Rangkorreláció

A rangkorreláció vagy rangkorrelációs együttható a valószínűségszámításban valószínűségi változók közötti kapcsolatot vizsgál a korrelációhoz hasonlóan. Az összefüggést tetszőleges monoton függvény szerint képes vizsgálni, eloszlásuk vizsgálata nélkül. A korrelációval szemben a rangkorreláció nemcsak lineáris kapcsolatot tud leírni, továbbá a kilógó adatok sem zavarják. Közelebbről két rangkorrelációs együtthatót használnak: az egyik a Spearman-rhó, a másik a Kendall-tau. Több megfigyelő észlelései közötti összefüggés vizsgálatára alkalmas a W konkordanciaegyüttható.

Számítása

$N$ mérésből álló párral kezdünk, jelölje ezeket $(x_i,y_i)$. A rangkorreláció minden $x_i$ értékhez relatívan meghatároz egy ragot a többi $x_j$ értékkel szemben, azaz hozzárendel egy számot $1,2,3,\dots ,N$ közül. Ezután kezelhetők ezek a számok úgy, mintha egyenletes eloszlásból származnának. Ha minden $x_i$ különböző, akkor minden szám egyszer fordul elő. Ha vannak köztük egyenlőek, akkor a középső értéket kapják, mint amit akkor rendelnének hozzájuk, ha mind különbözőek lennének. Ekkor kapcsolatokról, vagy döntetlenekről beszélnek. Ez a szám lehet egész, vagy félegész. Mindkét esetben a számok összege ugyanannyi, azaz 1-től $N$-ig, vagyis $N(N+1)/2$. Ugyanezt elvégzik az $y_i$ értékekkel is, mindegyiket az $y_j$-kkel szembeni rangjával helyettesítik. Az intervallumskálázott adatok helyettesítésével információt vesztünk, számítása azonban értelmes lehet robosztussága miatt. Ez azt jelenti, hogy kevésbé érzékeny a kilógó adatokra és a hibákra, ahogy a medián is kevésbé érzékeny ezekre, mint az átlag. Rangsorok közötti kapcsolat felderítésében a rangkorrelációnak nincs alternatívája.

Spearman-rangkorreláció

A Spearman-rangkorrelációt Charles Spearman után nevezték el, és gyakran a ρ betűvel illetve $r_s$-sel jelölik. Elméletben ρ a Pearson szorzat-momentum-korreláció speciális esete, ahol az adatokat ranggá konvertálják, mielőtt kiszámítják a rangkorrelációt:

$r_s=\frac{\sum _i(rg(x_i)-{\overline{rg}}_x)(rg(y_i)-{\overline{rg}}_y)}{\sqrt{\sum _i(rg(x_i)-{\overline{rg}}_x{)}^2}\sqrt{\sum _i(rg(y_i)-{\overline{rg}}_y{)}^2}}=\frac{\frac{1}{n}\sum _i(rg(x_i)rg(y_i))-\overline{r{g}_{x}r{g}_y}}{s_{r{g}_x}{s}_{r{g}_y}}=\frac{\mathrm{Cov}(r{g}_x,r{g}_y)}{s_{r{g}_x}{s}_{r{g}_y}}.$

Ahol

$rg(x_i)$ az $x_i$ rangja,

${\overline{rg}}_x$ az $x$ rangjainak középértéke,

$s_{r{g}_x}$ az $x$ rangjainak tapasztalati szórása,

$\mathrm{Cov}(rg(x),rg(y))$ $rg(x)$ és $rg(y)$

kovarianciája.

Speciális esetek

A gyakorlatban inkább egy egyszerűbb képletet használnak, ami akkor ad helyes eredményt, ha minden rang különbözik. A nyers adatokat konvertálják, és minden párra kiszámítják a $d_i$ különbséget, jelben $d_i=rg(x_i)-rg(y_i)$. Ezzel a ρ

$r_s=1-\frac{6\sum _i{d}_i^2}{n\cdot (n^2-1)},$

ahol $n$ az értékpárok száma. Ellenben ha vannak egyező értékek, ez a képlet nem ad pontos eredményt, de ha nem sok helyen azonosak az értékek, akkor az eltérés kicsi. A pontos eredményt egy bonyolultabb képlet adja:

$r_s=\frac{n^3-n-\frac{1}{2}{T}_x-\frac{1}{2}{T}_y-6\sum _i{d}_i^2}{\sqrt{(n^3-n-T_x)(n^3-n-T_y)}}$

ahol $T_{\bullet }=\sum _k(t_{\bullet ,k}^3-t_{\bullet ,k})$.; $t_{\bullet ,k}$ az azonos rangú megfigyelések száma, továbbá $\bullet$ $X$ vagy $Y$ helyett áll.

