Trigonometrikus azonosságok

A trigonometrikus azonosságok szögfüggvények között fennálló matematikai összefüggések (egyenlőségek, azonosságok). Ezek az azonosságok hasznosak szögfüggvényeket tartalmazó kifejezések egyszerűbb alakra hozásakor. Egyéb függvények integrálásakor is alkalmazzák őket, amikor bizonyos kifejezéseket trigonometrikus kifejezésekkel helyettesítünk, majd a kapott integrált trigonometrikus azonosságokkal egyszerűsítjük.

Egy szög (θ) minden trigonometriai függvénye megszerkeszthető az origó középpontú egységkör segítségével.

Jelölések

Az alábbi jelöléseket használjuk a hat szögfüggvényre: szinusz (sin), koszinusz (cos), tangens (tg), kotangens (ctg), szekáns (sec) és koszekáns (csc). Egyszerűség kedvéért csak a szinusz esetét mutatja az alábbi táblázat.

Jelölések	Olvasd	Leírás	Definíció
sin²(x)	„szinusz négyzet x”	a szinusz négyzete; szinusz a második hatványon	sin²(x) = (sin(x))²
arcsin(x)	„arkuszszinusz x”	a szinusz inverz függvénye	arcsin(x) = y  akkor és csak akkor, ha  sin(y) = x és $-\frac{\pi }{2}\le y\le \frac{\pi }{2}$
(sin(x))‒1	„szinusz x a (-1)-edik hatványon”	a szinusz reciproka;	(sin(x))‒1 = 1 / sin(x) = csc(x)

arcsin(x) így is írható: sin⁻¹(x); ezt nem szabad összetéveszteni a (sin(x))^‒1-nel.

Definíciók

$\begin{array}{rlrl}\mathrm{t}\mathrm{g}(x)& =\frac{\sin (x)}{\cos (x)}& \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(x)& =\frac{\cos (x)}{\sin (x)}=\frac{1}{\mathrm{t}\mathrm{g}(x)}\\ \sec (x)& =\frac{1}{\cos (x)}& \csc (x)& =\frac{1}{\sin (x)}\end{array}$

További részletekről lásd trigonometrikus függvények.

Periodicitás, szimmetria és eltolás

Az egységsugarú körből egyszerű belátni:

Periodicitás

A szinusz, koszinusz, szekáns, és koszekáns függvények 2π (egy teljes kör) szerint periodikusak: ha $k$ tetszőleges egész szám akkor

$\begin{array}{rl}\sin (x)& =\sin (x+2k\pi )\\ \cos (x)& =\cos (x+2k\pi )\\ \sec (x)& =\sec (x+2k\pi )\\ \csc (x)& =\csc (x+2k\pi )\\ \end{array}$

A tangens- és kotangensfüggvények π szerint periodikusak: ha $k$ tetszőleges egész szám, akkor

$\begin{array}{rl}\mathrm{t}\mathrm{g}(x)& =\mathrm{t}\mathrm{g}(x+k\pi )\\ \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(x)& =\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(x+k\pi )\\ \end{array}$

Szimmetria

$\begin{array}{rlrlrl}\sin (-x)& =-\sin (x)& \sin (\frac{\pi }{2}-x)& =\cos (x)& \sin (\pi -x)& =+\sin (x)\\ \cos (-x)& =+\cos (x)& \cos (\frac{\pi }{2}-x)& =\sin (x)& \cos (\pi -x)& =-\cos (x)\\ \mathrm{t}\mathrm{g}(-x)& =-\mathrm{t}\mathrm{g}(x)& \mathrm{t}\mathrm{g}(\frac{\pi }{2}-x)& =\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(x)& \mathrm{t}\mathrm{g}(\pi -x)& =-\mathrm{t}\mathrm{g}(x)\\ \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(-x)& =-\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(x)& \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(\frac{\pi }{2}-x)& =\mathrm{t}\mathrm{g}(x)& \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(\pi -x)& =-\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(x)\\ \sec (-x)& =+\sec (x)& \sec (\frac{\pi }{2}-x)& =\csc (x)& \sec (\pi -x)& =-\sec (x)\\ \csc (-x)& =-\csc (x)& \csc (\frac{\pi }{2}-x)& =\sec (x)& \csc (\pi -x)& =+\csc (x)\end{array}$

Eltolás

Eltolás π/2 és π szöggel:

$\begin{array}{rlrl}\sin (x+\frac{\pi }{2})& =+\cos (x)& \sin (x+\pi )& =-\sin (x)\\ \cos (x+\frac{\pi }{2})& =-\sin (x)& \cos (x+\pi )& =-\cos (x)\\ \mathrm{t}\mathrm{g}(x+\frac{\pi }{2})& =-\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(x)& \mathrm{t}\mathrm{g}(x+\pi )& =+\mathrm{t}\mathrm{g}(x)\\ \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(x+\frac{\pi }{2})& =-\mathrm{t}\mathrm{g}(x)& \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(x+\pi )& =+\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(x)\\ \sec (x+\frac{\pi }{2})& =-\csc (x)& \sec (x+\pi )& =-\sec (x)\\ \csc (x+\frac{\pi }{2})& =+\sec (x)& \csc (x+\pi )& =-\csc (x)\end{array}$

Lineáris kombináció

Néhány esetben fontos tudni, hogy ugyanolyan periódusú, de különböző fázisban lévő szinusz hullámok lineáris kombinációja szintén ugyanolyan periódusú, de más fázisszögű szinusz hullámot ad. Szinusz és koszinusz hullámok lineáris kombinációjakor ez írható:

$$\begin{gathered} a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cdot \sin (x+\phi ) \\ , \end{gathered}$$

ahol

$\phi =\{\begin{array}{ccc}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(b/a),& & \text{ha }a\ge 0;\\ \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(b/a)\pm \pi ,& & \text{ha }a<0.\end{array}$

Általánosabban tetszőleges fázisszögre írható:

$$\begin{gathered} a\sin x+b\sin (x+\alpha )=c\sin (x+\beta ) \\ , \end{gathered}$$

ahol

$c=\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos \alpha },$

és

$\beta =\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{b\sin \alpha }{a+b\cos \alpha }\right).$

Pitagoraszi azonosságok

Ezek az azonosságok a Pitagorasz-tételen alapulnak.

