, mint $x\to \mathrm{\infty }$ esetén. A többi eset:

• Ha $z-n$ páros, akkor az érték ugyanaz, mint $x\to \mathrm{\infty }$ esetén.
• Ha $z-n$ páratlan, akkor az előjel ellentettje az $x\to \mathrm{\infty }$ értékének.

Ahogy majd később írjuk, polinomosztással a függvény felbontható egy polinom és egy valódi racionális törtfüggvény összegére. A polinom aszimptotikus görbét ad. A $z=n+1$ speciális esetben ferde aszimptota adódik. Az aszimptotikus görbe vizsgálatával az $x\to \pm \mathrm{\infty }$ viselkedése egyszerűbben elemezhető. Példák:

• Az $f:x\mapsto \frac{2x-1}{x^2+1}$ lineáris törtfüggvény esetén a számláló foka $z=1$ és a nevező foka $n=2$, így az $x\to \pm \mathrm{\infty }$ határérték $0$.
• Az $f:x\mapsto \frac{x^3-3x+2}{2x-3x^3}$ racionális törtfüggvény számlálójának foka $z=3$, nevezőjének foka $n=3$; a főegyütthatók $a_3=1$ und $b_3=-3$, tehát adódik az aszimptota egyenlete: $y=-\frac{1}{3}$.
• Az $f:x\mapsto \frac{x^2}{x-1}$ racionális törtfüggvény számlálójának foka $z=2$, nevezőjének foka $n=1$; az $a_2=1$ és $b_1=1$ főegyütthatókkal adódik, hogy

$f(x)\to \mathrm{sgn}\left(\frac{1}{1}\right)\cdot \mathrm{\infty }=+\mathrm{\infty }$, ha $x\to \mathrm{\infty }$. Mivel $z-n=1$ páratlan, azért $x\to -\mathrm{\infty }$ határértékének előjele az előző ellentettje. A függvény írható úgy is, mint $f:x\mapsto x+1+\frac{1}{x-1}$, a ferde aszimptota egyenlete $y=x+1$, amivel az előbbi értékek könnyebben adódnak.

Diszkusszió

Az $f=\frac{p}{q}:x\mapsto \frac{p(x)}{q(x)}$ függvényterm grafikonjának elemzésére a következő diszkusszió végezhető.

Szimmetria

Mivel szakadásai a $q$ gyökeiben vannak, a gyökök száma pedig véges, azért az $f$ periodikusságáról nem lehet szó. Egy polinomfüggvény akkor páros vagy páratlan, ha minden kitevője páros vagy páratlan. Ha a számláló és a nevező típusa is ilyen, akkor az $f$ racionális törtfüggvény páros vagy páratlan. Nevezetesen:

• Ha $p$ és $q$ egyszerre páros vagy páratlan, akkor a racionális törtfüggvény páros.
• Ha $p$ és $q$ egyike páros, másika páratlan, akkor $f$ páratlan.

Egyéb esetben nehéz $f$ szimmetriáját meghatározni. Példák:

• Az $f(x)=\frac{2x^3-3x}{x^2+1}$ függvény szimmetrikus az origóra, mivel $p$ páratlan és $q$ páros, a függvény páratlan.
• Az $f:x\mapsto \frac{x^5-x^3}{x^3+x}$ függvény szimmetrikus az y tengelyre, mivel $p$ és$q$ is páratlan, így a hányados függvény páros. Kiemelve egy x-et a számlálóból és a nevezőből, egyszerűsíthetjük a függvényt az $f(x)=\frac{x^4-x^2}{x^2+1}*\frac{x}{x}$. Mivel itt $p$ és $q$ páros, azért a hányados függvény is páros.
• Az $f(x)=\frac{x}{x-1}$ függvényről nem lehet szimmetriát megállapítani az alakja alapján, de megmutatható, hogy szimmetrikus a P(1, 1) pontra, ugyanis:

  $f(1+x)-1=\frac{1+x}{(1+x)-1}-1=\frac{1+x}{x}-\frac{x}{x}=\frac{1}{x}$ és

  $1-f(1-x)=1-\frac{1-x}{(1-x)-1}=\frac{x}{x}+\frac{1-x}{x}=\frac{1}{x}$.