Példák

Első példa

Például vizsgáljuk különböző emberek magasságát és testsúlyát. A magasságok 175 cm, 178 cm és 190 cm; a testsúlyok rendre 65 kg, 70 kg és 98 kg. Ebben az esetben maximális rangkorreláció adódik, mivel a legkisebb ember a legkönnyebb és a legnagyobb ember a legnehezebb. Ha fordítva lenne, akkor a rangkorreláció is kicsi lenne. A rangkorreláció számszerűen fejezi ki az összefüggést két rangsor között.

Második példa

Adva legyenek megfigyelések két változóról, a-ról és b-ről:

i	1	2	3	4	5	6	7	8
$a_i$	2,0	3,0	3,0	5,0	5,5	8,0	10,0	10,0
$b_i$	1,5	1,5	4,0	3,0	1,0	5,0	5,0	9,5

A rangok meghatározására rendezik az értékeket, és normálják, azaz egyező értékek esetén középértéket vesznek. Ezután helyreállítják az eredeti sorrendet, hogy képezhessék a különbségeket.

Bemenet	Rendezés(érték)	Rang	Rendezés(index)
$\begin{array}{cc}\text{Index}& \text{Érték}\\ 1& 1,5\\ 2& 1,5\\ 3& 4,0\\ 4& 3,0\\ 5& 1,0\\ 6& 5,0\\ 7& 5,0\\ 8& 9,5\\ \end{array}$	$\begin{array}{cc}\text{Index}& \text{Érték}\\ 5& 1,0\\ 1& 1,5\\ 2& 1,5\\ 4& 3,0\\ 3& 4,0\\ 6& 5,0\\ 7& 5,0\\ 8& 9,5\\ \end{array}$	$\begin{array}{cccc}\text{Index}& \text{Érték}& \text{Rang}& \text{Normálva}\\ 5& 1,0& 1& 1\\ 1& 1,5& 2& (2+3)/2\\ 2& 1,5& 3& =2,5\\ 4& 3,0& 4& 4\\ 3& 4,0& 5& 5\\ 6& 5,0& 6& (6+7)/2\\ 7& 5,0& 7& =6,5\\ 8& 9,5& 8& 8\\ \end{array}$	$\begin{array}{ccc}\text{Index}& \text{Érték}& \text{Normált rang}\\ 1& 1,5& 2,5\\ 2& 1,5& 2,5\\ 3& 4,0& 5,0\\ 4& 3,0& 4,0\\ 5& 1,0& 1,0\\ 6& 5,0& 6,5\\ 7& 5,0& 6,5\\ 8& 9,5& 8,0\\ \end{array}$

Az adatokból a következő köztes eredmény adódik:

a értékei	b értékei	a rangjai	b rangjai	$d=Rg(a)-Rg(b)$	$(Rg(a)-Rg(b){)}^2$
2,0	1,5	1,0	2,5	−1,5	2,25
3,0	1,5	2,5	2,5	0,0	0,00
3,0	4,0	2,5	5,0	−2,5	6,25
5,0	3,0	4,0	4,0	0,0	0,00
5,5	1,0	5,0	1,0	4,0	16,00
8,0	5,0	6,0	6,5	−0,5	0,25
10,0	5,0	7,5	6,5	1,0	1,00
10,0	9,5	7,5	8,0	−0,5	0,25
					$\sum =26$

A táblázat a értékei szerint vannak rendezve. Fontos, hogy az értékekhez rangok legyenek rendelve. A sorban kétszer jelenik meg a 3 érték, rangjuk az átlagos (2+3)/2 = 2,5. Ugyanez történik a b adatsornál is.