$\begin{array}{rl}& {\sin }^2(x)+{\cos }^2(x)=1\\ & {\mathrm{t}\mathrm{g}}^2(x)+1={\sec }^2(x)\\ & {\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}}^2(x)+1={\csc }^2(x)\end{array}$

A második egyenlőség az elsőből úgy kapható, ha mindkét oldalt osztjuk cos²(x)-szel. A harmadik egyenlőséghez az elsőt sin²(x)-szel kell osztani.

Szögek összegének és különbségének szögfüggvényei

Két (vagy több) szög (ill. argumentum) összegének és különbségének trigonometrikus függvényei kifejezhetőek az argumentumok szögfüggvényeinek bizonyos (általában racionális egész-, vagy, a tangens és kotangens esetében, racionális tört-) kifejezéseiként, ezek az addíciós azonosságok. Lehet őket már elemi geometriai úton is igazolni, de a teljesen szigorú igazolás ez esetben kissé nehézkes, mert több eset szétválasztását igényli (ettől eltekintve azonban egyszerű, mert csak a hasonlóság definíciójának és esetleg a polinomiális tétel speciális eseteinek ismeretére - azaz elég alapfokú geometriai és algebrai jártasságra - van szükség). Igazolni lehet az addíciós képleteiket a differenciálegyenletes definíciókra hagyatkozva, vagy az Euler-formulával is, bár ezek igazolása mélyebb matematikai ismereteket igényel.

$\sin (x\pm y)=\sin (x)\cos (y)\pm \cos (x)\sin (y)$

(Ha "+" szerepel a bal oldalon, akkor "+" van a jobb oldalon is,és fordítva.)

$\cos (x\pm y)=\cos (x)\cos (y)\mp \sin (x)\sin (y)$

(Ha "+" szerepel a bal oldalon, akkor "-" van a jobb oldalon, és fordítva.)

$\mathrm{t}\mathrm{g}(x\pm y)=\frac{\mathrm{t}\mathrm{g}(x)\pm \mathrm{t}\mathrm{g}(y)}{1\mp \mathrm{t}\mathrm{g}(x)\mathrm{t}\mathrm{g}(y)}$

A bizonyítások lehetségesek a skaláris szorzat, annak tulajdonságai, és egyszerűbb trigonometrikus összefüggések felhasználásával is: Vegyünk fel egy Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszert az euklideszi síkon és két egység hosszú vektort, melyekhez tartozó origó középpontú helyvektoroknak az x-tengely pozitív felével bezárt forgásszögeinek ívmértékei x és y. Írjuk fel ennek a két vektornak a skaláris szorzatát egyrészt a definíció alapján (a vektorok abszolút értékeinek és a bezárt szögük koszinuszának a szorzata), másrészt a koordinátáikkal (az első és a második koordináták szorzatainak az összege) Ügyeljünk arra, hogy több eset lehetséges x, y és a 0 egymáshoz viszonyított értékeinek függvényében. Ebből kapjuk a két szám különbségének koszinuszára vonatkozó azonosságot. Ezután ebből x+y = x-(-y), a pótszögek ívmértékeinek szögfüggvényei közötti összefüggések, illetve a tangens és kotangens szögfüggvények definícióinak felhasználásával kapjuk a többi azonosságot. Részletes bizonyítást olvashatunk (bár csak az x>y>0 esetre vonatkozóan) a Hajnal-Számadó-Békéssy: Matematika a gimnáziumok 11. évfolyama számára című tankönyv 90-91. oldalain (Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2005).

Kétszeres szög szögfüggvényei

Az alábbiakat le lehet vezetni úgy, hogy az összegképletben x = y helyettesítést végzünk és felhasználjuk a Pitagorasz-tételt. Vagy felírjuk a de Moivre-formulát n = 2 esetre:

$\sin (2x)=2\sin (x)\cos (x)$

$\cos (2x)={\cos }^{}(x)-{\sin }^{}(x)=2{\cos }^{}(x)-1=1-2{\sin }^{}(x)=\frac{1-{\mathrm{t}\mathrm{g}}^2(x)}{1+{\mathrm{t}\mathrm{g}}^2(x)}$

$\mathrm{t}\mathrm{g}(2x)=\frac{2\mathrm{t}\mathrm{g}(x)}{1-{\mathrm{t}\mathrm{g}}^2(x)}$

$\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(2x)=\frac{\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(x)-\mathrm{t}\mathrm{g}(x)}{2}$

A kétszeres szög-képletek segítségével pitagoraszi számhármasokat is találhatunk. Ha (a, b, c) egy derékszögű háromszög oldalai, akkor (a² ‒ b², 2ab, c²) szintén derékszögű háromszöget alkot, ahol B az a szög, melyet megdupláztunk. Ha a² ‒ b² negatív, vegyük ellenkező előjellel és 2B helyett használjuk a 2B-t $\mathrm{\Pi }$-re kiegészítő szöget.

Háromszoros szög szögfüggvényei

$\sin (3x)=3\sin (x)-4{\sin }^{}(x)$

$\cos (3x)=4{\cos }^{}(x)-3\cos (x)$

$\mathrm{t}\mathrm{g}(3x)=\frac{3\mathrm{t}\mathrm{g}(x)-{\mathrm{t}\mathrm{g}}^3(x)}{1-3{\mathrm{t}\mathrm{g}}^2(x)}$

Többszörös szög szögfüggvényei

$\sin n\theta =\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){\cos }^{}\theta {\sin }^{}\theta \sin (\frac{1}{2}(n-k)\pi )$

$\cos n\theta =\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){\cos }^{}\theta {\sin }^{}\theta \cos (\frac{1}{2}(n-k)\pi )$

A többszörös szög tangense és kotangense a következő rekurzióval vezethető vissza az egyszeres szög tangensére:

$\mathrm{t}\mathrm{g}(n+1)\theta =\frac{\mathrm{t}\mathrm{g}n\theta +\mathrm{t}\mathrm{g}\theta }{1-\mathrm{t}\mathrm{g}n\theta \mathrm{t}\mathrm{g}\theta }.$

