Tenzorszámítás (geometria)

Ez a szócikk az R² és R³ tér másodrendű tenzorainak elméletével foglalkozik. További általánosításokról a tenzor szócikk nyújt eligazítást.

A tenzorszámítás vagy tenzoraritmetika és -algebra a geometriai térbeli tenzorokkal végzett műveletek szabályait foglalja össze. A háromdimenziós térbeli másodrendű tenzorok normált algebrát alkotnak és a lineáris leképezések Lin(R³;R³) terével azonosítható teret képeznek. A tenzorok lényegében olyan affin leképezéseket leíró (kódoló) matematikai objektumok, melyeknek van fixpontjuk, azaz olyan pont a koordinátatérben, melyet a leképezés saját magába képez (ilyen pont az origó). A tenzorok legjellemzőbb tulajdonsága, hogy függetlenek a koordináta-rendszer választásától. Bár minden tenzornak van mátrixa, és a tenzorműveletek elvégezhetők a mátrixukkal is, ezek a műveletek nem csak számtáblázatokkal végzett számítások, hanem geometriai realitásuk van.

A tenzor definíciójáról

Egy A tenzor az r vektorral megszorozva egy v vektort eredményez:

$\mathbf{v}=\mathbf{A}\mathbf{r}$

Ez a szorzat a tenzorok homogén lineáris tulajdonsága folytán érhető tetten. Tetszőleges c₁ és c₂ skalárral és r₁, r₂ vektorral:

$\mathbf{A}(c_1.{\mathbf{r}}_1+c_2.{\mathbf{r}}_2)=c_1.\mathbf{A}{\mathbf{r}}_1+c_2.\mathbf{A}{\mathbf{r}}_1$

Itt . vektornak skalárral történő szorzása. Eszerint a tenzorok azonosíthatók a lineáris leképezésekkel.

Lásd bővebben: lineáris leképezések.

Ha (b₁, b₂, b₃) ortonormált bázis a térben, akkor az Ar szorzatban r egyértelműen kifejezhető ezek lineáris kombinációjaként és kapjuk: Ar = A(x.b₁+y.b₂+z.b₃) = x.Ab₁+y.Ab₂+z.Ab₃. Vezessük be a következő jelöléseket: a₁ = Ab₁, a₂ = Ab₂, a₃ = Ab₃. Az előbbi alakban x, y, és z az r vektor tengelyekre eső merőleges vetülete, azaz rendre a következő skaláris szorzatok: r$\cdot$b₁, r$\cdot$b₂, r$\cdot$b₃. Tehát az Ar szorzat végeredményben:

$\mathbf{v}=\mathbf{A}\mathbf{r}=(\mathbf{r}\cdot {\mathbf{b}}_1).{\mathbf{a}}_1+(\mathbf{r}\cdot {\mathbf{b}}_2).{\mathbf{a}}_2+(\mathbf{r}\cdot {\mathbf{b}}_3).{\mathbf{a}}_3$

Tekintve, hogy az r $\mapsto$ (r$\cdot$b).a leképezés a diadikus szorzat, azaz b$\circ$a, ezért rögzítve az (b₁, b₂, b₃) bázist, a tenzor előáll:

$\mathbf{A}={\mathbf{a}}_1\circ {\mathbf{b}}_1+{\mathbf{a}}_2\circ {\mathbf{b}}_2+{\mathbf{a}}_3\circ {\mathbf{b}}_3$

alakban. Ez azt jelenti, hogy a tenzorok diadikus szorzatok lineáris kombinációi. Ezen a jellemzésen alapul, hogy az algebrában másodrendű tenzoron a diadikus szorzatok által kifeszített alteret értik.

Az absztrakt algebrai definícióra nézve lásd még: tenzor.

A tenzort a B = (b₁, b₂, b₃) rögzített bázisban tehát egyértelműen jellemzi a következő vektorhármas:

$({\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,{\mathbf{a}}_3)$

Illetve az ebből, mint oszlopvektorokból készített alábbi mátrix:

$[\mathbf{A}{]}_B=\left[\begin{array}{ccc}\begin{array}{c}|\\ {\mathbf{a}}_1\\ |\end{array}& \begin{array}{c}|\\ {\mathbf{a}}_2\\ |\end{array}& \begin{array}{c}|\\ {\mathbf{a}}_3\\ |\end{array}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]$