Eszerint elvégezve az átalakításokat $f(1+x)-1=1-f(1-x)$, tehát szimmetrikus az szimmetrikus a P(1, 1) pontra. Egy alternatív módszer, hogy belátjuk, hogy a függvény megkapható $g:x\mapsto \frac{1}{x}$-ből eltolással, azaz 1-gyel x irányba, és 1-gyel y irányba.

Értelmezési tartomány, nevezetes pontok

A racionális törtfüggvény nincs értelmezve a $q$ polinom gyökeiben. Nullhelyei azok a helyek, melyek gyökei $p$-nek, de nem gyökei $q$-nak. Speciális esetben az $a\in \mathbb{ℝ}$ valós szám mind a számlálónak, mind a nevezőnek gyöke. Polinomosztással kiemelhető egy vagy több $x-a$ tényező mind a számlálóból, mind a nevezőből. Hogy hányszor, azt a gyök multiplicitásának nevezik.

• Ha a nevezőben nagyobb a multiplicitás, akkor a hely pólushely, és a nevezőbeli multiplicitás a pólushely multiplicitása.
• Különben a szakadás megszüntethető.

Példák:

• Az $f:x\mapsto \frac{x-1}{(2x-4{)}^2}$ függvény értelmezési tartománya $\mathbb{𝔻}=\mathbb{ℝ}\setminus \{2\}$, mivel a $q:x\mapsto (2x-4{)}^2$ nevezőnek nullhelye $x=2$. A függvénynek nullhelye van $x=1$-ben, mivel ez a $p:x\mapsto x-1$ számlálónak egy olyan nullhelye, ami nem gyöke a nevezőnek. $x=2$ kétszeres pólus.
• Az $f:x\mapsto \frac{x^2-x}{x^2-1}$ függvény értelmezési tartománya ${\mathbb{𝔻}}_f=\mathbb{ℝ}\setminus \{\pm 1\}$. Itt azonban 1 a számláló és a nevező közös gyöke. Kiemelve az $(x-1)$ tényezőt, adódik, hogy $f:x\mapsto \frac{x\cdot (x-1)}{(x+1)\cdot (x-1)}$. Innen $x=-1$ egyszeres pólus, $x=1$ megszüntethető szakadás, $x=0$ nullhely. Az $x=1$ helyen nincs nullhely, mivel itt a függvény nincs értelmezve. $f$ folytonos folytatására $\tilde{f}(x)=\frac{x}{x+1}$ és ${\mathbb{𝔻}}_{\tilde{f}}=\mathbb{ℝ}\setminus \{-1\}$.

Aszimptoták

Polinomosztással kapjuk a függvény $p=g\cdot q+r$ alakját, ahol $g$ és $r$ polinomok, és $r$ fokszáma kisebb, mint $q$ fokszáma. Az $f=\frac{p}{q}=g+\frac{r}{q}$ függvény aszimptotikus viselkedését a $g$ polinom határozza meg. A polinomosztást csak a harmadik és a negyedik esethez érdemes elvégezni.

1. $z<n$ → az x-tengely aszimptota: $g(x)=0$
2. $z=n$ → függőleges aszimptota: $g(x)=\frac{a_z}{b_n}$
3. $z=n+1$ → ferde aszimptota: $g(x)=mx+c;m\ne 0$ (a 4-es speciális esete)
4. $z>n+1$ → racionális egészfüggvény mint közelítőfüggvény, lásd approximáció

Derivált

A racionális törtfüggvények deriválásához általában a hányadosszabályt lehet használni, habár gyakran a láncszabály is hasznos lehet, például ha a nevező egy kéttagú összeg hatványa. A deriválás előtt előnyös elvégezni a polinomosztást, a számláló és a nevező közös tagjainak kiemelését egy külön tényezőbe, hogy a függvény alakja minél egyszerűbb legyen. Példák:

• Az $f:x\mapsto \frac{2x-1}{(x^2+1{)}^2}$ függvény esetén érdemes a láncszabályt is használni, mivel a nevezőben binom hatványa szerepel. A láncszabállyal a $q$ nevező deriváltja:

  $q^{\prime }(x)=2(x^2+1)\cdot 2x=4x(x^2+1)$,

így a teljes függvény deriváltja

$f^{\prime }(x)=\frac{2\cdot (x^2+1{)}^2-(2x-1)\cdot 4x(x^2+1)}{(x^2+1{)}^4}$.

