Törésmutató

Az elektromágneses hullámok terjedési sebessége egy anyagi közegben kisebb, mint a vákuumban. Ennek a mértéke a törésmutató, ami a következő összefüggés szerint adható meg:

$n=\frac{c_0}{c}$,

ahol n a közeg törésmutatója, pontosabban fázistörésmutatója, c₀ a fény vákuumbeli, c pedig a közegbeli terjedési sebessége.

A relatív törésmutató

Fenti definíció az abszolút törésmutatót adja meg, hiszen a fény közegbeli terjedési sebességének és a vákuumbelinek a viszonyát fejezi ki. A relatív törésmutató az adott anyagban való terjedést egy másik közegbeli terjedéshez viszonyítja a következő módon:

$n_{2;1}=\frac{c_1}{c_2}$

ahol $n_{2;1}$ a második közeg első közegre vonatkozó relatív törésmutatója. Fentiekből az is következik, hogy a két közeg abszolút törésmutatója és relatív törésmutatója között a következő a kapcsolat:

$n_{2;1}=\frac{n_2}{n_1}$

A törésmutatót a gyakorlatban többnyire a látható fény számára meglehetősen átlátszó anyagok tulajdonságának leírására használják és a levegőhöz viszonyítva adják meg. Mivel a levegő abszolút törésmutatója 1,00029, azaz elég jó közelítéssel 1, a víz 1,33-as törésmutatója például azt jelenti, hogy a fény 1,33-szor gyorsabban terjed a levegőben (vagy vákuumban), mint a vízben.

A törésmutató mérése

kézi refraktométer

A mérési eljárások átlátszó anyagok esetén leggyakrabban a teljes visszaverődés jelenségét használják ki. Az optikailag sűrűbb közegből ritkább felé haladó, a határszögnél nagyobb szögben érkező fénysugarak nem jutnak ki, a két közeg határfelületén visszaverődnek. A határszög szinuszára a fénytörés törvényéből következően az alábbi összefüggés érvényes:

$\sin {\alpha }_h=\frac{n_2}{n_1}$, ahol $n_2<n_1$.

Ha például a fénysugár vízből a víz-levegő határfelületre érkezik, akkor $n_1=1,33$. $n_2=1$. és így $\sin {\alpha }_h=\frac{1}{1,33}$, ahonnan ${\alpha }_h=48,6$°. A határszög mérésével a törésmutató meghatározható. Egy folyékony közegben, oldatban a törésmutató az összetétellel változik, így a törésmutató mérésével megadhatjuk az oldott anyag koncentrációját, illetve a koncentrációval kapcsolatban lévő más fizikai paramétert. Például kézi refraktomérrel a törésmutató mérésén keresztül mérik az autókban lévő hűtőfolyadék – etilénglikol-víz keverék – fagyáspontját.

Törésmutató adatok

Néhány anyag $\lambda$ = 589 nm-en mért relatív törésmutatója (pontosabb és részletesebb adatok referenciaként is)

anyag	n
vákuum	1
Gázok 0 °C-on és légköri nyomáson
levegő	1,000293
hélium	1,000036
hidrogén	1,000132
szén-dioxid	1,00045
folyadékok 20 °C-on
víz	1,333
etanol	1,36
olívaolaj	1,47
szilárd anyagok
jég	1,309
műanyagok	1,45-1,65
üvegek	1,45-1,7
gyémánt	2,42

Fázistörésmutató kapcsolata más anyagi paraméterekkel

Az elektromágneses hullámok terjedési sebessége egy adott közegben kapcsolatban van az anyag elektromos és mágneses tulajdonságaival, amit a következő összefüggés is kifejez:

$n=\sqrt{{ϵ}_r{\mu }_r}$

ahol ε_r az anyag relatív permittivitása, és μ_r a relatív permeabilitása. A nemmágneses anyagoknál μ_r közel 1, ebben az esetben $n=\sqrt{{ϵ}_r}$. A diszperzió jelensége miatt a fény terjedési sebessége, így a törésmutató értéke is egy adott anyag esetében általában kissé változik a hullámhossz függvényében. Néha azzal arányosan, máskor pedig azzal fordított arányban. Így, ezen anyagok megfelelő kombinációjával gyakorlatilag kiküszöbölhető a nem csak egyszínű lézerfénnyel dolgozó optikai rendszerek egyik általános hibája, a kromatikus aberráció.