$\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(n+1)\theta =\frac{\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}n\theta \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\theta -1}{\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}n\theta +\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\theta }.$

Ha T_n az nik Csebisev-polinom, akkor

$\cos (nx)=T_n(\cos (x)).$

Ha S_n az n-ik kiterjesztett polinom, akkor

${\sin }^2(n\theta )=S_n({\sin }^2\theta ).$

A de Moivre-formula:

$\cos (nx)+i\sin (nx)=(\cos (x)+i\sin (x){)}^n$

Hatványcsökkentő képletek

Ha a kétszeres szög koszinusza harmadik egyenletét cos²(x) illetve sin²(x)-re megoldjuk, írható

${\sin }^2(x)=\frac{1-\cos (2x)}{2}$

${\cos }^2(x)=\frac{1+\cos (2x)}{2}$

${\sin }^2(x){\cos }^2(x)=\frac{1-\cos (4x)}{8}$

${\sin }^3(x)=\frac{3\sin (x)-\sin (3x)}{4}$

${\cos }^3(x)=\frac{3\cos (x)+\cos (3x)}{4}$

Fél-szög képletek

Ha az előző képletekbe x helyére x/2-t helyettesítünk, akkor cos(x/2)-re és sin(x/2)-re megoldva a következőt kapjuk:

$\cos \left(\frac{x}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1+\cos (x)}{2}}$

$\sin \left(\frac{x}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos (x)}{2}}$

Ezek a fél-szög képletek. Továbbá

$\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin (x/2)}{\cos (x/2)}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}.(1)$

Szorozzuk be a számlálót és a nevezőt a gyökjel alatt 1 + cos x-szel, majd hozzuk egyszerűbb alakra a Pitagorasz-tétellel:

$\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{x}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{(1+\cos x)(1+\cos x)}}=\pm \sqrt{\frac{1-{\cos }^{2}x}{(1+\cos x{)}^2}}$

$=\frac{\sin x}{1+\cos x}.$

Hasonlóképpen az (1) egyenlőség számlálóját és nevezőjét a gyökjel alatt szorozzuk be 1 ‒ cos x-szel, egyszerűsítés után írható:

$\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{x}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{(1-\cos x)(1-\cos x)}{(1+\cos x)(1-\cos x)}}=\pm \sqrt{\frac{(1-\cos x{)}^2}{(1-{\cos }^{2}x)}}$

$=\frac{1-\cos x}{\sin x}.$

Így a tangens fél-szög képletek a következők:

$\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin (x)}{1+\cos (x)}=\frac{1-\cos (x)}{\sin (x)}.$

Hasonlóan írható:

$\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{x}{2}\right)=\csc (x)-\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(x),$

$\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{x}{2}\right)=\csc (x)+\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(x).$

Ha bevezetjük az alábbi jelölést:

$t=\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{x}{2}\right),$

akkor

$\sin (x)=\frac{2t}{1+t^2}$

és

$\cos (x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

és

$\mathrm{t}\mathrm{g}(x)=\frac{2t}{1-t^2}$

és

$e^{ix}=\frac{1+it}{1-it}.$

Szögfüggvények szorzatát összevonássá alakító képletek

Az alábbi képletek helyessége ellenőrizhető a jobb oldalakba a szögek összegének szögfüggvényeit helyettesítve:

$\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)=\frac{\cos (x-y)+\cos (x+y)}{2}$

$\sin \left(x\right)\sin \left(y\right)=\frac{\cos (x-y)-\cos (x+y)}{2}$

$\sin \left(x\right)\cos \left(y\right)=\frac{\sin (x-y)+\sin (x+y)}{2}$

Ptolemaiosz tétele

$\text{Ha }w+x+y+z=\pi ,$

$\begin{array}{rl}\text{akkor }& \sin (w+x)\sin (x+y)\\ & =\sin (x+y)\sin (y+z)\\ & =\sin (y+z)\sin (z+w)\\ & =\sin (z+w)\sin (w+x)=\sin (w)\sin (y)+\sin (x)\sin (z).\end{array}$

(Az első három egyenlet triviális, a negyedik a Ptolemaiosz-tétel alkalmazása a trigonometriára)

Összeget szorzattá alakító képletek

Helyettesítsünk x helyére (x + y) / 2-t és y helyére (x – y) / 2-t a szorzat-összeg képletbe:

$\cos (x)+\cos (y)=2\cos \left(\frac{x+y}{2}\right)\cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$

$\sin (x)+\sin (y)=2\sin \left(\frac{x+y}{2}\right)\cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$

$\cos (x)-\cos (y)=-2\sin \left(\frac{x+y}{2}\right)\sin \left(\frac{x-y}{2}\right)$

$\sin (x)-\sin (y)=2\cos \left(\frac{x+y}{2}\right)\sin \left(\frac{x-y}{2}\right)$

$\mathrm{t}\mathrm{g}(x)+\mathrm{t}\mathrm{g}(y)=\frac{\sin (x+y)}{\cos (x)\cdot \cos (y)}$

Ha x, y és z egy tetszőleges háromszög szögei, vagy más szóval

$\text{ha }x+y+z=\pi$

$\text{akkor }\mathrm{t}\mathrm{g}(x)+\mathrm{t}\mathrm{g}(y)+\mathrm{t}\mathrm{g}(z)=\mathrm{t}\mathrm{g}(x)\mathrm{t}\mathrm{g}(y)\mathrm{t}\mathrm{g}(z).$

Ha az x, y, z szögek valamelyike derékszög, akkor mindkét oldalt végtelennek kell tekinteni. Ez nem +∞ vagy -∞; itt több értelme van egy végtelen pontot hozzávenni a valós számegyeneshez, amit a tangensfüggvény akár a pozitív értékeken át nőve, akár a negatív értékeken át csökkenve elérhet. Ez a valós egyenes egypontos kompaktifikációja.