Werte von a	Werte von b	$t_{a,k}$	$t_{a,k}^3-t_{a,k}$	$t_{b,k}$	$t_{b,k}^3-t_{b,k}$
2,0	1,5	1	0	2	6
3,0	1,5	2	6	-	-
3,0	4,0	-	-	1	0
5,0	3,0	1	0	1	0
5,5	1,0	1	0	1	0
8,0	5,0	1	0	2	6
10,0	5,0	2	6	-	-
10,0	9,5	-	-	1	0
		$T_a=12$		$T_b=12$

A Horn-korrekcióval

$r_s=\frac{8^3-8-6-6-6\cdot 26}{\sqrt{(8^3-8-12)(8^3-8-12)}}=\frac{336}{492}\approx 0,6829.$

adódik.

A szignifikancia meghatározása

Teszt szempontjából a $\rho$ érték vizsgálata, hogy nullától különbözik-e, permutációteszt. Kiszámítják annak a valószínűségét is, hogy $\rho$ értéke legalább akkora-e, mint ahogy azt a nullhipotézis megjósolja. Ezt a módszert használhatják viszonylag kis adathalmazokon, amiken egyszerűen létrehozhatók a nullhipotézist valószínűsítő permutációk.

Kendall-tau

Szemben a Spearman-rhóval, a Kendell-tau a rangok közötti különbséget használja fel. Rendszerint a $\tau$ értéke kisebb, mint a $\rho$ értéke. A $\tau$ együtthatót érdemes intervallumskálázott adatokra használni, ha nem normális eloszlásúak, a skálák egyenetlen beosztásúak vagy a szúrópróba mérete kicsi.

Kiszámítása

A $\tau$ számításához tekintjük az $x$ szerint rendezett $(x_i,y_i)$ és $(x_j,y_j)$ párokat, ahol $i=1,\dots ,n-1$ és $j=i+1,\dots ,n$; továbbá

$x_1\le x_2\le \dots \le x_n.$

Az első párt az összes többivel összehasonlítjuk, a második párt az első kivételével mindegyikkel, és így tovább, az utolsót nem hasonlítjuk össze egyikkel sem. Tehát $n(n-1)/2$ páronkénti összehasonlítást végzünk. A következőket állapítjuk meg a párokról:

• Ha $x_i<x_j$ és $y_i<y_j$, akkor konkordáns.
• Ha $x_i<x_j$ és $y_i>y_j$, akkor diszkordáns.
• Ha $x_i\ne x_j$ és $y_i=y_j$, akkor kötés van $Y$-ban.
• Ha $x_i=x_j$ és $y_i\ne y_j$, akkor kötés van $X$-ben.
• Ha $x_i=x_j$ és $y_i=y_j$, akkor kötés van $X$-ben és $Y$-ban.

Megszámoljuk a különböző párokat:

• A konkorodánsok száma $C$,
• a diszkordánsok száma $D$,
• az $Y$-beli kötések száma $T_Y$, pontosabban a kötésben lévő, Y beli elemekből képezhető, nem rendezett adatpárok száma
• az $X$-beli kötések száma $T_X$, és
• az $X$-beli és $Y$-beli kötések száma $T_{XY}$.

Példa

A T_x ill. T_y kiszámítása: Jelölje t_i a kötésben lévő (azonos) elemek i. csoportjának darabszámát az X halmazban. (pl. az X={1,2,2,5,3,8,8,8,2,9,8} adatsorban két ismétlődő adatcsoport van a "2" 3 alkalommal fordul elő, tehát t₁=3, míg a "8" 4 alkalommal, tehát t₂=4, további kötések nincsenek.) $$Tx=\sum _i(t_i*(t_i-1))/2$$A fenti adatsorra tehát Tx= ( 3*(3-1) + 4*(4-1) ) /2 = 9 Ty hasonlóan számolható az Y halmazra vonatkozóan.