Hullámcsomag törésmutatója a csoporttörésmutató

A fázistörésmutató fenti definíciója az egyszínű, monokromatikus hullámokra érvényes, a monokromatikus hullámok azonban csak idealizált modellek. A fényhullámok valójában monokromatikus hullámok szuperpozíciójából állnak elő hullámcsomag formájában: Egy z irányban terjedő hullámcsomagot a következő $E(z,t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}E(\omega )e^{-i(\omega t-k(\omega )z)}$ formában tárgyalhatunk, ahol $k(\omega )=\frac{n(\omega )\omega }{c}$ az $\omega$ körfrekvenciájú hullámkomponens hullámszáma, c pedig a vákuumbeli fény sebessége. Egy hullámcsomag terjedését ezen a fázissebességen kívül a csoportsebessége jellemzi $v_{cs}=\frac{1}{\frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{d}\omega }}=\frac{c}{\omega \frac{\mathrm{d}n(\omega )}{\mathrm{d}\omega }+n(\omega )}$, amiből $N_{cs}=\frac{c}{v_{cs}}=n(\omega )+\omega \frac{\mathrm{d}n(\omega )}{\mathrm{d}\omega }$ hullámhosszra átírva: $N_{cs}=n(\lambda )-\lambda \frac{\mathrm{d}n(\lambda )}{\mathrm{d}\lambda }$, ami az úgynevezett csoporttörésmutató.

Kettősen törő kristályok törésmutatója

Kettősen törő kristályokban az aszimmetrikus belső szerkezet miatt a fény terjedési sebessége a különböző kristálytengelyek irányában különbözik. Így az adott irányokhoz más-más törésmutató rendelhető. A kristályba belépő fény két külön nyalábra bomlik, egyik az ordinárius, a másik az extraordinárius sugár. Az elnevezés arra utal, hogy az egyik követi a fénytörés törvényét, a másik nem. A $ϵ$ permittivitás sem skalármennyiség, hanem egy tenzor. A fény kristályon való áthaladását – a kettőstörést – az $ϵ={ϵ}_0({\chi }^{(1)}+1)$ tenzor szabja meg, ahol ${\chi }^{(1)}$ a lineáris szuszceptibilitás tenzor. Veszteségmentes esetben $ϵ$ tenzor szimmetrikus (megfelelő koordináta-rendszerben diagonális). Amennyiben mindhárom diagonális elem különbözik, kéttengelyű, amennyiben kettő megegyezik, egytengelyű kettősen törő kristályról beszélünk. Ha mindhárom elem megegyezik, a kristály izotróp. A dielektromos tengelyrendszerben felírt (itt diagonális $ϵ$) Maxwell-egyenletekbe helyettesítve a $\overrightarrow{k}={({\overrightarrow{k}}_x,{\overrightarrow{k}}_y,{\overrightarrow{k}}_z)}^T$ hullámszámvektorral jellemzett síkhullámot, valamint felhasználva, hogy $n_j^2={ϵ}_j/{ϵ}_0$, az $\frac{1}{n^2}=\sum _{j=1}^3\frac{k_j^2}{k^2(n^2-n_j^2)}$ Fresnel-egyenlethez jutunk. Ezen egyenletnek minden terjedési irányra két egymásra merőleges polarizációjú megoldása van $n$-re, így $\overrightarrow{k}$-ra is. Ez a gyakorlatban azt jelenti, hogy az ordinárius és az extraordinárius nyaláb polarizációja egymásra merőleges. A kettősen törő kristályok felhasználhatók lineárisan polarizált fény előállítására.

Komplex törésmutató

Abszorbeáló közegek optikai tulajdonságainak jellemzésére a komplex törésmutatót használják. Definíciója a komplex permittivitás definíciójának mintájára:

$\hat{n}=n-i\kappa .$

ahol n és $\kappa$ a valós és képzetes részt jelölik, i pedig az imaginárius egység, i ² = −1. A valós rész – a már fentebb megismert – a fény közegbeli terjedési sebességével kapcsolatos törésmutató. $\kappa$ pedig az abszorpciómutató, egy dimenzió nélküli mennyiség. Az elnyelődés mértékét szokásos még az $\alpha$ -val jelölt abszorpciós együtthatóval is jellemezni:

$\alpha =\frac{2\omega \kappa }{c}=\frac{4\pi f\kappa }{c}=\frac{4\pi \kappa }{\lambda }$

ahol $\omega$ a körfrekvencia, f a frekvencia, $\lambda$ a hullámhossz. Az abszorpciós együtthatót legtöbbször 1/cm mértékegységben adják meg. A komplex törésmutató és a komplex permittivitás nemmágneses anyagoknál ugyanolyan kapcsolatban vannak egymással, mint a valós részeik, azaz: $\hat{n}=\sqrt{\widehat{ϵ}}$. Egy anyag elektromos térrel szembeni viselkedését a komplex permittivitása befolyásolja, mivel a fény elektromágnes hullám, így érthető, hogy a közegbeli terjedését, elnyelődését leíró optikai paraméterek mind-mind kapcsolatban vannak egymással. Megmutatható, hogy a komplex permittivitás valós illetve képzetes része és a törésmutató illetve és az abszorpciómutató között a következő összefüggések adhatók meg:

${\epsilon }^{\prime }(\omega )=n^2-{\kappa }^2$

${\epsilon }^{″}(\omega )=2n\kappa$.

Kapcsolódó szócikkek

• Abszorpció (fizika)