Számtani sorozat

A számtani sorozat (más néven aritmetikai sorozat, régies néven számtani vagy aritmetikai haladvány) egy elemi matematikai fogalom, mely a matematika sok részterületén előfordul. Egy legalább három számból álló – akár véges, akár végtelen – sorozatot akkor nevezünk számtani sorozatnak, ha a szomszédos elemek különbsége – differenciája – (a sorozatra jellemző) állandó. Triviális példák a csupa azonos elemből álló konstans sorozatok, hiszen ezekben két szomszédos elem különbsége mindig 0; a legegyszerűbb nem triviális példák a természetes számok sorozata (0, 1, 2, 3, 4, 5, …) vagy a páros számok sorozata (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, …). A számtani sorozat a kontinuum felett értelmezett valós függvények elméletében definiálható egyváltozós lineáris függvény fogalmának diszkrét megfelelője, ahol e függvény értelmezési tartománya a természetes számok halmaza (D{a_n} ∈ N).^[1]

Definíciói

Különbségsorozattal

Számtani sorozatoknak nevezzük azokat a sorozatokat, amelyekben (a másodiktól kezdve) bármelyik tag és az azt megelőző tag különbsége állandó, vagyis

a_{n} - a_{n - 1} = d

, ha

n > 1

A sorozat (fent d-vel jelölt) különbségét, más szóval növekményét differenciának nevezzük, szokásos jelölése általában is d. Példák a számtani sorozatra:
$- 5; - 1; 3; 7; 11 \dots$ , itt a differencia 4, $a_{1}$ =–5, $a_{2}$ =–1, $a_{3}$ =3 stb.
$128; 112; 96; 80; 64 \dots$ , a differencia –16, $a_{1}$ =128, $a_{2}$ =112, $a_{3}$ =96 stb.
$3, 41; 5, 71; 8, 01; 10, 31; 12, 61 \dots$ , a differencia 2,3.
$\frac{25}{7}; \frac{14}{7}; \frac{3}{7}; - \frac{8}{7}; - \frac{19}{7}$ , a differencia $- \frac{11}{7}$ . Ahogy látható, a sorozat elemei és a differencia is lehetnek törtek. A különbségsorozat fogalma segítségével a számtani sorozat definíciója így hangzik: $a_{1}, a_{2}, a_{3} \dots a_{n}, a_{n + 1} \dots$ akkor és csak akkor számtani sorozat, ha $a_{n + 1} - a_{n} = d$ állandó, minden olyan $n \in ℕ$ -ra, amelyre van a sorozatnak n-edik tagja (ha esetleg a sorozat véges lenne). Teljesen formalizálva, (a_n) akkor és csak akkor számtani sorozat, ha létezik olyan C valós szám, amelyre a sorozat két egymást sorrendben követő elemének a különbözete C állandó (a sorozat n indexei pozitív egészek), azaz:

(\exists C \in ℝ) (\forall n \in ℕ) : Δ a_{n} = a_{n + 1} - a_{n} = C

Rekurzív definíció

A fentiekből következik a számtani sorozat rekurzív képlete:

a_{n + 1} = a_{n} + d, \forall n \in N^{+}

Ez azt jelenti, hogy a sorozat következő elemét mindig úgy kapjuk, hogy hozzáadjuk az előző taghoz a differenciát. Ez tényleg pontosan azt jelenti, hogy a sorozat szomszédos tagjainak különbsége állandó. A képletből következően a számtani sorozatok halmaza egy rekurzív sorozat-család, minimális rekurziós rendje 1, rekurziós szabálya(i) pedig a φ_d: R→R; φ_d(x) := x+d függvénycsalád, ahol d a sorozat(ok)ra jellemző állandó.

„Általános taggal”

Az első taggal kifejezve

A sorozat n-edik elemére nem csak rekurzív, hanem explicit képlet is adható. Mivel a sorozat minden lépésben d-vel változik, ezért

a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d

.

Bővebben,

a₂ = a₁+d;
a₃ = a₂+d = (a₁+d)+d = a₁+2d;
a₄ = a₃+d = (a₁+2d)+d = a₁+3d;
s. í. t. …

Hasonlóan haladva és teljes indukcióval bizonyíthatóan,

a_n = a_n-1+d = (a₁+(n-2)d)+d = a₁+(n-1)d;

A szomszédos tagokkal kifejezve

Ugyanezen okból – a lépésről lépésre d-vel való növekedés miatt – vezethető le az a tulajdonság, amelyről a számtani sorozatok nevüket nyerték. U.is véve a sorozat n-edik (de legalább második) elemét, a megelőző elem d-vel kisebb (a_n-1 = a_n-d), a rákövetkező elem d-vel nagyobb (a_n+1 = a_n+d). Tehát (összeadva a fenti egyenlőségeket) a_n-1 + a_n+1 = (a_n-d)+(a_n+d) = 2a_n. Vagyis az n-edik elem a két szomszédos elem számtani közepe („átlaga”):

a_{n} = \frac{a_{n - 1} + a_{n + 1}}{2}

.