$\text{Ha }x+y+z=\pi$

$\text{akkor }\sin (2x)+\sin (2y)+\sin (2z)=4\sin (x)\sin (y)\sin (z).$

Más összegező képletek

Szinusz és koszinusz számtani sorozat szerinti argumentummal:

$\sin \phi +\sin (\phi +\alpha )+\sin (\phi +2\alpha )+\cdots +\sin (\phi +n\alpha )=\frac{\sin \left(\frac{(n+1)\alpha }{2}\right)\cdot \sin (\phi +\frac{n\alpha }{2})}{\sin \frac{\alpha }{2}}.$

$\cos \phi +\cos (\phi +\alpha )+\cos (\phi +2\alpha )+\cdots +\cos (\phi +n\alpha )=\frac{\sin \left(\frac{(n+1)\alpha }{2}\right)\cdot \cos (\phi +\frac{n\alpha }{2})}{\sin \frac{\alpha }{2}}.$

Bármely a és b esetén:

$a\cos (x)+b\sin (x)=\sqrt{a^2+b^2}\cos (x-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(b/a))$

ahol arc tg(y, x) az arc tg(y/x) általánosítása, mely lefedi a teljes kört.

$\mathrm{t}\mathrm{g}(x)+\sec (x)=\mathrm{t}\mathrm{g}(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}).$

A fenti azonosságot jó tudni, ha a Guderman-függvényre gondolunk. Ha $x+y+z=\pi$, akkor

$\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(x)\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(y)+\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(y)\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(z)+\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(z)\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(x)=1.$

Inverz szögfüggvények

$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)+\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(x)=\pi /2$

$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(x)+\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(x)=\pi /2$

$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(x)+\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(1/x)=\{\begin{array}{cc}\pi /2,& \text{ha }x>0\\ -\pi /2,& \text{ha }x<0\end{array}$

$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(x)+\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(y)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)+\{\begin{array}{cc}\pi ,& \text{ha }x,y>0\\ -\pi ,& \text{ha }x,y<0\\ 0,& \text{egyebekben }\end{array}$

$\sin [\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(x)]=\sqrt{1-x^2}$

$\cos [\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)]=\sqrt{1-x^2}$

$\sin [\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(x)]=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$

$\cos [\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(x)]=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

$\mathrm{t}\mathrm{g}[\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)]=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$

$\mathrm{t}\mathrm{g}[\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(x)]=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$

Szögfüggvények konvertálása

Minden szöggfüggvény kifejezhető közvetlenül bármely más szögfüggvénnyel. Ezek az összefüggések az inverz szögfüggvényekkel fejezhetők ki: legyen φ és ψ két szögfüggvény és legyen arcψ a ψ szögfüggvény inverze, ekkor írható: ψ(arcψ(x)) = x. Ezután a φ(arcψ(x)) kifejezhető x algebrai képletével. Ilyen képletek láthatók az alábbi táblázatban: φ a sorok első eleme lehet, ψ pedig az oszlopok első eleme. Figyelem: A táblázatban minden oszlop (és nem sor) bemenő értéke egy szög hat szögfüggvénye. A tg, a ctg, a sec és a csc függvények értékei csak akkor számíthatók a táblázat alapján, ha az adott szögre értelmesek.

Konverziós képletek táblázata $\phi (\mathrm{arc}\psi (x))$

φ \ ψ	sin	cos	tg	csc	sec	ctg
sin	$x$	$\sqrt{1-x^2}$	$\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$	$\frac{1}{x}$	$\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$	$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
cos	$\sqrt{1-x^2}$	$x$	$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$	$\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}$	$\frac{1}{x}$	$\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$
tg	$\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$	$\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$	$x$	$\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$	$\sqrt{x^2-1}$	$\frac{1}{x}$
csc	$\frac{1}{x}$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}$	$x$	$\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$	$\sqrt{1+x^2}$
sec	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\frac{1}{x}$	$\sqrt{1+x^2}$	$\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$	$x$	$\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}$
ctg	$\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$	$\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$	$\frac{1}{x}$	$\sqrt{x^2-1}$	$\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$	$x$

A táblázat függvénykompozíciók átalakítására is alkalmas. Adva legyen a φ és a ψ függvény, mivel egyenlő φ(arcψ(x))? A számítás módja:

1. Találjunk egy egyenletet, ami kapcsolatot teremt φ(u) és ψ(u) között.
2. $f(\phi (u),\psi (u))=0$
3. Legyen $u=\mathrm{arc}\psi (x)$, így
4. $f(\phi (\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\psi (x)),x)=0$
5. Oldjuk meg ezt az egyenletet φ(arcψ(x))-re.

Példa: Mivel egyenlő ctg(arccsc(x))? Először kapcsolatot kell találnunk a ctg és a csc között.

$$\begin{gathered} {\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}}^{2}u+1={\csc }^{2}u \\ . \end{gathered}$$

Másodszor végezzük el a következő helyettesítést: u = arccsc(x)

${\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}}^2(\mathrm{arccsc}(x))+1={\csc }^{}(\mathrm{arccsc}(x))$,

$$\begin{gathered} {\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}}^2(\mathrm{arccsc}(x))+1=x^2 \\ . \end{gathered}$$

Harmadszor oldjuk meg az egyenletet ctg(arccsc(x))-re:

${\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}}^2(\mathrm{arccsc}(x))=x^2-1,$

$\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(\mathrm{arccsc}(x))=\pm \sqrt{x^2-1},$

és ez az a képlet, ami a táblázat hatodik sorában és negyedik oszlopában van.

Végtelen összegek szinusza és koszinusza

$$\begin{gathered} \sin \left(\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\vartheta }_i\right)=\sum _{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{n} \\ k\ge 1}(-1{)}^{(k-1)/2}\sum _{\begin{array}{c}A\subseteq \{1,2,3,\dots \}\\ \left|A\right|=k\end{array}}(\prod _{i\in A}\sin {\vartheta }_i\prod _{i\in ̸A}\cos {\vartheta }_i) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \cos \left(\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\vartheta }_i\right)=\sum _{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{s} \\ k\ge 0}(-1{)}^{k/2}\sum _{\begin{array}{c}A\subseteq \{1,2,3,\dots \}\\ \left|A\right|=k\end{array}}(\prod _{i\in A}\sin {\vartheta }_i\prod _{i\in ̸A}\cos {\vartheta }_i) \end{gathered}$$

Ezekben az azonosságokban megjelenik az az aszimmetria, ami a véges összegekben nincs meg: minden szorzatban véges sok szinuszos tényező van, és ko-véges koszinuszos. Ha csak véges sok ${\vartheta }_i$ tag nem nulla, akkor a jobb oldalon is csak véges sok tag lesz nullától különböző, ugyanis a szinuszos tényezők eltűnnek, és a koszinuszos tényezők véges kivétellel mind eggyel lesznek egyenlők.

