Trigamma-függvény

A trigamma-függvény, ψ₁(z), a második poligamma-függvény. Definíciója: ${\psi }_1(z)=\frac{d^2}{d{z}^2}\ln \mathrm{\Gamma }(z)$. Ebből a definícióból következik:

${\psi }_1(z)=\frac{d}{dz}\psi (z)$

Ahol ψ(z) a digamma-függvény. A trigamma-függvény definiálható sorozat összegeként is:

${\psi }_1(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(z+n{)}^2},$

melynek a Hurwitz zéta-függvény egy speciális esete: ${\psi }_1(z)=\zeta (2,z).\frac{}{}$ Megjegyzés: a két utóbbi formula csak akkor érvényes, ha 1 - z nem természetes szám

Trigamma függvény ψ₁(z), , a komplex síkon, erősebb színek jelzik a zéróhoz közeli értékeket

Tulajdonságok

Dupla integrált forma

${\psi }_1(z)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{y}{\int }}\frac{x^{z-1}y}{1-x}dxdy$

Kapcsolat a geometriai sorral

${\psi }_1(z)=-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^{z-1}\ln x}{1-x}dx$

Bernoulli-számokkal kifejezve

${\psi }_1(1+z)=\frac{1}{z}-\frac{1}{2z^2}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}}{z^{2k+1}}$.

Rekurzív sorozat

A trigamma-függvény kifejezhető rekurzív sorozattal:

${\psi }_1(z+1)={\psi }_1(z)-\frac{1}{z^2}$

Reflexiós formulával

${\psi }_1(1-z)+{\psi }_1(z)={\pi }^2{\csc }^2(\pi z).$

Speciális értékek

${\psi }_1\left(\frac{1}{4}\right)={\pi }^2+8K$

${\psi }_1\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{{\pi }^2}{2}$

${\psi }_1(1)=\frac{{\pi }^2}{6}$

ahol K a Catalan-állandó

Források

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions. (hely nélkül): Dover Publications, New York. 1964. ISBN 0-486-61272-4  

Kapcsolódó szócikkek

• Catalan-állandó
• Poligamma-függvény
• Euler-integrál
• Gamma-függvény
• Faktoriális
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• Statisztika
• Matematikai statisztika