Termodinamikai béta

A termodinamikai béta egy fizikai mennyiség a statisztikus mechanikában, mely egy rendszer termodinamikai hőmérsékletéhez ($T$), kapcsolódik. Számítása:

$\beta =\frac{1}{k_{\mathrm{B}}T},$

ahol $k_{\mathrm{B}}$ a Boltzmann-állandó. A termodinamikai béta úgy tekinthető, mint kapcsolat egy fizikai rendszer statisztikus értelmezése, és a termodinamika között. Néha alapvetőbb mennyiségnek tekinthető, mint a hőmérséklet.

Statisztikus értelmezés

Statisztikai szempontból, a β egy numerikus mennyiség, mely kapcsolódik két, egyensúlyban lévő makroszkopikus rendszerhez. A pontos megfogalmazás a következő: Tekintsünk két rendszert, 1 és 2, termikus kapcsolatban, a megfelelő energiákkal, E₁ és E₂. Feltételezzük, hogy E₁ + E₂ = valamilyen E konstans. Minden egyes rendszer mikroállapotainak számát jelöljük Ω₁ and Ω₂. A feltételezésünk szerint Ω_i csak E_i-től függ. Így a kombinált rendszer mikroállapotainak a száma:

$\mathrm{\Omega }={\mathrm{\Omega }}_1(E_1){\mathrm{\Omega }}_2(E_2)={\mathrm{\Omega }}_1(E_1){\mathrm{\Omega }}_2(E-E_1).$

β-át levezetjük a következő alapvető feltételezésből: Ha a kombinált rendszer eléri az egyensúlyi állapotát, az Ω eléri maximális értékét. Más szavakkal, a rendszer természetesen törekszik a mikroállapotok maximális számára, ezért az egyensúlyban,

$\frac{d}{d{E}_1}\mathrm{\Omega }={\mathrm{\Omega }}_2(E_2)\frac{d}{d{E}_1}{\mathrm{\Omega }}_1(E_1)+{\mathrm{\Omega }}_1(E_1)\frac{d}{d{E}_2}{\mathrm{\Omega }}_2(E_2)\cdot \frac{d{E}_2}{d{E}_1}=0.$

Azonban E₁ + E₂ = E, ebből következik

$\frac{d{E}_2}{d{E}_1}=-1.$

így

${\mathrm{\Omega }}_2(E_2)\frac{d}{d{E}_1}{\mathrm{\Omega }}_1(E_1)-{\mathrm{\Omega }}_1(E_1)\frac{d}{d{E}_2}{\mathrm{\Omega }}_2(E_2)=0$

azaz:

$\frac{d}{d{E}_1}\ln {\mathrm{\Omega }}_1=\frac{d}{d{E}_2}\ln {\mathrm{\Omega }}_2\text{at equilibrium.}$

A fenti összefüggésből következik a β definíciója:

$\beta \equiv \frac{d\ln \mathrm{\Omega }}{dE}.$

Termodinamikai értelmezés

Amikor két rendszer egyensúlyban van, akkor hasonló T termodinamikai hőmérséklettel rendelkeznek. Ebből azt várnánk el, hogy β összefügg valamilyen módon a T-vel. Az összefüggés a következő módon vezethető le:

$S=k\ln \mathrm{\Omega },$

ahol k a Boltzmann-állandó. Így

$d\ln \mathrm{\Omega }=\frac{1}{k}dS.$

β-át behelyettesítve:

$\beta =\frac{1}{k}\frac{dS}{dE}.$

Összehasonlítva a termodinamikai formulával

$\frac{dS}{dE}=\frac{1}{T},$

kapjuk:

$\beta =\frac{1}{kT}=\frac{1}{\tau }$

ahol $\tau$-t néha a rendszer alapvető hőmérsékletének nevezik, egységnyi energiára számolva.

Irodalom

• Csákány Antal - Flórik György - Gnadig Péter - Holics László - Juhász András - Sükösd Csaba - Dr. Tasnádi Péter: Fizika. Budapest: Akadémiai Kiadó Zrt. 2011. ISBN 9789630584876  
• Hraskó Péter: Termodinamika és statisztikus fizika

Kapcsolódó szócikkek

• Boltzmann-tényező
• Boltzmann-eloszlás
• Termodinamika
• Ising modell
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• Statisztika
• Matematikai statisztika
• Termodinamikai hőmérséklet
• Energia
• Statisztikus fizika