Rolle-tétel

A matematikai analízisben a Rolle-tétel vagy Rolle-féle középértéktétel az egyik fontos és gyakran alkalmazott tétel, ami egy intervallumon értelmezett differenciálható függvény „vízszintes” érintőjének (azaz a derivált zérushelyének) létezésére ad elégséges feltételt.

A tétel

Ábra Rolle tételéhez

Ha az $f$ függvény folytonos az $[a,b]$ intervallumban, differenciálható az intervallum belső pontjaiban és

$f(a)=f(b)$,

akkor van olyan $a<c<b$ szám, hogy

$f^{\prime }(c)=0$

teljesül.

Bizonyítása

Ha az $f$ függvény az $(a,b)$ intervallumon végig az $f(a)=f(b)$ értéket veszi fel, akkor konstans, tehát deriváltja mindenütt 0. Tegyük fel, hogy egy pontban $f$ értéke ettől eltér. Az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy ez az érték nagyobb $f(a)=f(b)$-nél (ellenkező esetben ugyanezt a gondolatmenetet a $-f$ függvényre kell alkalmaznunk). A Weierstrass-tétel szerint a függvény az $[a,b]$ intervallumban valahol felveszi maximumát. Legyen $c$ egy ilyen pont. $c$ nem lehet $a$-val vagy $b$-vel egyenlő, mert akkor lenne nála nagyobb értékű hely, ami ellentmond $f(c)$ maximális tulajdonságának. Mivel $f$ a $c$-ben (mely az értelmezési tartomány belső pontjában van) differenciálható és ott maximuma van, ezért a szélsőértékekre vonatkozó Fermat-tétel miatt ott a deriváltja 0.

Általánosításai

A Rolle-tétel érvényes tetszőleges intervallumon értelmezett differenciálható függvény esetén is, amennyiben a két végpont függvényértékének egyenlőségét a határértékek egyenlősége váltja fel. Tétel – Az f : $I$$\to$R intervallumon értelmezett, belül differenciálható függvény esetén létezik olyan ξ ∈ $I$ pont, hogy f '( ξ ) = 0, feltéve, hogy létezik az lim_α f és lim_β f határérték és lim_α f = lim_β f , ahol α és β a $I$ két végpontja. Bizonyítás. Indirekt módon tegyük fel, hogy minden x ∈ int($I$) belső pont esetén f '(x) > 0 vagy f '(x) < 0. Ekkor speciálisan az is igaz, hogy minden x ∈ int($I$)-re f '(x) > 0 vagy minden x ∈ int( $I$ )-re f '(x) < 0, ugyanis ha lenne a < b int($I$)-beli elem, hogy f '(a) és f '(b) ellenkező előjelű (nem nulla), akkor a Darboux-tételt alkalmazva lenne olyan c pont az [a,b] zárt halmazon, hogy f '(c) = 0, ami ellentmond az indirekt feltételnek. Ha ezzel szemben f az int($I$) halmazon állandó előjelű, akkor szigorúan monoton, ami meg annak mond ellent, hogy lim_α f = lim_β f, tehát mindenképpen ellentmondásra jutunk. Ilyen például az

$x\mapsto e^{-x^2}$

függvény. Egy másik általánosítás a differenciálhatósági feltételen lazít. Tétel – Ha az f : [a,b]$\to$R korlátos, zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény olyan, hogy f(a) = f(b) és az I minden belső pontjában vagy differenciálható f, vagy a különbségi hányadosnak létezik +∞ vagy -∞ értékű határértéke, akkor létezik olyan ξ ∈ int($I$) pont, hogy f '(ξ) = 0. Ilyen például a [-2,2]-n értelmezett

$x\mapsto \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(1-x^2)\sqrt{|1-x^2|}$

függvény. A tétel fontos általánosítása még a Lagrange-féle középértéktétel is, mely (a tétel jelöléseivel)

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

meredekségű érintő létezésére ad elégséges feltételt (f(b)=f(a) esetén persze megkapjuk a Rolle-tételt).

Források

• Komornik Vilmos: Valós analízis előadások I-II. Typotex Kiadó, 2003. ISBN 963-9548-21-9, ISBN 963-9548-22-7

További információk

• A PlanetMath Rolle's theorem szócikke

A Wikimédia Commons tartalmaz Rolle-tétel témájú médiaállományokat.