Véges összeg tangense

Legyen e_k k-adfokú elemi szimmetrikus polinom , aminek változói x_i = tg(θ_i ), ahol i = 1, ..., n, k = 0, ..., n. Ekkor

$\mathrm{t}\mathrm{g}({\theta }_1+\cdots +{\theta }_n)=\frac{e_1-e_3+e_5-\cdots }{e_0-e_2+e_4-\cdots },$

ahol a tagok száma n-től függ. Például

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}\mathrm{t}\mathrm{g}({\theta }_1+{\theta }_2+{\theta }_3)& =\frac{e_1-e_3}{e_0-e_2}=\frac{(x_1+x_2+x_3) \\ - \\ (x_1{x}_2{x}_3)}{1 \\ - \\ (x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)},\\ \\ \mathrm{t}\mathrm{g}({\theta }_1+{\theta }_2+{\theta }_3+{\theta }_4)& =\frac{e_1-e_3}{e_0-e_2+e_4}\\ \\ & =\frac{(x_1+x_2+x_3+x_4) \\ - \\ (x_1{x}_2{x}_3+x_1{x}_2{x}_4+x_1{x}_3{x}_4+x_2{x}_3{x}_4)}{1 \\ - \\ (x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_1{x}_4+x_2{x}_3+x_2{x}_4+x_3{x}_4) \\ + \\ (x_1{x}_2{x}_3{x}_4)},\end{array} \end{gathered}$$

Az általános eset teljes indukcióval bizonyítható.

Véges összeg szekánsa

$\sec ({\theta }_1+\cdots +{\theta }_n)=\frac{\sec {\theta }_1\cdots \sec {\theta }_n}{e_0-e_2+e_4-\cdots }$

ahol e_k k-adfokú elemi szimmetrikus polinom az x_i = tan θ_i, i = 1, ..., n, változókkal. A nevezőben levő tagok száma n-től függ. Például

$\sec (\alpha +\beta +\gamma )=\frac{\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{1-\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha \mathrm{t}\mathrm{g}\beta -\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha \mathrm{t}\mathrm{g}\gamma -\mathrm{t}\mathrm{g}\beta \mathrm{t}\mathrm{g}\gamma }.$

Trigonometrikus függvények végtelen szorzatba fejtése

A speciális függvényekhez kapcsolódóan hasznosak lehetnek ezek a végtelen szorzatok:

$\sin x=x\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{{\pi }^2{n}^2})$

$\mathrm{s}\mathrm{h}x=x\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{x^2}{{\pi }^2{n}^2})$

$\cos x=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{{\pi }^2(n-\frac{1}{2}{)}^2})$

$\mathrm{c}\mathrm{h}x=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{x^2}{{\pi }^2(n-\frac{1}{2}{)}^2})$

$\frac{\sin x}{x}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\cos \left(\frac{x}{2^n}\right)$

Didaktika és a cis függvény

Néhány könyvben találkozni lehet a

$\mathrm{cis}(x)=\cos (x)+i\sin (x),$

jelöléssel, ahol a cis a "cos + i sin" függvény rövidítése. Ez valójában az e^ix függvény. Azért vezetik be ezt az ideiglenes jelölést, mert akkor kerül szóba, mielőtt még bebizonyítanák, hogy ez egy komplex exponenciális függvény. A valós számok fölött értelmezett trigonometrikus függvények körében bizonyíthatók a következő azonosságok:

$\cos (x+y)=\cos (x)\cos (y)-\sin (x)\sin (y)=c_1{c}_2-s_1{s}_2,$

$\sin (x+y)=\sin (x)\cos (y)+\cos (x)\sin (y)=s_1{c}_2+c_1{s}_2.$

Hasonlóan, a komplex számokon bevezetve a szorzást megfigyelhető a trigonometria alkalmazása nélkül is: c₁ + is₁ és c₂ + is₂ szorzatának valós és képzetes része rendre

$c_1{c}_2-s_1{s}_2,$

$s_1{c}_2+c_1{s}_2.$

Ezek a hasonlóságok motiválják a két terület összekapcsolását és a trigonometrikus azonosság bizonyítását:

$\mathrm{cis}(x+y)=\mathrm{cis}(x)\mathrm{cis}(y),$

ami egyszerűbb, mint a szinusz és a koszinusz összegzési képlete. Belátva ezt az azonosságot feltehető a kérdés, hogy mely függvények elégítik ki a

$f(x+y)=f(x)f(y).$

függvényegyenletet. Egy kis ellenőrzéssel belátható, hogy az exponenciális függvények ilyenek. Ez azt sugallja, hogy a cis függvény is exponenciális függvény, azaz felírható

$\mathrm{cis}(x)=b^x.$

alakban egy b-re. Létezik-e ilyen b, és ha igen, akkor mivel egyenlő? A cis függvény definíciója és a szinusz, koszinusz viselkedése a nulla közelében azt mutatja, hogy

$\mathrm{cis}(0+dx)=\mathrm{cis}(0)+idx,$

azaz a cis függvény megváltozása a nulla közelében i, így az exponenciális függvény alapja eⁱ. Tehát ha a cis függvény exponenciális függvény, akkor

$\mathrm{cis}(x)=e^{ix}.$

Kapcsolat a komplex exponenciális függvénnyel

$e^{ix}=\cos (x)+i\sin (x)$ (Euler-formula),

$e^{-ix}=\cos (x)-i\sin (x)$

$\cos (x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$

$\sin (x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$

ahol i² = ‒1.

