Redukált állapotegyenlet

A kritikus állapotjelzők és a van der Waals-állandók kapcsolata

A van der Waals-egyenlet elemzése alapján fontos általános következtetésre juthatunk a reális gázokra vonatkozóan. Ha az összefüggést a kritikus állapotnak megfelelő adatokkal felírjuk és kifejezzük a nyomást, az alábbi összefüggéshez jutunk:

$$\begin{gathered} p_{\mathrm{c}}=\frac{R{T}_{\mathrm{c}}}{V_{\mathrm{c}}-b}-\frac{a}{V_{\mathrm{c}}^2} \\ . \end{gathered}$$

A kritikus hőmérsékletnek megfelelő izotermának inflexiós pontja van, ezért itt a függvény első és második differenciálhányados értéke nulla. Ezt a deriválási műveleteket elvégezve:

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}V}=-\frac{R{T}_{\mathrm{c}}}{(V_{\mathrm{c}}-b{)}^2}+\frac{2a}{V_{\mathrm{c}}^3}=0 \\ , \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{{\mathrm{d}}^{2}p}{\mathrm{d}{V}^2}=\frac{2R{T}_{\mathrm{c}}}{(V_{\mathrm{c}}-b{)}^3}-\frac{6a}{V_{\mathrm{c}}^4}=0 \\ , \end{gathered}$$

a három egyenletből a van der Waals-egyenlet a, b és R állandója segítségével a kritikus állapotjelzők kiszámíthatók: a kritikus térfogat: $$\begin{gathered} V_{\mathrm{c}}=3b \\ , \end{gathered}$$ a kritikus nyomás: $$\begin{gathered} p_{\mathrm{c}}=\frac{a}{27b^2} \\ , \end{gathered}$$ és a kritikus hőmérséklet: $$\begin{gathered} T_{\mathrm{c}}=\frac{8a}{27bR} \\ . \end{gathered}$$ E kifejezések lehetőséget nyújtanak a kritikus adatok ismeretében a van der Waals-egyenlet állandóinak a kiszámítására is:

$$\begin{gathered} a=3p_{\mathrm{c}}{V}_{\mathrm{c}}^2 \\ , \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} b=\frac{V_{\mathrm{c}}}{3} \\ , \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} R=\frac{8}{3}\frac{p_{\mathrm{c}}{V}_{\mathrm{c}}}{T_{\mathrm{c}}} \\ . \end{gathered}$$

A redukált állapotegyenlet

Ha a van der Waals-egyenletben behelyettesítjük az állandók helyére a kritikus állapotjelzőkkel kifejezett adatokat, akkor a

$$\begin{gathered} (p+\frac{3p_{\mathrm{c}}{V}_{\mathrm{c}}^2}{V^2})(V-\frac{V_{\mathrm{c}}}{3})=\frac{8}{3}{p}_{\mathrm{c}}{V}_c \\ \frac{T}{T_{\mathrm{c}}} \\ . \end{gathered}$$

kifejezést kapjuk, amelyet célszerűen megszorozva

$$\begin{gathered} \frac{3}{p_{\mathrm{c}}{V}_{\mathrm{c}}} \\ . \end{gathered}$$

kifejezéssel, a

$$\begin{gathered} (\frac{p}{p_{\mathrm{c}}}+3\frac{V_{\mathrm{c}}^2}{V^2})(3\frac{V}{V_{\mathrm{c}}}-1)=8\frac{T}{T_{\mathrm{c}}} \\ . \end{gathered}$$

összefüggést kapjuk. Bevezetve az ún. redukált állapotjelzők fogalmát: a redukált nyomás:

$$\begin{gathered} p_{\mathrm{r}}=\frac{p}{p_{\mathrm{c}}} \\ , \end{gathered}$$

a redukált hőmérséklet:

$$\begin{gathered} T_{\mathrm{r}}=\frac{T}{T_{\mathrm{c}}} \\ , \end{gathered}$$

a redukált térfogat:

$$\begin{gathered} V_{\mathrm{r}}=\frac{V}{V_{\mathrm{c}}} \\ , \end{gathered}$$

és a fenti kifejezésbe ezeket behelyettesítjük, akkor a redukált állapotegyenlethez jutunk:

$$\begin{gathered} (p_{\mathrm{r}}+\frac{3}{V_{\mathrm{r}}^2})(3V_{\mathrm{r}}-1)=8T_{\mathrm{r}} \\ . \end{gathered}$$

Ez az egyenlet nem tartalmaz egyedi állandókat, hanem az általános gáztörvényhez hasonlóan az állandói függetlenek az anyagi minőségtől. A pontossága azonban csak a van der Waals-egyenlet pontosságával egyezik meg, mert az volt a kiindulási egyenlet.

A megfelelő állapotok tétele

A redukált állapotegyenlet alapján azt lehet állítani, hogy létezik egy olyan

$$\begin{gathered} f(p_{\mathrm{r}},V_{\mathrm{r}},T_{\mathrm{r}})=0 \\ , \end{gathered}$$

individuális állandók nélküli függvény, amely a redukált állapotjelzőkkel kifejezve, a számított állapotjelző értéke egyezik a tapasztalattal. A különféle anyagok egyéni állapotegyenlete a redukált állapotjelzők bevezetésével egységes alakúra hozható. Ha egy anyagra ismert két redukált állapotjelző, a harmadik kiszámítható. A megfelelő állapotok tétele azt mondja ki, hogy ha két vagy több anyag redukált állapotjelzői megegyeznek, akkor azok azonos állapotban vannak.