De érvényes – hasonló okok miatt – az ennél általánosabb

a_{n} = \frac{a_{n - i} + a_{n + i}}{2}

.

egyenlőség is minden i<n-re. Azaz egy sorozat akkor és csak akkor számtani sorozat, ha bármely eleme számtani közepe a sorozatban tőle azonos index-távolságra lévő tagoknak. A fenti gondolatmenet egyébként nem igazolja, hogy bármely, a fenti tulajdonsággal jellemezhető sorozat szükségképp számtani, noha az is igaz, ld. Számtani közép/Számtani sorozatok.

Analitikus szemléletű definíció

Az n-edik tagra vonatkozó képletben csoportosítva az állandó és a változó mennyiségeket:

a_{n} = d n + (a_{1} - d)

.

Így látható, hogy a számtani sorozatok épp azok a sorozatok, melyek az n független változójuk „lineáris” függvényei, azaz az

f(n) = mn+c

alakú sorozatok, ahol m,c olyan valós állandók, melyekre m=d és c=a₁-d.

Példák

első tag	különbség	a sorozat pár tagja	n-edik tag (n∈N)
0	1	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …	n-1
0	2	0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, …	2n-2
1	0	1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, …	1
1	2	1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …	2n-1
101	-20	101, 81, 61, 41, 21, 1, -19, …	-20n+121
-3,11	-1,01	-3,11; -4,12; -5,13; -6,14; -7,15; -8,16;	-1,01n-2,1

Legyen az (a_n) számtani sorozatban: $a_{1} = 0$ , a differencia: $d = 3$ , akkor a sorozat: 0; 3; 6; 9; 12; 15, …, és a sorozatot az a_n = 3n-3 (n∈N) képlet adja meg.
Az $a_{n} = (\binom{n}{1})$ képlettel definiált sorozat is számtani sorozat (a Pascal-háromszög "második ferde sora"), egyébként (a_n) = (n) (itt n∈N⁺).

Összegzési képlet

A sorozat első n tagjának összegét ( $S_{n}$ ) a következő ötlettel határozhatjuk meg. Vegyük az első n tagot, ezek: $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ . Majd írjuk fel ez alá a tagokat fordított sorrendben, vagyis $a_{n}, a_{n - 1}, \dots, a_{1}$ . Számítsuk ki ennek a 2n darab számnak az összegét. Ez egyrészt a keresett összeg kétszerese, hiszen az első n tag mindegyike pontosan kétszer szerepel. Másrészt pedig az egymás alatt lévő számok összege éppen $a_{1} + a_{n}$ . Összesen n egymás alatti pár van, vagyis az összeg éppen $(a_{1} + a_{n}) \cdot n$ . De ez az általunk keresett összeg (azaz az első n tag összegének) kétszerese, vagyis a helyes eredmény:

S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}) \cdot n}{2}

Ha még azt is felhasználjuk, hogy $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ , akkor

S_{n} = \frac{[2 a_{1} + (n - 1) d] \cdot n}{2}

Ezt a képletet alkalmazva $a_{1} = 1$ és $d = 1$ esetben, megkapjuk az első n pozitív egész szám összegét, azaz $\frac{(n + 1) \cdot n}{2}$ -t vagy leegyszerűsítve: $\frac{n^{2} + n}{2}$ . E formula lényegében már a XIII. szd.-ban is ismert volt, persze leírása a kornak megfelelően történt; az összegzés módszerét mindenesetre már Leonardo Pisano (ismertebb nevén Fibonacci) is leírta (Liber Abaci; 1202, ch. II.12).