A Gudermann-függvény

A Gudermann-függvény anélkül teremt kapcsolatot a trigonometrikus és a hiperbolikus függvények között, hogy a komplex számokra hivatkozna. Definíció: a Gudermann-függvényt így értelmezik:

$\begin{array}{rl}\mathrm{g}\mathrm{d}(x)& =\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dp}{\mathrm{c}\mathrm{h}(p)}\\ & =\arcsin (\mathrm{t}\mathrm{g}\mathrm{h}(x))=\text{arccsc}(\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\mathrm{h}(x))\\ & =\arccos (\text{sech}x))=\text{arcsec}(\cosh (x))\\ & =\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(\mathrm{s}\mathrm{h}(x))=\text{arcctg}(\text{csch}(x))\\ & =2\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\mathrm{t}\mathrm{g}\mathrm{h}\left(\frac{x}{2}\right)\right)=2\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(e^x)-\frac{\pi }{2}.\end{array}$

Teljesülnek a következő azonosságok:

$\begin{array}{rl}\dot{\sin (\text{gd}(x))}& =\tanh (x);\csc (\text{gd}(x))=\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\mathrm{h}(x);\\ \cos (\text{gd}(x))& =\text{sech}(x);\sec (\text{gd}(x))=\mathrm{c}\mathrm{h}(x);\\ \mathrm{t}\mathrm{g}(\text{gd}(x))& =\sinh (x);\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(\text{gd}(x))=\text{csch}(x);\\ {}_{.}\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{\text{gd}(x)}{2}\right)& =\mathrm{t}\mathrm{g}\mathrm{h}\left(\frac{x}{2}\right).\end{array}$

A Gudermann-függvény inverze:

$\begin{array}{rl}\text{arcgd}(x)& ={\mathrm{g}\mathrm{d}}^{-1}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dp}{\cos (p)}\\ & =\text{arcch}(\sec (x))=\text{arctgh}(\sin (x))\\ & =\ln (\sec (x)(1+\sin (x)))\\ & =\ln (\mathrm{t}\mathrm{g}(x)+\sec (x))=\ln \mathrm{t}\mathrm{g}(\frac{\pi }{4}+\frac{x}{2})\\ & =\frac{1}{2}\ln \frac{1+\sin (x)}{1-\sin (x)}.\end{array}$

A Gudermann-függvény és inverzének deriváltjai:

$\frac{d}{dx}\text{gd}(x)=\text{sech}(x);\frac{d}{dx}\text{arcgd}(x)=\sec (x).$

Nevezetes szögek

Az érdekes

$\cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }=\frac{1}{8}$

azonosság a következő egy változót tartalmazó azonosság speciális esete:

$\prod _{j=0}^{k-1}\cos (2^{j}x)=\frac{\sin (2^{k}x)}{2^k\sin (x)}.$

Hasonló a

$\cos \frac{\pi }{7}\cos \frac{2\pi }{7}\cos \frac{3\pi }{7}=\frac{1}{8}.$

A következő azonosság talán nem is általánosítható:

$\cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }=\frac{1}{2}.$

A szögeket célszerűbb a következő azonosságban radiánban mérni:

$\cos \left(\frac{2\pi }{21}\right)+\cos (2\cdot \frac{2\pi }{21})+\cos (4\cdot \frac{2\pi }{21})$

$+\cos (5\cdot \frac{2\pi }{21})+\cos (8\cdot \frac{2\pi }{21})+\cos (10\cdot \frac{2\pi }{21})=\frac{1}{2}.$

Az 1, 2, 4, 5, 8, és a 10 tiszta mintát mutat: ezek azok a 21/2-nél kisebb egész számok, amelyek relatív prímek 21-hez. A legutóbbi példa a felbonthatatlan körosztási polinomokhoz kapcsolódnak: a koszinuszok valós részei a körosztási polinomok gyökeinek. A gyökök összege egyenlő a Möbius-függvény 21-ben vett helyettesítési értékével. Az előtte levő két példa 21 helyett 10-zel és 15-tel kapható. A pí szám kiszámításának egy John Machin által talált hatékony módja:

$\frac{\pi }{4}=4\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{1}{5}-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{1}{239}$

vagy az Euler-formulával:

$\frac{\pi }{4}=5\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{1}{7}+2\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{3}{79}.$

$\begin{array}{ccccccccc}\sin 0& =& \sin 0^{\circ }& =& 0& =& \cos 90^{\circ }& =& \cos \left(\frac{\pi }{2}\right)\\ \\ \sin \left(\frac{\pi }{6}\right)& =& \sin 30^{\circ }& =& 1/2& =& \cos 60^{\circ }& =& \cos \left(\frac{\pi }{3}\right)\\ \\ \sin \left(\frac{\pi }{4}\right)& =& \sin 45^{\circ }& =& \sqrt{2}/2& =& \cos 45^{\circ }& =& \cos \left(\frac{\pi }{4}\right)\\ \\ \sin \left(\frac{\pi }{3}\right)& =& \sin 60^{\circ }& =& \sqrt{3}/2& =& \cos 30^{\circ }& =& \cos \left(\frac{\pi }{6}\right)\\ \\ \sin \left(\frac{\pi }{2}\right)& =& \sin 90^{\circ }& =& 1& =& \cos 0^{\circ }& =& \cos 0\end{array}$

$\sin \frac{\pi }{7}=\frac{\sqrt{7}}{6}-\frac{\sqrt{7}}{189}\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(3j+1)!}{189^{j}j!(2j+2)!}$

$\sin \frac{\pi }{18}=\frac{1}{6}\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(3j)!}{27^{j}j!(2j+1)!}$

A φ aranymetszési számmal:

$\cos \left(\frac{\pi }{5}\right)=\cos 36^{\circ }=\frac{\sqrt{5}+1}{4}=\phi /2$

$\sin \left(\frac{\pi }{10}\right)=\sin 18^{\circ }=\frac{\sqrt{5}-1}{4}=\frac{\phi -1}{2}=\frac{1}{2\phi }$

Geometriai bizonyítások

Ezek a bizonyítások közvetlenül csak hegyesszögekre alkalmazhatók, de az azonosságok minden szögre teljesülnek. Így a legtöbb trigonometriai azonosság levezethető elemi geometriai úton, bár a definíciókat és az elgondolásokat ki kell terjeszteni.

sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)

A mellékelt ábrán az x szög a derékszögű ABC háromszöghöz, és az y szög a derékszögű ACD háromszöghöz tartozik. Szerkesszük meg az AB oldalra merőleges DG, és az AB oldallal párhuzamos CE szakaszt. Ekkor teljesülnek a következők: x = BAC = ACE = CDE és EG = BC.

