Sűrűségmátrix

A sűrűségmátrix kevert kvantumállapotok leírására szolgál. Neumann János vezette be 1927-ben. (Más források szerint Lev Landau és Felix Bloch is felfedezte Neumann Jánostól függetlenül.)

Tulajdonságai

Egy kvadratikus mátrix akkor és csak akkor lehet egy kvantumrendszer sűrűségmátrixa, ha

${\hat{\rho }}^{+}=\hat{\rho },$

$\hat{\rho }\ge 0,$

$\mathrm{T}\mathrm{r}(\hat{\rho })=1,$

ahol ${\hat{\rho }}^{+}$ a $\hat{\rho }$ mátrix hermitikus konjugáltját jelöli.

Dekompozíció

Minden sűrűségmátrix felírható tiszta állapotok keverékeként

$\hat{\rho }=\sum _k{p}_k|{\mathrm{\Psi }}_k⟩⟨{\mathrm{\Psi }}_k|,$

ahol a $|{\mathrm{\Psi }}_k⟩$ állapotok páronként ortogonálisak, $p_k\ge 0$ és $\sum _k{p}_k=1.$

Várható érték és mérés

Egy hermitikus operátor $\hat{A}$ várható értéke megkapható a sűrűségmátrix segítségével

$⟨\hat{A}⟩=\mathrm{T}\mathrm{r}(\hat{\rho }\hat{A}).$

Egy $\hat{P}$ projektor hatását a rendszer kvantumállapotára a

$\hat{\rho }=\frac{\hat{P}\hat{\rho }\hat{P}}{\mathrm{T}\mathrm{r}(\hat{P}\hat{\rho })}$

formula adja. Ez alapján, ha egy $\hat{A}$ hermitikus operátor felbontását

$\hat{A}=\sum _k{a}_k{\hat{P}}_k$

adja, ahol ${\hat{P}}_k$ egymásra ortogonális projektorok, és az operátor mérésekor $a_n$ eredményt kaptunk, akkor a rendszer állapota a mérés után

${\hat{\rho }}^{\prime }=\frac{{\hat{P}}_n\hat{\rho }{\hat{P}}_n}{\mathrm{T}\mathrm{r}({\hat{P}}_n\hat{\rho })}$

Irodalom

Nagy Károly: Kvantummechanika, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2000.