Számlálómérték

A számlálómérték a matematikai mértékek egyike. Általában véges halmazokon szokás értelmezni, ilyen módon a halmazfüggvények bevezető tárgyalására is alkalmas.

Definíció

Legyen $X$ mérhető véges halmaz, és $\mathrm{\Sigma }$ egy σ-algebra a részhalmazaiból. Ekkor a számlálómérték értelmezése:

$\mu :\mathrm{\Sigma }\to \mathbb{ℝ},S\mapsto |S|.$

A definíció természetesen terjeszthető ki nem véges halmazokra is a valós számok kibővített halmazán. Ekkor $X$-től elegendő a mérhetőséget megkövetelni. A számlálómérték definíciója ekkor:

$\mu :\mathrm{\Sigma }\to {\mathbb{ℝ}}_b,S\mapsto \{\begin{array}{ll}|S|,& \text{ha }S\text{ véges}\\ \mathrm{\infty },& \text{egyébként}\end{array}$

Példák

• Az egész számok halmazán értelmezhetjük a részhalmazok elemszámát. Ez számlálómérték lesz a definíció szerint.
• A rácssokszögek esetén számlálómérték a sokszög belsejében és határán található rácspontok számát megadó függvény.

Források

• Halmos Pál: Mértékelmélet (reprint), TypoTeX kiadó, 2010, ISBN 978-963-2791-43-2
• Kristóf János: Az analízis elemei (egyetemi jegyzet)
• Vancsó Ödön, Gerő László: Matematika, Akadémiai kiadó, 2012, ISBN 9789630584883
• Egy rövidke írás a PlanetMath oldalon