$\sin (x+y)$

$=\frac{DG}{AD}$

$=\frac{EG+DE}{AD}$

$=\frac{BC+DE}{AD}$

$=\frac{BC}{AD}+\frac{DE}{AD}$

$=\frac{BC}{AD}\cdot \frac{AC}{AC}+\frac{DE}{AD}\cdot \frac{CD}{CD}$

$=\frac{BC}{AC}\cdot \frac{AC}{AD}+\frac{DE}{CD}\cdot \frac{CD}{AD}$

$=\sin (x)\cos (y)+\cos (x)\sin (y).$

cos(x + y) = cos(x) cos(y) ‒ sin(x) sin(y)

A fenti ábra alapján:

$\cos (x+y)$

$=\frac{AG}{AD}$

$=\frac{AB-GB}{AD}$

$=\frac{AB-EC}{AD}$

$=\frac{AB}{AD}-\frac{EC}{AD}$

$=\frac{AB}{AD}\cdot \frac{AC}{AC}-\frac{EC}{AD}\cdot \frac{CD}{CD}$

$=\frac{AB}{AC}\cdot \frac{AC}{AD}-\frac{EC}{CD}\cdot \frac{CD}{AD}$

$=\cos (x)\cos (y)-\sin (x)\sin (y).$

cos(x ‒ y) és sin(x ‒ y)

Ezek az azonosságok könnyen bizonyíthatók a cos(x + y) és a sin(x + y) azonosságok felhasználásával:

sin(x ‒ y) = sin(x) cos(y) ‒ cos(x) sin(y)

Először is írjunk y helyett -y-t.

$\sin (x+(-y))=\sin (x)\cos (-y)+\cos (x)\sin (-y).$

A szinusz páratlan, és a koszinusz páros függvény, így

$\sin (x-y)=\sin (x)\cos (y)-\cos (x)\sin (y).$

cos(x ‒ y) = cos(x) cos(y) + sin(x) sin(y)

Először is írjunk y helyett -y-t cos(x + y)-ben:

$\cos (x+(-y))=\cos (x)\cos (-y)-\sin (x)\sin (-y).$

A szinusz páratlan, és a koszinusz páros függvény, így

$\cos (x-y)=\cos (x)\cos (y)+\sin (x)\sin (y).$

Analízis

Az analízisben a szögeket radiánban mérik, így a képletek egyszerűbbekké válnak. A trigonometrikus függvények deriváltjainak meghatározásához két határérték szükséges. Ezek egyike:

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1,$

az egységsugarú kör tulajdonságai és a rendőrelv segítségével bizonyítható. Csábító az ötlet, hogy a L'Hôpital-szabályt alkalmazzuk, de ez körben forgó okoskodáshoz vezetne. Ugyanis ezt a határértéket használják arra, hogy belássák, a szinusz deriváltja koszinusz, és ezzel az utóbbival vezetik le a L'Hôpital-szabályt. A második határérték:

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x}=0,$

a tg(x/2) = (1 ‒ cos(x))/sin(x) azonosság felhasználásával igazolható. A két határérték segítségével, a derivált határértékes definíciójával és az összegzési képletekkel megmutatható, hogy sin′(x) = cos(x) and cos′(x) = ‒sin(x). Ha a szinusz és a koszinusz Taylor-sorukkal van definiálva, akkor deriváltjukat a hatványsor tagonkénti deriválásával lehet megkapni.

$\frac{d}{dx}\sin (x)=\cos (x)$

A többi trigonometrikus függvény deriváltja a fenti azonosságok és a deriválás szabályai alapján határozhatók meg.

$\begin{array}{cccc}\frac{d}{dx}\sin x=& \cos x,& \frac{d}{dx}\arcsin x=& \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ \\ \frac{d}{dx}\cos x=& -\sin x,& \frac{d}{dx}\arccos x=& \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\\ \\ \frac{d}{dx}\mathrm{t}\mathrm{g}x=& {\sec }^{2}x,& \frac{d}{dx}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x=& \frac{1}{1+x^2}\\ \\ \frac{d}{dx}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x=& -{\csc }^{2}x,& \frac{d}{dx}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x=& \frac{-1}{1+x^2}\\ \\ \frac{d}{dx}\sec x=& \mathrm{t}\mathrm{g}x\sec x,& \frac{d}{dx}\mathrm{arcsec}x=& \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\\ \\ \frac{d}{dx}\csc x=& -\csc x\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x,& \frac{d}{dx}\mathrm{arccsc}x=& \frac{-1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\end{array}$

Következmények

A szinusz és a koszinusz lineáris kombinációinak deriváltjai a szinusz és a koszinusz lineáris kombinációinak deriváltjai. Ez alapvető fontosságú a matematika több területén is, így például a differenciálegyenletekben és a Fourier-transzformációkban.

Definíciók az exponenciális függvény alapján

$\sin (\theta )=\frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}$

$\cos (\theta )=\frac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}$

$\mathrm{t}\mathrm{g}(\theta )=\frac{\sin (\theta )}{\cos (\theta )}=\frac{(\frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i})}{(\frac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2})}$

$\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(\theta )=\frac{\cos (\theta )}{\sin (\theta )}=\frac{(\frac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2})}{(\frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i})}$

$\sec (\theta )=\frac{1}{\cos (\theta )}=\frac{1}{(\frac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2})}$

$\csc (\theta )=\frac{1}{\sin (\theta )}=\frac{1}{(\frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i})}$

$\mathrm{versin}(\theta )=1-\cos (\theta )=1-\frac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}$

