Weierstrass faktorizációs tétele

A komplex analízisben Weierstrass faktorizációs tétele azt jelenti, hogy komplex számok minden előre megadott megszámlálható halmazához van holomorf függvény, aminek pontosan ezek a nullhelyei. Egy ilyen függvény megadható Weierstrass-szorzatként.

Motiváció

A nullhelyek véges halmazához megadható egy polinom, aminek ezek a gyökei. Ha ezek $a_1,\dots a_n\in \mathbb{ℂ}$, akkor a polinom $(1-\frac{z}{a_1})\cdots (1-\frac{z}{a_n})$. Megszámlálható végtelen esetben a megfelelő szorzat nem konvergál, de a konvergencia biztosítható. Erről az

$1-z=\exp (\log (1-z))=\exp (-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k}),z\in \mathbb{ℂ},|z|<1$

azonosság alapján tényezőket vezet be, amelyek alakja

$E_n(z):=(1-z)\exp \left(\sum _{k=1}^n\frac{z^k}{k}\right)$.

Az $E_n$ egyetlen nullhelye $1$-nél van, azonban az $1-z$-vel szemben az egységkör minden kompakt halmazán tetszőlegesen közel kerül $1$-hez, ha elég nagy. Ezzel elérhető a végtelen szorzat konvergenciája.

Weierstrass-szorzat

Legyen $D$ pozitív szorzó az $\mathrm{\Omega }\subseteq \mathbb{ℂ}$ tartományban, és $a_k$ egy sorozat, amit úgy választunk, hogy $D=D(0)\cdot 0+\sum _k{a}_k$. Ez azt jelenti, hogy a sorozat végighalad $D$ tartóin a nullpontok kivételével a szükséges multiplicitással. Ez a $D$ divizorhoz tartozó sorozat. Egy $z^{D(0)}\prod _{k\ge 1}{f}_k(z)$ a $D$ divizor Weierstrass-szorzata, ha:

• $f_k$ holomorf $\mathrm{\Omega }$-ban
• $f_k$-nak pontosan egy egy multiplicitású nullhelye van $a_k$-ban
• $\prod _k{f}_k$ normálisan konvergál $\mathrm{\Omega }$ minden kompakt részhalmazán.

Szorzattétel $\mathbb{ℂ}$-ben

Minden pozitív $D$ divizorhoz vannak $\mathbb{ℂ}$-ben Weierstrass-szorzatok, és alakjuk $z^{D(0)}\prod _{k\ge 1}{E}_{k-1}\left(\frac{z}{a_k}\right)$. Ahol $a_k$ a divizorhoz tartozó $D$ sorozat.

Következmények $\mathbb{ℂ}$-ben

• Minden divizorhoz van meromorf függvény előre megadott null- és pólushelyekhez. Minden divizor fődivizor.
• Ha $h$ meromorf függvény, akkor vannak hozzá $f,g$ holomrf függvények, amelyeknek nincs közös nullhelyük úgy, hogy $h=f/g$. A meromorf függvények alkotják a holomorf függvények integritási tartományának hányadostestét.
• A holomorf függvények gyűrűjében minden gyűrűjében minden nemüres részhalmaznak van legnagyobb közös osztója, habár ez a gyűrű nem faktorizációs gyűrű.

Tetszőleges tartományban

Legyen $\mathrm{\Omega }\subseteq \mathbb{ℂ}$ tartomány, $D$ pozitív divizor $\mathrm{\Omega }$ tartományban, aminek $T$ a tartója, és jelölje $T^{\prime }:=\bar{T}\setminus T$ $T$ torlódási pontjainak halmazát $\mathbb{ℂ}$-ben. Ekkor a $D$ divizorhoz vannak Weierstrass-szorzatok $\mathbb{ℂ}\setminus T^{\prime }$-ben. Általában az $\mathrm{\Omega }$ tartománynál nagyobb területen konvergálnak.

Stein-sokaságban

1895-ben Pierre Cousin tovább általánosította Weierstrass faktorizációs tételét, és bizonyította is ${\mathbb{ℂ}}^n$ cilindertartományaira. Arra azonban nem tudott megoldást találni, hogy konstruálható-e meromorf függvény egy adott divizorhoz. EZ volt a Cousin-probléma. A problémát Jean-Pierre Serre oldotta meg 1953-ban: Ha $X$ Stein-sokaság, akkor egy divizor pontosan egy meromorf függvény divizora, hogyha Chern-kohomológiaosztálya eltűnik $H^2(X,\mathbb{\mathbb{Z}})$-ben. Ekkor mivel $X$ Stein-sokaság és $H^2(X,\mathbb{\mathbb{Z}})=0$, minden divizor fődivizor. Ekkor ugyanis a következő sorozat egzakt:

$0\to {{𝒪}}^{*}(X)\to {{ℳ}}^{*}(X)\to {𝒟}(X)\to H^2(X,\mathbb{\mathbb{Z}})\to 0$

ahol ${𝒟}$ a divizorok nyalábja.

Források

• Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-57052-3.
• Hans Grauert, Reinhold Remmert: Theory of Stein Spaces. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-00373-8.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Weierstraßscher Produktsatz című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.