Túlélési függvény

Innen: Hungaropédia
Ugrás a navigációhozUgrás a kereséshez

A túlélési függvény a valószínűségszámítás speciális valós függvénye, ami az eloszlásfüggvényt egészíti ki. Az eloszlásfüggvényekhez hasonlóan a túlélési függvényekhez is hozzárendelhető valószínűségeloszlás, és megfordítva, minden eloszlásfüggvénynek van túlélési függvénye. Elnevezése az élettartamok vizsgálatából származik. Ebben az esetben az egyednek vagy az elemnek túl kell élnie egy t időtartamot. A túlélési függvény grafikonja a túlélési görbe.

Definíció

Adva legyen egy P valószínűségeloszlás -en, ellátva a Borel-σ-algebrával; vagy egy X valószínűségi változó. Ekkor

GP(t):=P((t,+))

illetve

GX(t):=P(Xt)

P, illetve X túlélési függvénye.

Tulajdonságai

Az eloszlásfüggvényhez hasonlóan belátható, hogy:

limtG(t)=1 és limt+G(t)=0
G monoton csökken
G balról folytonos.

Kapcsolat az eloszlásfüggvénnyel

Ha P valószínűségeloszlás, eloszlásfüggvénye FP és túlélési függvénye GP, akkor:

FP(t)+GP(t)=1 minden t.

és minden X valószínűségi változóra

FX(t)+GX(t)=1 minden t.

Ez közvetlenül következik a definíciókból és a valószínűségeloszlás normáltságából. Az eloszlásfüggvény azokat számolja, melyekre a valószínűség kisebb, mint egy adott érték, a túlélési függvény azokat, melyekre a valószínűség legalább akkora, mint az adott érték. Így az összeg valószínűsége az, hogy valamilyen értéket felvesz, azaz 1. Emiatt a túlélési függvényből kiszámítható az eloszlásfüggvény, és megfordítva, az eloszlásfüggvényből a túlélési függvény. Ezzel belátható, hogy a fenti tulajdonságokat teljesítő függvény túlélési függvény.

Feltételes túlélési valószínűség és hátralevő élettartam

Gyakran van szükség a hátralevő élettartam becslésére. Az az információ, hogy egy elem még t0 idő után is működőképes, megváltoztatja a valószínűség becslését. Feltét4eles valószínűség használatával kapjuk a következőket:

A feltételes túlélés valószínűsége:
P(X>t0+tX>t0)=G(t+t0)G(t0)=1F(t0+t)1F(t0)
A hátralevő élettartam:
F(t+t0t0)=P(Xt+t0X>t0)=F(t+t0)F(t0)1F(t0)

Források

  • Klaus D. Schmidt. Maß und Wahrscheinlichkeit, 2., átolvasott, Heidelberg Dordrecht London New York: Springer-Verlag (2011) 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben az Überlebensfunktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.