A számlálóban kiemelhetünk egy $(x^2+1)$ tényezőt:

$f^{\prime }(x)=\frac{2\cdot (x^2+1)-(2x-1)\cdot 4x}{(x^2+1{)}^3}\frac{(x^2+1)}{(x^2+1)}$.

• Az $f(x)=\frac{x^4+x^3-7x^2-12x-4}{3x^3+12x^2+12x}$ függvény polinomosztással

  $f(x)=\frac{1}{3}x-1+\frac{x^2-4}{3x^3+12x^2+12x}$

alakra hozható, ahonnan leolvasható a ferde aszimptota egyenlete:

$y=\frac{1}{3}x-1$.

A számláló és a nevező tényezőkre bontása:

$f(x)=\frac{1}{3}x-1+\frac{(x+2)(x-2)}{3x(x+2{)}^2}$,

felismerhető és kiemelhető mindkét helyen egy $(x+2)$ tényező. A deriválásra előkészített alak:

$f(x)=\frac{1}{3}x-1+\frac{x-2}{3x^2+6x}\frac{(x+2)}{(x+2)}$;

az egyszerűség kedvéért ebből az

$f(x)=\frac{1}{3}x-1+\frac{x-2}{3x^2+6x}$;

tényezőt fogjuk deriválni. A hányadosszabállyal

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{3}+\frac{1\cdot (3x^2+6x)-(x-2)\cdot (6x+6)}{(3x^2+6x{)}^2}=\frac{1}{3}+\frac{-3x^2+12x+12}{(3x^2+6x{)}^2}=\frac{1}{3}+\frac{-x^2+4x+4}{3x^2(x+2{)}^2}$.

A szélsőértékek kereséséhez a deriváltat újra beszorozzuk az elhagyott tényezővel:

$f^{\prime }(x)=\frac{x^2(x+2{)}^2-x^2+4x+4}{3x^2(x+2{)}^2}=\frac{x^4+4x^3+3x^2+4x+4}{3x^2(x+2{)}^2}$.

Primitív függvény

A racionális egészfüggvényekkel szemben a racionális törtfüggvényeknek gyakran viszonylag nehéz meghatározni a primitív függvényét. A racionális törtfüggvény alakja szerint a következő összefüggéseket lehet használni, amihez általában a megfelelő alakra kell hozni:

$\int \frac{1}{mx+a}dx=\frac{1}{m}\cdot \ln (mx+a)+C$ ha $m,a\in \mathbb{ℝ},m\ne 0$

$\int \frac{1}{(mx+a{)}^n}dx=\frac{1}{m}\cdot \frac{-1}{n-1}\cdot \frac{1}{(mx+a{)}^{n-1}}+C$ ha $m,a\in \mathbb{ℝ},m\ne 0,n\in \mathbb{\mathbb{N}}\setminus \{0;1\}$

$\int \frac{1}{x^2+1}dx=\arctan (x)+C$ vagy $=-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{)}\mathrm{+}\mathrm{C}$

$\int \frac{1}{x^2-1}dx=\mathrm{artanh}(x)+C=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ ha $|x|<1$

$\int \frac{1}{x^2-1}dx=\mathrm{arcoth}(x)+C=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right)$ ha $|x|>1$

$\int \frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}dx=\ln |u(x)|+C$ ha $u(x)\ne 0$

Szükség lehet a parciális törtekre bontásra is. Példák:

• Keressük az $f(x)=\frac{5x-1}{3x+2}$ függvény primitív függvényét. Polinomosztással:

  $f(x)=\frac{5}{3}-\frac{13}{9x+6}$.

Az első szabály alkalmazásával a primitív függvény:

$F(x)=\frac{5}{3}x-\frac{13}{9}\ln (9x+6)$.

• Keressük az $f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}$ függvény primitív függvényét, ha $x$ abszolútértéke legfeljebb 0,5. Polinomosztással

  $f(x)=1+\frac{2}{x^2-1}$.

A negyedik szabállyal:

$F(x)=x+2\cdot \mathrm{artanh}(x)$.