További tulajdonságok

Növekedési tulajdonságok

A számtani sorozat monoton növekvő, és alulról korlátos, ha $d > 0$
A számtani sorozat monoton csökkenő, és felülről korlátos, ha $d < 0$
A számtani sorozat nemnövekvő, nemcsökkenő, azaz állandó, ha $d = 0$

Algebrai tulajdonságok

Két számtani sorozat összege és különbsége, továbbá egy számtani sorozat valós számszorosa (mint például ellentettje) is számtani sorozat. Konkrétan: ha (a_n) = (a₁+(n-1)d) és (b_n) = (b₁+(n-1)e) két számtani sorozat, akkor ((a+b)_n) = (a_n+b_n) = (a₁+b₁+(n-1)(d+e)) is számtani sorozat, melynek első tagja a tagok első tagjai összege, azaz a₁+b₁, és differenciája a tagok differenciáinak összege, azaz d+e. Továbbá ha α∈R tetszőleges valós szám, akkor α(a_n) = (αa₁+(n-1)αd) is számtani sorozat, első tagja az eredeti sorozat első tagjának α-szorosa; differenciája az eredeti sorozat differenciájának α-szorosa. Ez azt jelenti, hogy a valós számtani sorozatok az összeadással kommutatív csoportot, illetve a számmal szorzást is hozzávéve, lineáris teret alkotnak. Tetszőleges csoport elemeiből képezett számtani sorozatokra szintén elmondható ugyanez. Igazolható, hogy két számtani sorozat szorzata mindig másodrendű számtani sorozat, hiszen ha a_n = a₁+(n-1)d és b_n = b₁+(n-1)e, akkor a_nb_n = [a₁+(n-1)d]·[b₁+(n-1)e] = a₁b₁+(n-1)(d+e)+(n-1)²de = (a₁b₁-d-e+de)+(d+e-2de)n+(de)n², ami megfelel a Másodrendű számtani sorozatok analitikus szemléletű definíciójának, továbbá az ott írtak alapján az is megállapítható, hogy a szorzatsorozat 1). különbségsorozatának differenciája a tényezők differenciáinak kétszeres szorzata; (D=2de) 2). különbségsorozatának első tagja az 1-gyel megnövelt differenciák szorzatánál eggyel kisebb (Δ(ab)₁ = (d+1)(e+1)-1); és . ami a tagonkénti szorzat definíciójának is egyszerű következménye – első tagja természetesen a tényezők első tagjainak szorzata.

Lineáris algebrai leírás

A valós számsorozatok R^N+ halmaza a tagonkénti összeadás és a tagonkénti ellentettképzés műveletével kommutatív csoportot alkotnak (nullelem a (0) := (0,0,0,…) sorozat). A számmal való tagonkénti szorzás műveletét hozzávéve pedig vektorteret kapunk. Ezen a téren belül a számtani sorozatok családja egy kétdimenziós generált alteret alkot, amelyet az {1} := {1,1,1,…} és az (n) := (1,2,3,4,5…) sorozatok generálnak, hiszen tetszőleges n>-0-ra (a_n) = (a₁+(n-1)d) = (a₁+nd-d) = a₁·(1)+d(n)+(-d)·(1). Tehát a számtani sorozatok halmaza a <(0), (n)> generált altér.

Magasabb rendű számtani sorozatok

A sorképzéssel számtani sorozatokra visszavezethető sorozatok magasabb rendű számtani sorozatok. Ezek éppen azok a sorozatok, melyek képzését polinommal lehet leírni. A polinom foka megegyezik a sorozat rendjével.

Összegzési képletek

Képletek a különböző rendű számtani sorozatok részletösszegeinek kiszámítására:

$\sum_{i = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$
$\sum_{i = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$
$\sum_{i = 1}^{n} i^{3} = {(\frac{n (n + 1)}{2})}^{2}$

Általános esetre alkalmazható a Faulhaber-képlet:

$\sum_{i = 1}^{n} i^{p} = \frac{(n + 1)^{p + 1}}{p + 1} + \sum_{k = 1}^{p} \frac{B_{k}}{p - k + 1} (\binom{p}{k}) (n + 1)^{p - k + 1}$ .

ahol $B_{k}$ a $k$ -adik Bernoulli-szám.

Tetraéderszámok

A tetraéderszámok harmadrendű számtani sorozatot alkotnak. A sorozat elemei ezzel a harmadfokú polinommal számíthatók ki:

a_{n} = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{6} = \frac{1}{6} \cdot (n^{3} + 3 n^{2} + 2 n)

.

A polinomban szereplő legnagyobb hatvány a polinom foka.

Sorozat:	$0$		$1$		$4$		$10$		$20$		$35$		$56$		$84$	$. . .$
1. különbségsorozat:		$1$		$3$		$6$		$10$		$15$		$21$		$28$		$. . .$
2. különbségsorozat:			$2$		$3$		$4$		$5$		$6$		$7$			$. . .$
3. különbségsorozat:				$1$		$1$		$1$		$1$		$1$		$. . .$

A táblázatból láthatóan a tetraéderszámok első különbségsorozata a háromszögszámok másodrendű számtani sorozata.