Kovariancia

A tenzorok mátrixaira jellemző praktikus tulajdonság, hogy „a koordináta-rendszerrel együtt transzformálódnak” vagy másként, a tenzorok mátrixai kovariánsak. Ezeket a kijelentéseket a következőképpen értjük. Ha az A tenzort egy V $\to$ V lineáris leképezésnek tekintjük, akkor a V geometriai téren értelmezett φ:V $\to$ R³ lineáris bijekció a tér egy koordinátázását definiálja. Például akármilyen B bázist rögzítve, a bázishoz tartozó V $\to$ R³ kanonikus izomorfizmus egy koordináta leképezés. Az A tenzornak, egy φ koordinátázáshoz tartozó mátrixa (például egy bázis rögzítése esetén) nem más, mint a

$\phi \circ \mathbf{A}\circ {\phi }^{-1}$

lineáris leképezés sztenderd bázishoz tartozó mátrixa. Ha ezt [A]_φ-vel jelöljük, akkor a tenzor egy másik koordinátázáshoz tartozó [A]_ψ mátrixa között a következő összefüggés áll fenn:

$[\mathbf{A}{]}_{\psi }=T\cdot [\mathbf{A}{]}_{\phi }\cdot T^{-1}$

ahol T = [ψ$\circ$φ⁻¹], azaz a ψ$\circ$φ⁻¹ koordináta-rendszer váltó transzformáció mátrixa. Ez a tulajdonság újabb lehetőséget biztosít a tenzor definíciójára. Eszerint, ha minden egyes φ:V $\to$ R³ lineáris bijekcióhoz hozzárendelünk egy M_φ mátrixot úgy, hogy bármely két ilyen φ, ψ koordináta leképezés esetén teljesüljön az M_ψ = T M_φ T⁻¹ egyenlőség, ahol T a φ és ψ közötti koordináta transzformáció, akkor az (M_φ) mátrixrendszer egyértelműen meghatároz egy tenzort.

Tenzor műveletek

Tenzorok lineáris tere

A tenzorokat r $\mapsto$ Ar lineáris leképezéseknek tekintve bevezethetjük terükön a skalárral való szorzás és az összeadás műveletét. Ezek egy r vektorhoz következőket rendelik. Ha A és B tenzorok, akkor:

$(\mathbf{A}+\mathbf{B})\mathbf{r}:=\mathbf{A}\mathbf{r}+\mathbf{B}\mathbf{r}$

Ha emellett λ skalár, akkor

$(\lambda .\mathbf{A})\mathbf{r}:=\lambda .(\mathbf{A}\mathbf{r})$

A tenzorok vektorterének nulleleme az a 0 tenzor, mely minden r vektorhoz a 0 vektort rendeli

$\mathbf{0}\mathbf{r}=\mathbf{0}$

Az –A ellentett tenzor az A-nak a -1 skalárral vett szorzata:

$(-\mathbf{A})\mathbf{r}=(-1).\mathbf{A}\mathbf{r}$

A tenzortér 9 dimenziós, ha térbeli és 4 dimenziós, ha síkbeli.

Tenzorok algebrája

Az A és B tenzor szorzatát definiálva a tenzorok egységelemes algebrát alkotnak. Tetszőleges r vektorra a szorzat értelmezése:

$(\mathbf{A}\mathbf{B})\mathbf{r}:=\mathbf{A}(\mathbf{B}\mathbf{r})$

Ez lényegében nem más mint a lineáris leképezések kompozíciója. Az egységtenzor az indentitás leképezésnek felel meg:

$\mathbf{I}\mathbf{r}:=\mathbf{r}$

Az A tenzor inverzének (vagy reciprokának) nevezzük az olyan a C tenzort, melyre:

$\mathbf{A}\mathbf{C}=\mathbf{C}\mathbf{A}=\mathbf{I}$

Nem minden tenzornak van inverze, de ha van, az egyértelmű. A tenzorok algebrája nem kommutatív (található A és B, hogy AB≠BA) és nem nullosztómentes (létezik nemnulla A és B, hogy AB=0)

Geometriai műveletek

Az A tenzort és a v vektor vektoriális szorzata a következő:

$(\mathbf{v}\times \mathbf{A})\mathbf{r}:=\mathbf{v}\times (\mathbf{A}\mathbf{r})$

Ez a szorzásfajta mindkét tényezőjében lineáris. Tenzort eredményez azonban két vektor diadikus szorzata:

$(\mathbf{a}\circ \mathbf{b})\mathbf{r}:=\mathbf{a}.(\mathbf{b}\cdot \mathbf{r})$

Ahol . a skalárral történő szorzás, $\cdot$ pedig a skaláris szorzás.