• Keressük az $f(x)=\frac{x+2}{x^2+4x+5}$ függvény primitív függvényét. A függvény írható úgy is, mint

  $f(x)=\frac{1}{2}\frac{2x+4}{x^2+4x+5}=\frac{1}{2}\frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}$, ahol $u(x)=x^2+4x+5$.

Az utolsó szabály primitív függvénye:

$F(x)=\frac{1}{2}\ln (x^2+4x+5)$.

• Az $f(x)=\frac{1}{x^2+2x+2}$ függvény primitív függvénye az $y=x+1$ helyettesítéssel határozható meg, miután a nevezőt teljes négyzetté alakítottuk:

  $\begin{array}{rl}\int \frac{1}{x^2+2x+2}dx& =\int \frac{1}{(x+1{)}^2+1}dx=\int \frac{1}{y^2+1}dy\\ & =\arctan (y)+C=\arctan (x+1)+C\end{array}$

• Az $f(x)=\frac{1}{x^2-x-6}$ primitív függvénye parciális törtekre bontással kapható a kiemelések után:

  $\begin{array}{rl}\int \frac{1}{x^2-x-6}dx& =\int \frac{1}{(x-3)(x+2)}dx=\int \frac{1}{5}(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+2})dx\\ & =\frac{1}{5}(\ln (x-3)-\ln (x+2))+C=\frac{1}{5}\ln \left(\frac{x-3}{x+2}\right)+C\end{array}$

Alkalmazások

A természettudományokban és a technikában számos alkalmazásuk van a racionális törtfüggvényeknek:

• A legegyszerűbb példa a fordított arányosság, két mennyiség szorzata állandó. Példák:

• Rögzített út megtételéhez szükséges idő és sebesség.
• Adott mennyiségű oldott anyag koncentrációja fordítottan arányos az oldószer térfogatával.
• Adott erő esetén a gyorsított test tömege és gyorsulása.
• Egy síkkondenzátor $C$ elektromos kapacitása a lemezek közötti $d$ távolság függvényében:

$C(d)={ϵ}_0{ϵ}_r\frac{A}{d}$,

ahol $A$ a lemezek felülete, ${ϵ}_0$ a vákuum permittivitása, és ${ϵ}_r$ a permittivitás.

• A fizika több területén is előkerül az $f(x;y)=\frac{xy}{x\pm y}$ függvény a harmonikus középpel összefüggően. Ha az egyiket paraméternek tekintjük vagy adottnak vesszük, akkor a másik racionális törtfüggvénye adódik. KÉt másik függvény reciprokainak összegének reciprokáról van szó.

• Az optikában egy lencse $f$ gyújtótávolsága a tárgy $t$ és a kép $k$ távolságágából számítható: $f(t;k)=\frac{tk}{t+k}$; átrendezve hasonló képlet adódik, de összeadás helyett kivonással.
• Párhuzamos kapcsolás esetén két ellenállás, $R_1$ és $R_2$ együttes ellenállása: $R=\frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}$. Hasonló teljesül két sorosan kapcsolt kondenzátor kapacitására.
• A mechanikában ha két rugót egymás után függesztünk, és rugóállandójuk $D_1$ és $D_2$, akkor az együttes rugóállandó $D=\frac{D_1{D}_2}{D_1+D_2}$.
• Feszültségelosztó esetén egy $R$ ellenálláson eső $U$ feszültség $U(R)=\frac{U_{0}R}{R+R^{\prime }}$, ahol $U_0$ az elosztandó feszültség és $R^{\prime }$ a másik ellenállás.
• Egy $R$ ellenállású fogyasztó által leadott $P$ teljesítményére adódik, hogy $P(R)=\frac{U^{2}R}{(R+R_i{)}^2}$, ahol $U$ feszültség és $R_i$ a feszültségforrás belső ellenállása. A legnagyobb lehetséges teljesítmény: $R=R_i$.
• Egy nem túl rövid $L$ induktivitású tekercsre az $r$ sugárral összefüggésben teljesül a következő: $L(r)=\frac{{\mu }_0{N}^2\pi r^2}{l+r/1,1}$, ahol $l$ a tekercs hossza, $N$ a menetek száma, ${\mu }_0$ a mágneses mező konstansa.
• Egy Atwood-féle gép esetén az $a$ gyorsulás a következőképpen függ $m$ és $M$ tömegektől: $a=\frac{m}{2M+m}\cdot g$; $a$ tekinthető $m$ vagy $M$ racionális törtfüggvényének.