$\mathrm{vercos}(\theta )=1-\sin (\theta )=1-\frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}$

$$\begin{gathered} \mathrm{exsec}(\theta )=\sec (\theta )-1 \\ =\frac{1}{\cos (\theta )}-1=\frac{1}{(\frac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2})}-1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{excsc}(\theta )=\csc (\theta )-1 \\ =\frac{1}{\sin (\theta )}-1=\frac{1}{(\frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i})}-1 \end{gathered}$$

$\mathrm{s}\mathrm{h}(\theta )=-i\sin (i\theta )=\frac{e^{\theta }-e^{-\theta }}{2}$

$\mathrm{c}\mathrm{h}(\theta )=\cos (i\theta )=\frac{e^{\theta }+e^{-\theta }}{2}$

$\mathrm{t}\mathrm{g}\mathrm{h}(\theta )=-i\mathrm{t}\mathrm{g}(i\theta )=\frac{\mathrm{sh}(\theta )}{\mathrm{ch}(\theta )}=\frac{e^{\theta }-e^{-\theta }}{e^{\theta }+e^{-\theta }}=\frac{e^{2\theta }-1}{e^{2\theta }+1}$

$\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\mathrm{h}(\theta )=i\cot (i\theta )=\frac{\mathrm{ch}(\theta )}{\mathrm{sh}(\theta )}=\frac{e^{\theta }+e^{-\theta }}{e^{\theta }-e^{-\theta }}=\frac{e^{2\theta }+1}{e^{2\theta }-1}$

$\mathrm{sech}(\theta )=\frac{1}{\mathrm{ch}(\theta )}=\sec (i\theta )=\frac{2}{e^{\theta }+e^{-\theta }}$

$\mathrm{csch}(\theta )=\frac{1}{\mathrm{sh}(\theta )}=i\cos (i\theta )=\frac{2}{e^{\theta }-e^{-\theta }}$

$\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{h}(\theta )=1-\cos (i\theta )=1-\frac{e^{\theta }+e^{-\theta }}{2}$

$\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{h}(\theta )=1+i\sin (i\theta )=1-\frac{e^{\theta }-e^{-\theta }}{2}$

$\mathrm{exsech}(\theta )=\mathrm{sech}(\theta )-1=\frac{1}{\mathrm{ch}(\theta )}-1=\sec (i\theta )=\frac{2}{e^{\theta }+e^{-\theta }}-1$

$\mathrm{excsch}(\theta )=\mathrm{csch}(\theta )-1=\frac{1}{\mathrm{sh}(\theta )}-1=i\cos (i\theta )=\frac{2}{e^{\theta }-e^{-\theta }}-1$

$\arcsin (\theta )=-i\ln (i\theta +\sqrt{1-{\theta }^2})$

$\arccos (\theta )=-i\ln (\theta +i\sqrt{1-{\theta }^2})$

$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(\theta )=\frac{\ln (\frac{i+\theta }{i-\theta })i}{2}$

$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\theta )=\arctan (-\theta )=\frac{i\ln (\frac{i-\theta }{i+\theta })}{2}$

$\mathrm{arcsec}(\theta )=\arccos ({\theta }^{-1})=-i\ln ({\theta }^{-1}+\sqrt{1-{\theta }^{-2}}i)$

$\mathrm{arccsc}(\theta )=\arcsin ({\theta }^{-1})=-i\ln (i{\theta }^{-1}+\sqrt{1-{\theta }^{-2}})$

$\mathrm{arcversin}(\theta )=\arccos (1-\theta )=-i\ln (1-\theta +i\sqrt{1-(1-\theta {)}^2})$

$\mathrm{arcvercos}(\theta )=\arcsin (1-\theta )=-i\ln (i-i\theta +\sqrt{1-(1-\theta {)}^2})$

$\mathrm{arcexsec}(\theta )=\mathrm{arcsec}(1+\theta )=-i\ln ((\theta +1{)}^{-1}+i\sqrt{1-(1+\theta {)}^2})$

$\mathrm{arcexcsc}(\theta )=\mathrm{arccsc}(1+\theta )=-i\ln (i(\theta +1{)}^{-1}+\sqrt{1-(1+\theta {)}^2})$

$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{h}(\theta )=\ln (\theta +\sqrt{{\theta }^2+1})$

$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{h}(\theta )=\ln (\theta +\sqrt{{\theta }^2-1})$

$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\mathrm{h}(\theta )=\frac{\ln (\frac{i+\theta }{i-\theta })}{2}$

$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\mathrm{h}(\theta )=\mathrm{arctgh}(-\theta )=\frac{\ln (\frac{i-\theta }{i+\theta })}{2}$

$\mathrm{arcsech}(\theta )=\mathrm{arcch}({\theta }^{-1})=\ln ({\theta }^{-1}+\sqrt{{\theta }^{-2}-1})$

$\mathrm{arccsch}(\theta )=\mathrm{arcsh}({\theta }^{-1})=\ln ({\theta }^{-1}+\sqrt{{\theta }^{-2}+1})$

$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{h}(\theta )=\mathrm{arcch}(\theta )-1=\ln (\theta +\sqrt{{\theta }^2-1})-1$

$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{h}(\theta )=\mathrm{arcsh}(\theta )-1=\ln (\theta +\sqrt{{\theta }^2+1})-1$

$\mathrm{arcexsech}(\theta )=\mathrm{arcsech}(\theta +1)=\mathrm{arcch}((\theta +1{)}^{-1})=\ln ((\theta +1{)}^{-1}+\sqrt{(\theta +1{)}^{-2}-1})$

$\mathrm{arcexcsch}(\theta )=\mathrm{arccsch}(\theta +1)=\mathrm{arcsh}((\theta +1{)}^{-1})=\ln ((\theta +1{)}^{-1}+\sqrt{(\theta +1{)}^{-2}+1})$

Források

• Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover Publications (1972). ISBN 978-0-486-61272-0 
• 3° és 5⅝° egész fokokban mért többszöröseinek szinusza, koszinusza, szekánsa, koszekánsa és tangense.
• proof Connelly Barnes egy oldalas bizonyításai az Euler-formula használatával

A Gudermann-függvényhez:

• CRC Handbook of Mathematical Sciences 5th ed. pp 323–5.
• Weisstein, Eric W.: Gudermannian (angol nyelven). Wolfram MathWorld