Schrödinger-egyenlet

A kvantummechanikában egy fizikai rendszer ismerete ekvivalens annak teljes állapotterének ismeretével. Ez általában egy végtelen dimenziós lineáris tér, nevezetesen a Hilbert-tér, aminek minden eleme a rendszer állapotának megfeleltethető állapotvektor. Az állapotok időbeli fejlődése egy a Hilbert-téren ható, "idő paraméterű" operátorral jellemezhető. Amennyiben a rendszer időben eltolható, ez az operátor egy folytonos csoport eleme. Neve: Green-operátor. A csoport infinitezimális generátora, azaz az időfejlődés generátora a Hamilton operátor. A Schrödinger-egyenlet egy állapotegyenlet. Létezik időfüggetlen és időfüggő formája is. Az időfüggetlen formája egy energiasajátérték-egyenlet.

Az időfüggetlen Schrödinger-egyenlet

A kvantummechanikában a fizikai mennyiségek matematikai leírására operátorokat használnak. Kvantumrendszerek mérésekor a mérési eredmény az ahhoz a megfigyelhető mennyiséghez hozzárendelt operátor valamelyik sajátértékével egyezik meg. A kvantummechanikában a fizikai, megfigyelhető mennyiségekhez lineáris, hermitikus operátorokat rendelnek. Azon klasszikus mechanikai rendszerek esetében, melyek rendelkeznek Hamilton-függvénnyel, a Hamilton-függvény alakja Descartes-koordinátákban

$H=T+V,$

ahol T a rendszer kinetikus energiája és V a rendszer potenciális energiája. A Hamilton-függvény egy klasszikus, tiszta állapot, azaz a rendszer fázisterének pontjai a teljes energiáját adja meg. A kvantummechanikában a kvantumrendszer energiáját a Schrödinger-féle energiasajátérték-egyenlet határozza meg. A sajátértékegyenletben szereplő operátor (Hamilton-operátor) a rendszer klasszikus fizikai analogonja (ha létezik ilyen) Hamilton-függvényének operátorosításával történik (Ez az úgynevezett kanonikus kvantálás):

$H=T+V⟶\hat{H}=\hat{T}+\hat{V},$

a sajátértékegyenlet pedig:

$\hat{H}|\psi ⟩=E|\psi ⟩,|\psi ⟩\in {\mathscr{H}},E\in \mathbb{ℝ},$

ahol $|\psi ⟩\in {\mathscr{H}}$ a kvantumállapot, mely a ${\mathscr{H}}$, a rendszer modelljeként szolgáló Hilbert-tér eleme. Az energiasajátértékek megadják a rendszer mérése során előforduló lehetséges energiaértékeket. A mondottakat általában az egyetlen tömegpont kvantummechanikai leírásával szemléltetik. Ha a tömegpont kényszer nélkül mozog ${\mathbb{ℝ}}^3$-ban és létezik klasszikus mechanikai Hamilton-függvénye, akkor annak alakja:

$H(\mathbf{x},t)=\frac{{\mathbf{p}}^2}{2m}+V(\mathbf{x},t),$

ahol $m\in \mathbb{ℝ}$ a tömegpont tömege, p a tömegpont impulzusa, V pedig a mozgást meghatározó potenciál. Koordinátareprezentációban a kvantummechanikára való áttérés úgy történik, hogy az impulzus komponenseihez és a potenciálhoz $L^2({\mathbf{R}}^3)$-on ható operátorokat rendelnek:

$p_x⟶{\hat{p}}_x=-i\hslash \frac{\partial }{\partial x}{p}_y⟶{\hat{p}}_y=-i\hslash \frac{\partial }{\partial y}{p}_z⟶{\hat{p}}_z=-i\hslash \frac{\partial }{\partial z},$

valamint $V⟶\hat{V}=V\hat{I},$ ahol $\hat{I}$ az identitásoperátor. Mind a potenciál, mind az impulzusoperátorok hermitikusak, így megfigyelhető mennyiségeket határoznak meg. Behelyettesítés után a Schrödinger-egyenlet a következő alakot ölti:

$(-\frac{{\hslash }^2}{2m}\mathrm{\Delta }+V(x,y,z)\hat{I})|\psi ⟩=E|\psi ⟩,$

ahol $\mathrm{\Delta }$ a Laplace-operátor:

$\mathrm{\Delta }=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}.$

Az időfüggő Schrödinger-egyenlet

Az időfüggő Schrödinger-egyenlet egy nemrelativisztikus kvantummechanikai rendszer állapotának az időbeli változását írja le, más szóval ez a nemrelativisztikus kvantummechanikai rendszer mozgásegyenlete. Alakja a következő: $\hat{H}\mathrm{\Psi }=i\hslash \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}$ vagy bővebben, $(-\frac{{\hslash }^2}{2m}\mathrm{\Delta }+V(x,y,z,t))\mathrm{\Psi }(x,y,z,t)=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }(x,y,z,t)$.

A Klein–Gordon-egyenlet

A Klein–Gordon-egyenlet az időfüggő Schrödinger-egyenlet relativisztikus verziója.

$\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\psi -{\mathrm{\nabla }}^2\psi +\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}\psi =0.$

Lásd még

• Schrödinger macskája

További információk

• Web-Schrödinger Egy program a 2D-s időfüggő és stacionárius Schrödinger-egyenlet megoldásának kiszámítására (KFKI MFA)