Súlyvonal

A háromszög súlyvonalai és súlypontja.

A geometriában a súlyvonal a háromszög csúcspontját a szemközti oldal felezőpontjával összekötő egyenes, illetve ennek az egyenesnek a háromszög belsejébe eső szakasza. A háromszöget két egyenlő területű részre osztja. A három súlyvonal a háromszög súlypontjában metszi egymást, és a súlypont 1:2 arányban osztja a súlyvonalat. Az összes többi, a háromszög területét megfelező vonal nem megy át a súlyponton. A gömbháromszögtanban a gömbháromszög csúcsát és oldalfelező pontját összekötő „egyenes” és a fizikai értelemben vett súlyvonal, a csúcson átmenő és a területet megfelező „egyenes”, különbözhet, azonban ekkor is igaz, hogy az utóbbi értelemben vett súlyvonalak egy pontban metszik egymást (ez azonban általában nem harmadolópontja a súlyvonalaknak).

Területfelező tulajdonság

A háromszög területe megkapható a háromszög egy oldalát a hozzá tartozó magassággal szorozva és ezt a szorzatot megfelezve. A súlyvonal megfelezi a háromszög egyik oldalát, és ezzel két háromszög keletkezik, amiknek egyik magassága megegyezik az eredeti háromszög magasságával, és az ehhez a magassághoz tartozó oldaluk fele az eredeti háromszög oldalának. Így a területük is fele lesz az eredeti háromszög területének.

Tétel a súlypont létezéséről és a súlyvonalak osztási arányáról

Tétel: A háromszög súlyvonalai egy pontban, a súlypontban metszik egymást, és ez a pont a súlyvonalakat 2:1 arányban osztja. Bizonyítás: Vegyük az ABC háromszöget, és tekintsük az c oldallal párhuzamos középvonalat! Jelölje ennek végpontjait F₁ és F₂. Ekkor az F₁F₂C háromszög hasonló lesz az ABC háromszöghöz, és a hasonlóság aránya 1:2. Az AF₂ és a BF₁ súlyvonalak metszéspontja S. Az ABS és az F₁F₂S háromszögek hasonlók, mert szögeik egyenlőek. Mivel az F₁F₂ középvonal párhuzamos a c oldallal, és hossza annak hosszának fele, ez a hasonlóság szintén 1:2 arányú. Tehát S harmadolja a súlyvonalakat, és a hosszabb rész a csúcs felé esik. Mivel ez bármely két súlyvonal esetén analóg módon felírható, azért az összes súlyvonal egy pontban metszi egymást. Ez a pont a súlypont.

A háromszögön belül eső szakaszának hosszának kiszámítása a háromszög oldalaiból

Legyen a háromszög oldalainak hossza a, b és c (úgy, hogy $b\le c$), az a-hoz tartozó súlyvonal pedig s. Tudjuk, hogy a fenti jelölésekkel az a oldalhoz tartozó magasság talppontja, és az a oldal felező pontjának távolsága $\frac{c^2-b^2}{2a}$, az a-hoz tartozó magasság pedig $\sqrt{b^2-{(\frac{a^2-c^2+b^2}{2a})}^2}$. A Pitagorasz-tétel alapján ebből következik, hogy $s=\sqrt{\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}}$. A súlyvonalak háromszögbe eső szakaszainak hosszára:

$\frac{3}{4}k<$ súlyvonalak összege $<k$,

ahol k az adott háromszög kerülete. Az a, b, c oldalú háromszögben, ahol a súlyvonalak rendre $s_a,s_b,s_c$,

$\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)=s_a^2+s_b^2+s_c^2.$

Források

• Fazekas lexikon
• Tétel a súlypont létezéséről és a súlyvonalak osztásarányáról Archiválva 2010. március 30-i dátummal a Wayback Machine-ben
• Reiman István: Geometria és határterületei

Külső hivatkozások

• Medians and Area Bisectors of a Triangle
• The Medians at cut-the-knot
• Area of Median Triangle at cut-the-knot