Schauder-bázis

A funkcionálanalízisben egy Banach-tér Schauder-bázisa egy $(b_n{)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ sorozat, ha minden vektor előáll $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\xi }_n\cdot b_n,{\xi }_n\in \mathbb{𝕂}$ konvergens sorként. Megkülönböztetendő a Hamel-bázistól, aminek véges lineáris kombinációkkal kell előállítania a tér vektorait. A Schauder-bázis a lengyel Juliusz Schauderről (1899–1943) kapta a nevét, aki 1927-ben írta le.

Definíció

Legyen $(X,\Vert \cdot \Vert )$ Banach-tér a $\mathbb{𝕂}=\mathbb{ℝ}$ vagy $\mathbb{ℂ}$ fölött! Egy $(b_n{)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ sorozat Schauder-bázis $X$-ben, ha minden $x\in X$ előáll $x={\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\xi }_n\cdot b_n,{\xi }_n\in \mathbb{𝕂}$ konvergens sorként.

Példák

A ${\ell }^p:=\{(x_j{)}_{j=1}^{\mathrm{\infty }},x_j\in \mathbb{ℝ}:{\sum }_{j=1}^{\mathrm{\infty }}|x_j{|}^p<\mathrm{\infty }\}$ sorozattérben a ${\Vert x\Vert }_{{\ell }^p}=\sqrt[p]{\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}|x_j{|}^p}$ ℓ^p-normájú halmaznak Schauder-bázisa a $(1,0,0,\dots ),(0,1,0,0,\dots ),\dots$ egységvektorok. Végezzük el a $h_1(x)=1$ helyettesítésre minden $x\in [0,1]$-re, és definiáljuk minden $1\le i\le 2^n$, $n\in {\mathbb{\mathbb{N}}}_0$-re $h_{2^n+i}:[0,1]\to \mathbb{ℝ}$-t úgy, mint:

$h_{2^n+i}(x)=\{\begin{array}{ll}1,& (2i-2)/2^{n+1}\le x<(2i-1)/2^{n+1},\\ -1,& (2i-1)/2^{n+1}\le x<2i/2^{n+1},\\ 0& \text{egyébként}.\end{array}$

Konstans tényező erejéig minden $h_k$ egy $[0,1)$-re korlátozott Haar-wavelet függvény. A Haar Alfrédról Haar-rendszernek nevezett $(h_k{)}_{k\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ sorozat az L^p([0,1]) térben a $1\le p<\mathrm{\infty }$ halmaz Schauder-bázisa.

A $C([0,1])$ egy Schauder-bázisának konstruálásához legyen $(q_n{)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ egy ismétlések nélküli, sűrű sorozat $[0,1]$-ben, és legyen $q_1=0,q_2=1$! Ehhez vesszük például az egységintervallum racionális pontjainak bijektív felsorolását, például felezéses módszerrel: $0,1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{8},\frac{3}{8},\frac{5}{8},\frac{7}{8},\dots ,\frac{2k+1}{2^n},\dots$ Legyen minden $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$-re definiálva $e_n\in C([0,1])$ úgy, hogy $e_1$ = konstans 1, és minden további $n>1$-re legyen $e_n(q_n)=1$, $e_n(q_k)=0$ minden $k=1,\dots ,n-1$-re, és $e_n$ legyen affin-lineáris $[0,1]\setminus \{q_1,\dots ,q_n\}$-en! Ekkor az $(e_n{)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ sorozat Schauder-bázisa C([0,1])-nek. Ez a konstrukció Juliusz Schaudertől származik, és ezt a bázist nevezik a Schauder-bázisnak.

Tulajdonságok

Általános tulajdonságok

Ha egy Banach-térben van Schauder-bázis, akkor szeparábilis, mivel a véges lineáris kombinációk a $\mathbb{\mathbb{Q}}$, illetve $\mathbb{\mathbb{Q}}+i\mathbb{\mathbb{Q}}$-ból származó együtthatókkal sűrű, megszámlálható halmazt alkotnak. A megfordítás nem teljesül: ha egy Banach-tér szeparábilis, az nem garantál Schauder-bázist. A Schauder-bázisos Banach-terek approximációs tulajdonságúak. Végtelen dimenziós vektorterekben egy Schauder-bázis sosem Hamel-bázis, mivel végtelen dimenziós terekben egy Hamel-bázis mindig megszámlálhatatlan. Lásd: Baire-tétel.