Négyzetszámok

A négyzetszámok sorozata másodrendű számtani sorozat:

Sorozat:	$0$		$1$		$4$		$9$		$16$		$25$		$36$		$49$	$. . .$
1. különbségsorozat:		$1$		$3$		$5$		$7$		$9$		$11$		$13$		$. . .$
2. különbségsorozat:			$2$		$2$		$2$		$2$		$2$		$2$			$. . .$

Többdimenziós számtani sorozatok

A számtani sorozatok magasabb dimenziós általánosítása

a + m b + n c

ahol $m = 1, 2, \dots, k$ , $n = 1, 2, \dots, l$ , $a, b, c \in ℕ$ konstansok. A definíció hasonló más dimenziókban.

Érdekességek

Már az ókori egyiptomiak is ismerték a számtani és mértani sorozatot. Erről tanúskodik az ún. Rhind-papirusz, amely körülbelül Kr. e. 1750-ből való.
Egy híres történet, amely a szájhagyomány útján átalakult, arról szól, hogy Gauss általános iskolai tanára, J. G. Büttner diákjait azzal akarta lefoglalni, hogy 1-től 100-ig adják össze az egész számokat. A fiatal Gauss mindenki megdöbbenésére másodpercek alatt előrukkolt a helyes megoldással, megvillantva matematikai éleselméjűségét. Gauss észrevette, hogy a sor ellenkező végein lévő számok párokba állításával azonos összegeket kap: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101 stb., ami összesen $50 \cdot 101 = 5050$ -et eredményez (lásd az összegzési képletet). Több információ a témában itt található:[1].
A számtani sorozatok egymás után tetszőleges véges számú prím elemet tartalmazhatnak, ahogy azt Terence Tao és Ben Green bebizonyította.^[2] 2015-ben négy ilyen leghosszabb sorozatot ismertek, melyek 26 elemből álltak (AP-26).

43142746595714191 + 23681770·23#·n, ahol 0 ≤ n ≤ 25 és 23# = 223092870 (Benoãt Perichon, 2010. április 12.);

3486107472997423 + 1666981·23#·n, ahol 0 ≤ n ≤ 25 (James Fry, 2012. március 16.),

136926916457315893 + 44121555·23#·n, ahol 0 ≤ n ≤ 25 (Bryan Little, 2014. február 23.)

161004359399459161 + 47715109·23#·n, ahol 0 ≤ n ≤ 25 (Bryan Little, 2015. február 19.).

Egy tízelemű hasonló sorozat:^[3]

$199$		$409$		$619$		$829$		$1039$		$1249$		$1459$		$1669$		$1879$		$2089$
	$210$		$210$		$210$		$210$		$210$		$210$		$210$		$210$		$210$

Jegyzetek

↑ A számtani sorozat és lineáris függvények kapcsolatának részleteit ld. itt.
↑ Ben Green; Terence Tao: The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions. In: Annals of Mathematics 167 (2008), Nr. 2, S. 481–547. Vgl. David Conlon; Jacob Fox; Yufei Zhao: The Green–Tao theorem. An exposition. In: EMS Surveys in Mathematical Sciences 1 (2014), Nr. 2, S. 249–282.
↑ Weisstein, Eric W.: Prime Arithmetic Progression (angol nyelven). Wolfram MathWorld

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben az Arithmetische Folge című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Irodalom

Varga Tamás: Matematika lexikon. Műszaki Könyvkiadó, SHL Hungary Kft., Budapest 2001. ISBN 963-16-2819-1; ISBN 963-00-8549-6
Sain Márton: Nincs királyi út – Matematikatörténet. Gondolat, Budapest 1986. ISBN 963-281-7044

További információk

Dr. Rókáné Rózsa Anikó írása Archiválva 2006. augusztus 16-i dátummal a Wayback Machine-ben
Számtani és mértani sorozat definíciója
Számtani sorozat

Kapcsolódó szócikkek

Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap

[1] A számtani sorozat és lineáris függvények kapcsolatának részleteit ld. itt.

[2] Ben Green; Terence Tao: The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions. In: Annals of Mathematics 167 (2008), Nr. 2, S. 481–547. Vgl. David Conlon; Jacob Fox; Yufei Zhao: The Green–Tao theorem. An exposition. In: EMS Surveys in Mathematical Sciences 1 (2014), Nr. 2, S. 249–282.

[3] Weisstein, Eric W.: Prime Arithmetic Progression (angol nyelven). Wolfram MathWorld

[1]

[2]

[3]