A Kendall-$\tau$ a konkordáns és a diszkordáns párok számát hasonlítja össze:

$\tau =\frac{C-D}{\sqrt{(C+D+T_X)\cdot (C+D+T_Y)}}$

Ha $\tau$ pozitív, akkor több konkordáns pár van, mint diszkordáns. Ami azt jelenti, hogy ha $x_i\le x_j$, akkor valószínűbb, hogy $y_i\le y_j$. Ha negatív, akkor a diszkordáns párokból van több, vagyis ha $x_i\le x_j$, akkor az a valószínűbb, hogy $y_i\ge y_j$. Az $\sqrt{(C+D+T_X)\cdot (C+D+T_Y)}$ normálja a Kendall-$\tau$ értékét, így

$-1\le \tau \le +1.$

Tesztben

Tekintve egy $\mathrm{T}$ valószínűségi változót, Kendall belátta, hogy ha a tesztben

$H_0:\tau =0$ vs. $H_1:\tau \ne 0$,

akkor a nullhipotézis teljesülése esetén eloszlása approximatívan normális: $\mathrm{T}\sim {𝒩}(0;\frac{4n+10}{9n(n-1)})$. Az approximációs tezt mellett permutációteszt is végezhető.

További tau együtthatók

Kendall a fent definiált számértékek felhasználásával további három $\tau$ együtthatót definiált:

$\text{Kendall-}{\tau }_a=\frac{C-D}{n(n-1)/2}$

$\text{Kendall-}{\tau }_b=\frac{C-D}{\sqrt{C+D+T_x}\sqrt{C+D+T_y}}$ (lűsd fenn)

$\text{Kendall-}{\tau }_c=\frac{2m(C-D)}{(m-1)n^2}$

A ${\tau }_a$ csak akkor alkalmazható, ha nincsenek kötések. A ${\tau }_b$ nem négyzetes kontingenciatáblákon nem érheti el a $+1$ illetve $-1$ szélsőértékeket. Nem veszi figyelembe az $X$-ben és $Y$-ban levő kötéseket. Négypróbás tesztekben ${\tau }_b$ egyezik a $\mathrm{\Phi }$ együtthatókkal, és ha két, csak 0 és 1 értékeket felvevő valószínűségi változókat vizsgálunk, akkor a Pearson-korrelációval is.

Tetra- és polichorikus korreláció

A Likert-skálával kapcsolatban gyakran tetra- illetve polichorikus korrelációt számolnak. A tetrachorikus korrelációt bináris adatokhoz használják. Az alaphipotézis az, hogy a válaszadók valamilyen mérték szerint adtak választ arra, hogy szerintük mi mennyire teljesül rájuk. A megfigyelt $X_i$ ordinális változók mögött többnyire $X_i^{*}$ folytonos változók állnak. A nem megyfigyelt változók közötti kapcsolatot tetra- és polichorikus korrelációk fejezik ki. Használata akkor javallott, ha a Likert-itemek esetén kevesebb, mint hét. A gyakorlatban ehelyett a Bravais-Pearson-korrelációval dolgoznak, ám megmutatható, hogy ezzel alábecsülik a korrelációt.

Becslési módszerek

Feltéve, hogy a $X_i^{*}$ valószínűségi változók páronként kétváltozós normális eloszlásúak, a maximum-likelihood-módszerrel becsülhető a meg nem figyelt valószínűségi változók közötti korreláció. Ennek két módja van: Egylépéses módszer: Az ismeretlen korreláció és az ismeretlen intervallumhatárok a maximum-likelihood-függvény paraméterei; azaz egyetlen lépésben becslik őket. Kétlépéses módszer: Először az intervallumhatárokat becslik azzal a feltevéssel, hogy az $X_i^{*}$ változók eloszlása normális. A második lépésben kerül sor a korrelációra.

A tetrachorikus korreláció approximációs képlete

$X_1$\$X_2$	0	1
0	$n_{00}$	$n_{10}$
1	$n_{01}$	$n_{11}$

Két bináris változó esetén a tetrachorikus korreláció közelíthető úgy, mint

$r_{tet}=\cos \left(\frac{\pi }{1+\sqrt{\frac{n_{00}{n}_{11}}{n_{01}{n}_{10}}}}\right)$

ahol a jelölések a jobb oldalon látható kereszttáblázat szerintiek. Egy $r_{tet}=-1$ korreláció pontosan akkor fordul elő, ha $n_{00}=n_{11}=0$. Hasonlóan, a $r_{tet}=+1$ érték pontosan akkor fordul elő, ha $n_{01}=n_{10}=0$.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Rangkorrelationskoeffizient című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.