Együttható-funkcionálok

Egy $x\in X$ elem ábrázolása egy Schauder-bázisban definíció szerint egyértelmű. A $b_n^{\ast }:x\mapsto {\xi }_n$ hozzárendeléseket együttható-funkcionáloknak nevezik; folytonosak és lineárisak, így elemei $X$ duális terének.

További tulajdonságok

Ha $(b_n{)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ az $X$ Banach-tér Schauder-bázisa, akkor van egy $K>0$ konstans úgy, hogy ha $p<q$, akkor bárhogy választjuk az ${\xi }_n\in \mathbb{𝕂}$ skalárokat, teljesül a $\Vert {\sum }_{n=1}^p{\xi }_n{b}_n\Vert \le K\cdot \Vert {\sum }_{n=1}^q{\xi }_n{b}_n\Vert$ egyenlőtlenség. A megfelelő $K>0$ számok infimumát báziskonstansnak nevezik. A bázis monoton, ha báziskonstans egyenlő eggyel. Egy $(b_n{)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ bázis korlátosan teljes, ha skalárok minden $({\xi }_n{)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ sorozatára, ahol $\underset{m\in \mathbb{\mathbb{N}}}{\sup }\Vert {\sum }_{n=1}^m{\xi }_n{b}_n\Vert <\mathrm{\infty }$ létezik $x\in X$, amire $x={\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\xi }_n{b}_n$. Legyen továbbá $X_n\subset X$ a $(b_j{)}_{j\ge n}$ által generált zárt altér, és minden $f\in X{}^{\prime }$ elemre legyen $\Vert f{|}_{X_n}\Vert$ a korlátos $f{|}_{X_n}\in {X_n}^{\prime }$ funkcionál normája. A bázis zsugorodó, ha $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert f{|}_{X_n}\Vert =0$ eleme minden $f\in X{}^{\prime }$-re. Végezetül feltétlen bázisról beszélünk, ha minden $x={\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\xi }_n{b}_n$ sor bázis szerinti kifejtése feltétlen konvergens. Az ${\ell }^p$-terek standard bázisai feltétlen konvergensek. A $C([0,1])$ térnek nincs feltétlen bázisa. A Pelczynski-féle u-tulajdonsággal megmutatható, hogy nem is altere olyan Banach-térnek, melynek feltétlen bázisa van. Továbbá belátható, hogy a Haar-rendszer $L^p([0,1])$-ben minden $1<p<\mathrm{\infty }$ esetén feltétlen bázis. Ha viszont $p=1$, akkor nem feltétlen bázis. A $L^1([0,1])$ térnek nincs feltétlen bázisa.

Robert C. James tételei

Tétel: Legyen $X$ Schauder-bázisos Banach-tér; ekkor $X$ reflexív, ha a bázis teljes és zsugorodó. Feltétlen Schauder-bázis esetén a tér jellemezhető bizonyos alterek tartalmazásával. Legyen $X$ Banach-tér, feltétlen Schauder-bázissal; ekkor:

• $X$ nem tartalmaz a c₀-lal izomorf alteret; ekkor a tér korlátosan teljes.
• $X$ nem tartalmaz az ${\ell }^1$-gyel izomorf alteret; ekkor a bázis zsugorodó.

A tétel következménye: Legyen $X$ Banach-tér, feltétlen Schauder-bázissal; ekkor $X$ pontosan akkor reflexív. ha $X$ nem tartalmaz $c_0$-hoz vagy ${\ell }^1$-gyel izomorf alteret.

Források

• Bernard Beauzamy: Introduction to Banach Spaces and their Geometry, Elesevier Science Publishers (1985) ISBN 0-444-87878-5
• Zdzisław Denkowski, Stanisław Migórski, Nikolas S. Papageorgiou: An introduction to nonlinear analysis. Kluwer, Boston 2003, ISBN 0-306-47392-5
• Joseph Diestel: Sequences and Series in Banach Spaces. 1984, ISBN 0-387-90859-5.
• Yuli Eidelman, Vitali Milman, Antonis Tsolomitis: Functional analysis. An introduction. American Mathematical Society, Providence 2004, ISBN 0-8218-3646-3
• Ivan Singer: Bases in Banach spaces I (1970) und Bases in Banach spaces II (1981), Springer Verlag

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Schauderbasis című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.