Reissner–Nordström-metrika

A Reissner–Nordström-metrika az Einstein-egyenletek egzakt megoldása. A megoldás az Einstein-egyenletek gömbszimmetrikus statikus megoldása. Ilyen megoldás, amely aszimptotikusan Minkowski-téridőbe megy át, kettő van; a Schwarzschild-metrika és a Reissner–Nordström-metrika. A Reissner–Nordström-metrika megfeleltethető egy M tömegű töltéssel rendelkező fizikai objektumnak.

A metrika

A Reissner–Nordström-metrikát Hans Reissner és Gunnar Nordström találta meg a következő formában:

$c^2{d\tau }^2=(1-\frac{r_s}{r}+\frac{r_Q^2}{r^2})c^{2}d{t}^2-\frac{d{r}^2}{1-\frac{r_s}{r}+\frac{r_Q^2}{r^2}}-r^{2}d{\mathrm{\Omega }}^2$

ahol

τ a sajátidő,

c a fénysebesség,

t az idő koordináta,

r a radiális koordináta,

továbbá

$d{\mathrm{\Omega }}^2=d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2$

r_s a Schwarzschild-sugár

$r_s=\frac{2GM}{c^2}$

itt G a gravitációs állandó, M pedig az objektum tömege, ami körül a téridőt vizsgáljuk

r_Q jelentése pedig

$r_Q^2=\frac{Q^{2}G}{4\pi {ϵ}_0{c}^4}$

A színek segítenek azonosítani a különböző tagokat. A töltésnek, Q -nak, a $\text{piros}$ tagok felelnek meg. Ha a fekete lyuk töltése nulla, akkor a $\text{piros}$ tagok eltűnnek, és visszakapjuk a Schwarzschild-metrikát. A $\text{zold}$ tagok a tömegnek megfelelő tagok. Ha ezek is eltűnnek, akkor az üres tér megoldást kapjuk vissza, ami láthatóan megegyezik a Minkowski-téridővel, ami gömbi koordináta-rendszerben a következő alakú:

$c^{2}d{\tau }^2=c^{2}d{t}^2-d{r}^2-r^{2}d{\mathrm{\Omega }}^2.$

Töltött fekete lyuk

A töltött fekete lyuk, ha a töltés kicsi ($r_Q\ll r_s$), nagyon hasonló a Schwarzschild-metrikához. $g^{rr}$ divergál:

$(g^{rr}{)}^{-1}=1-\frac{r_s}{r}+\frac{r_Q^2}{r^2}=\frac{1}{r^2}(r^2-r_{s}r+r_Q^2)=0.$

Feketelyuk-megoldások

Az ún. nevezett feketelyuk-megoldások rendelkezhetnek perdülettel, vagy nem (nem forgó, tehát gömbszimmetrikus megoldás). Lehetnek elektromosan töltöttek, vagy töltés nélküliek. Ezt a négy lehetőséget (2x2) szemlélteti az alábbi táblázat. A forgásmentes töltetlen tömeg(pont) gravitációs terét írja le a Schwarzschild-megoldás, melyet 1916-ban Karl Schwarzschild talált meg. A forgásmentes, de elektromosan töltött test külső terét írja le a Reissner–Nordström-metrika. A forgó töltetlen test terét írja le a Kerr-metrika, melyet 1963-ban Roy Kerr publikált. Végül a forgó elektromosan töltött test külső terét a Newman által talált metrika írja le, melyet Kerr–Newman-metrikának nevezünk.

	Nem forgó (J = 0)	Forgó (J ≠ 0)
Töltés nélküli (Q = 0)	Schwarzschild-metrika	Kerr-metrika
Elektromosan töltött (Q ≠ 0)	Reissner–Nordström	Kerr–Newman-metrika

Irodalom

• Reissner, H (1916). „Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie”. Annalen der Physik 50, 106–120. o. DOI:10.1002/andp.19163550905. 
• Nordström, G (1918). „On the Energy of the Gravitational Field in Einstein's Theory”. Verhandl. Koninkl. Ned. Akad. Wetenschap., Afdel. Natuurk., Amsterdam 26, 1201–1208. o. 
• Adler, R, Bazin M, and Schiffer M. Introduction to General Relativity. New York: McGraw-Hill Book Company, 395–401. o. (1965). ISBN 978-0-07-000420-7 
• Wald, RM. General Relativity. Chicago: The University of Chicago Press, 158, 312–324. o. (1984). ISBN 978-0-226-87032-8 

További információk

• téridő diagramok melyek Finkelstein diagramot és Penrose diagramot is tartalmaznak, by Andrew J. S. Hamilton
• részecske mozgása fekete lyuk körül Enrique Zeleny, The Wolfram Demonstrations Project.