Reciprokszabály

A matematikában a reciprokszabály egy gyors módszer arra, hogy egy függvény deriváltját kiszámíthassuk, melynek a reciproka differenciálható. A reciprokszabály alkalmazásakor nem használjuk a hányadosszabályt vagy a láncszabályt. A reciprokszabály azt állítja, hogy a $1/g(x)$ deriváltja:

$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{g(x)}\right)=\frac{-g^{\prime }(x)}{(g(x){)}^2}$

ahol $g(x)\ne 0.$

Bizonyítás

Hányadosszabály felhasználásával

A reciprokszabály a hányadosszabályból származtatható, az $f(x)=1$ számlálóval, ekkor:

$=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{(g(x){)}^2}$
	$=\frac{0\cdot g(x)-1\cdot g^{\prime }(x)}{(g(x){)}^2}$
	$=\frac{-g^{\prime }(x)}{(g(x){)}^2}.$

Láncszabály felhasználásával

A láncszabály felhasználásával is levezethető a reciprokszabály, hasonlóan a hányadosszabálynál leírtakhoz. Tekintsük $\frac{1}{g(x)}$-et, mely az $\frac{1}{x}$ és a $g(x)$ függvények kompozíciója. Ebből már következik az eredmény, a láncszabály alkalmazásával.

Példák

$1/(x^3+4x)$ deriváltja:

$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^3+4x}\right)=\frac{-3x^2-4}{(x^3+4x{)}^2}.$

$1/\cos (x)$ (ha $\cos x=0$) deriváltja:

$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\cos (x)}\right)=\frac{\sin (x)}{{\cos }^2(x)}=\frac{1}{\cos (x)}\frac{\sin (x)}{\cos (x)}=\sec (x)\tan (x).$

Irodalom

• Stewart, James: Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). (hely nélkül): Brooks/Cole. 2008. ISBN 0-495-01166-5  
• Larson, Ron; Edwards, Bruce H: Calculus (9th ed.). (hely nélkül): Brooks/Cole. 2009. ISBN 0-547-16702-4  
• Reiman István: Matematika). (hely nélkül): Typotex Kft. 2011. ISBN 9789632793009  
• Gerőcs L.-Dr.Vancsó Ödön: Matematika. (hely nélkül): Akadémia Kiadó Zrt. 2010. ISBN 9789630584883  

Kapcsolódó szócikkek

• Láncszabály
• Szorzatszabály
• Derivált
• Hányadosszabály
• https://www.youtube.com/watch?v=4BTl9wzgn40