Tenzorszimmetriák és -antiszimmetriák

Azt mondjuk, hogy az A tenzor szimmetrikus, ha tetszőleges u és v vektorra:

$\mathbf{u}\mathbf{A}\mathbf{v}=\mathbf{v}\mathbf{A}\mathbf{u}$

és azt mondjuk, hogy antiszimmetrikus, ha

$\mathbf{u}\mathbf{A}\mathbf{v}=-\mathbf{v}\mathbf{A}\mathbf{u}$

Ha egy tenzor szimmetrikus, akkor bármely bázisban a mátrixa szimmetrikus mátrix, azaz a főátlóra az elemek tükrösek:

$\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \alpha & \beta \\ \alpha & a_{22}& \gamma \\ \beta & \gamma & a_{33}\end{array}\right]$

vagy másként: a_ij=a_ji. Ha egy tenzor antiszimmetrikus, akkor bármely bázisban a mátrixa antiszimmetrikus mátrix, azaz a főátlóban csak nullák vannak és a főátlóra az elemek ellentett-tükrösek:

$\left[\begin{array}{ccc}0& -\alpha & -\beta \\ \alpha & 0& -\gamma \\ \beta & \gamma & 0\end{array}\right]$

vagy másként: a_ij=–a_ji. Ekkor a tenzor egyértelműen előáll a×I alakban, ahol a az (γ,-β,α) vektor, I pedig az egységtenzor. Az antiszimmetrikus tenzorokat szokás éppen ezért pszeudovektoroknak is nevezni. Tetszőleges A tenzor egyértelműen bontható fel egy szimmetrikus és egy antiszimmetrikus tenzor összegére:

$\mathbf{A}={\mathbf{A}}_s+{\mathbf{A}}_a$

Egyetlen olyan A* tenzor létezik, mellyel A + A* szimmetrikus tenzor, A – A* pedig antiszimmetrikus. Ezt az A* tenzort az A transzponáltjának nevezzük. Rögzített bázisban a A* mátrixa az A mátrixának transzponáltja:

$\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{21}& a_{31}\\ a_{12}& a_{22}& a_{32}\\ a_{13}& a_{23}& a_{33}\end{array}\right]$

azaz a*_ij=a_ji.

Invariáns mennyiségek

Maga egy A tenzor független a koordináta-rendszer választásától (csak a mátrixa függ). Ebből a tulajdonságából következik, hogy egy tenzorhoz kapcsolódnak olyan vektor- és skalármennyiségek, melyek szintén függetlenek a koordináta-rendszer rögzítésétől.

Nyom

Egy A tenzor első skalárinvariánsa (a${}_I$ ) a

spur(A):=a₁₁+a₂₂+a₃₃

mennyiség, azaz tetszőleges mátrixának főátlóbeli elemei összege. (A spur(A) rövidítés magyar elnevezése: „az A nyoma”, másként tr-rel vagy Tr-rel is jelölhető, az angolban meghonosodott trace elnevezés alapján.) Ugyanis, ha A az A tenzor tetszőleges mátrixa és T koordinátatranszformáció, akkor (felhasználva a mátrix nyomára vonatkozó spur(AB)=spur(BA) felcserélhetőségi tulajdonságot):

$\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}(TA{T}^{-1})=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}(T{T}^{-1}A)=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}(IA)=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}(A)$

ahol I az egységmátrix. Ha tehát A tenzor mátrixa, akkor ennek nyoma minden koordináta-rendszerben ugyanaz a szám (skalár).

Adjungált-nyom

Az A tenzor adjungáltjának nyoma (triviális módon) szintén invariáns (2. skalárinvariáns: a${}_{II}$ ):

spur(adj(A))

Itt adj(A) az a tenzor, mely tetszőleges bázis választása esetén az A mátrixának előjeles aldetermináns-mátrixaként jön létre:

$[\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(\mathbf{A})]=\left[\begin{array}{ccc}+\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}{a}_{12}& a_{13}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}{a}_{12}& a_{13}\\ a_{22}& a_{23}\end{array}\right|\\ & & \\ -\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{13}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{13}\\ a_{21}& a_{23}\end{array}\right|\\ & & \\ +\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|\end{array}\right]$

Ugyanis, adj(A) valóban tenzor, mert tetszőleges A mátrixra és T koordináta-transzformációra (felhasználva a mátrix adjungáltjára vonatkozó adj(AB) = adj(B)$\cdot$adj(A) azonosságot, továbbá az invertálható mátrix inverzének képletét):

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(TA{T}^{-1})=\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(T^{-1})\cdot \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(A)\cdot \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(T)=$

$=\frac{T}{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(T)}\cdot \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(A)\cdot T^{-1}\cdot \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(T)=T\cdot \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(A)\cdot T^{-1}$

tehát adj(A) úgy transzformálódik, mint az A mátrix, ami viszont tenzor mátrixa. De minden tenzor nyoma invariáns, így spur(adj(A)) is az.