• A geometria is felvethet olyan kérdéseket, amelyekre racionális törtfüggvény adja a választ: Egy test egy $l$, $2r$, és $r$ élű téglatest és egy erre illesztett $l$ magasságú, $r$ sugarú félhenger egyesítése. Adott térfogat esetén a felszín: $A(r)=\frac{(\pi +4)r^3+2V}{r}$.

Polinomok hányadosteste

Az absztrakt algebrában a polinomok hányadosteste hasonlóan áll elő polinomokból. Egy $K$ test fölötti $n$ változós polinomgyűrű hányadostestéről van szó absztrakt értelemben. A racionális törtfüggvények szoros kapcsolatban állnak a polinomok gyűrűjének hányadostestével, de a két fogalom nem azonos. Például a $p(x)=\frac{x-1}{x^2-1}$ és a $q(x)=\frac{1}{x+1}$ kifejezések mint a valós együtthatós polinomok hányadostestének elemei egyenlőek, mivel ott $x^2-1$ osztható $x-1$-gyel, és a hányados $x+1$. De ha $p(x)$-et és $q(x)$-et mint racionális törtfüggvényeket tekintjük, akkor nem egyenlőek, hiszen $q(x)$ értelmezhető az $x=1$ helyen, $p(x)$ viszont nem. Véges test fölött a különbségtétel még egyszerűbb: ${\mathbb{𝔽}}_p$ (maradékosztályok teste modulo egyp prímszám) fölött definiált hányadostestben $\frac{1}{X^p-X}$ jóldefiniált racionális függvénye $X$-nek, habár szűkebb értelemben véve nem függvény, mivel sehol sem értelmezhető. Ugyanis behelyettesítve $x\in {\mathbb{𝔽}}_p$ elemeit, kapjuk, hogy $\frac{1}{x^p-x}$, ami nem értelmezhető, hiszen $x^p-x$ a kis Fermat-tétel miatt azonosan nulla. Végtelen test fölött ugyanez nem fordulhat elő, csak viszonylag kevés helyen nincs egy racionális törtfüggvény értelmezve. A Zariski-topológia szerint azok a helyek, ahol a függvény nincs értelmezve, Zariski-zárt halmazt alkotnak, és az értelmezési tartomány lezártja a teljes halmaz. Legyen $V$ varietás, amit az $f_1,\dots ,f_m\in k[x_1,\dots ,x_n]$ polinomok definiálnak. Azaz

$V=\{x\in {\mathbb{𝔸}}^n\mid f(x)=0\text{ minden }f\in S\}$ esetén. Vagyis

$I(V)=\{f\in k[x_1,\dots ,x_n]\mid f(x)=0\text{ ha }x\in V\}.$

Az egfész függvények gyűrűje $k[x_1,\dots ,x_n]/I(V)$. A racionális függvények teste ennek hányadosteste. Általánosabb a racionális leképezések fogalma, azaz a kvázi-projektív varietásoké. A racionális függvények egy varietás ${\mathbb{𝔸}}^1$-be menő racionális leképezéseinek speciális esetei.

Források

A Wikimédia Commons tartalmaz Racionális törtfüggvény témájú médiaállományokat.

• Rationale Funktionen - Ein Digitales Lehrbuch © 2000 - 2001 by Henning Koch

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Rationale Funktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Irodalom

• Bronstein – Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963 1053091
• Dr. Hack & all.: Négyjegyű függvénytáblázatok,…(Nemzeti Tankönyvkiadó, 2004) ISBN 978-963-19-5703-7
• Reiman István: Matematika (Műszaki Könyvkiadó, 1992)
• Reinhardt, F. – Soeder, H.: SH atlasz-Matematika (Springer-Verlag, 1993)
• Sain Márton: Matematikatörténeti ABC (Nemzeti Tankönyvkiadó - Typotex, 1993)
• Szász Pál: A differenciál- és integrálszámítás elemei (Közoktatásügyi Kiadóvállalat, 1951)
• Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.