Sommerfeld-azonosság

A Sommerfeld-azonosság egy matematikai azonosság, melyet Arnold Sommerfeld vezetett be a hullámterjedéssel kapcsolatban:

$\frac{e^{ikR}}{R}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{I}_0(\lambda r)e^{-\mu \left|z\right|}\frac{\lambda d\lambda }{\mu }$

ahol

$\mu =\sqrt{{\lambda }^2-k^2}$

($\mu$-t pozitív valós résszel kell venni, hogy az integrál konvergens legyen és eltűnjön, amikor $z\to \pm \mathrm{\infty }$) és

$R^2=r^2+z^2$.

Az R a távolságot jelenti a kezdeti értéktől (origó), $r$ a $(r,\varphi ,z)$ hengerkoordináta-rendszer központi tengelyétől mért távolság. $I_0$ függvény egy Bessel-függvény. Itt a jelzésrendszer a német konvenciót követi, hogy konzisztens legyen ahhoz, amit Sommerfeld eredetileg használt. Az angol irodalomban a következő egyenlet használatos:

$I_n(\rho )=J_n(i\rho )$.

Ezt az azonosságot nevezik Sommerfeld-azonosságnak. Az azonosság alternatív formája:

$\frac{e^{i{k}_{0}r}}{r}=i\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d{k}_{\rho }\frac{k_{\rho }}{k_z}{J}_0(k_{\rho }\rho )e^{i{k}_z\left|z\right|}$

ahol

$k_z=(k_0^2-k_{\rho }^2{)}^{1/2}$

Itt a jelölés különbözik: $r$ az origótól számított távolságot jelenti, $\rho$ a tengelytől mért távolság a $(\rho ,\varphi ,z)$ hengerkoordináta-rendszerben. A fizikai magyarázat a következő: egy gömbhullám hengeres hullámok összegeként terjed $\rho$ irányban, megszorozva a síkhullámmal $z$ irányba (lásd még a Jacobi–Anger-azonosságot). Az összegzést minden $k_{\rho }$ hullámértékre el kell végezni.

Irodalom

• Sommerfeld A: Partial Differential Equations in Physics. (hely nélkül): Academic Press,New York. 1964.  
• Chew, W.C: Waves and Fields in Inhomogenous Media. (hely nélkül): Van Nostrand Reinhold,New York. 1990.