Determináns

Az A tenzor harmadik skalárinvariánsa (a${}_{III}$) tetszőleges mátrixának determinánsa:

$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(\mathbf{A})=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+$

$-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}$

Ugyanis, ha A tenzor, és A egy tetszőleges bázisban a mátrixa, valamint T egy tetszőleges koordináta-transzformáció mátrixa, akkor a mátrixok determinánsának tulajdonságai miatt:

$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(TA{T}^{-1})=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(T)\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(A)\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(T^{-1})=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(T)\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(A)\frac{1}{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}T}=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(A)$

A determináns szemléletes jelentése, a bázisvektorok képei által kifeszített paralelepipedon előjeles térfogata. Világos, hogy akármilyen ortonormált bázisban ez a térfogat ugyanaz, azaz invariáns.

Vektorinvariáns

Minden antiszimmetrikus tenzor előáll a×I vektoriális szorzat formájában, ahol a vektor, I az egységtenzor. Itt a-t az antiszimmetrikus tenzor vektorinvariánsának nevezzük. Egy tetszőleges A tenzor vektorinvariánsán értjük az antiszimmetrikus részének vektorinvariánsát.

Tenzor hatványa

Az A pozitív egész n-edik hatványának nevezzük az Aⁿ:=A$\cdot$A$\cdot$…$\cdot$A szorzatot, melyben n tényező szerepel. Tenzor nulladik hatványa az egységtenzor: A⁰ := I. A pontosan akkor invertálható, ha det(A) ≠ 0, és ekkor az inverze:

${\mathbf{A}}^{-1}=\frac{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}\mathbf{A}}{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathbf{A}}$

Itt adj A mátrixalakban az A mátrixának előjeles aldeterminánsmátrixa. Invertálható tenzor negatív egész kitevőjű hatvány az inverz pozitív egész kitevőjű hatványai: A⁻²:=(A⁻¹)², A⁻³:=(A⁻¹)³, … A Caley–Hamilton-tétel következményeként a tenzor gyöke a karakterisztikus polinomnak (lásd lentebb). Azaz, ha P(λ)=λ³-a_Iλ²+a_IIλ-a_III a karakterisztikus polinom, akkor fennáll a következő tenzor egyenlet:

${\mathbf{A}}^3-a_{\mathrm{I}}{\mathbf{A}}^2+a_{\mathrm{I}\mathrm{I}}\mathbf{A}-a_{\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}}\mathbf{I}=\mathbf{0}$

itt az együtthatók a tenzor skalárinvariánsai.

Sajátvektor, sajátérték

Azt mondjuk, hogy a nemnulla v vektor az A tenzor λ sajátértékű sajátvektora, ha teljesül az

$\mathbf{A}\mathbf{v}=\lambda .\mathbf{v}$

egyenlőség, azaz A a v-t saját egyenesébe képezi. A tenzoregyenletet nullára redukálva, tetszőleges bázisban a sajátvektorok a következő (határozatlan) homogén lineáris egyenletrendszerrel jellemezhetők:

$[\mathbf{A}-\lambda .\mathbf{I}]\cdot [\mathbf{v}]=[\mathbf{0}]$

Ennek az egyenletnek pontosan akkor van nemnulla megoldása, ha a bal oldali mátrix determinánsa 0:

$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(\mathbf{A}-\lambda .\mathbf{I})={\lambda }^3-\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}(\mathbf{A}){\lambda }^2+\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}(\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}\mathbf{A})\lambda -\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(\mathbf{A})=0$

Ezt az (invariáns) egyenletet nevezik a tenzor karakterisztikus egyenletének, melyből a sajátértékek, mint gyökök meghatározhatók. A sajátértékeket azután az egyenletrendszere behelyettesítve, és azt megoldva megkapjuk a sajátvektorokat. Megjegyezzük, hogy az R² térbeli esetben a karakterisztikus egyenlet:

${\lambda }^2-\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}(\mathbf{A})\lambda +\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(\mathbf{A})=0$

Ha a sajávektorokból ortonormált bázis választható ki, akkor ezt főtengelyrendszernek nevezzük. Főtengelyrendszerben a tenzor mátrixa diagonális mátrix, melynek főátlójában a sajátértékek vannak. Főtengelytétel – Szimmetrikus tenzornak létezik (valós sajátértékekkel, ortonormált) főtengelyrendszere.

Hivatkozások

• Fazekas Ferenc, Vektoranalízis (Műszaki matematikai gyakorlatok), Tankönyvkiadó, Bp., 1967