Zéta-eloszlás

Zéta-eloszlás:valószínűségi tömeg függvény

Zéta-eloszlás:kumulatív eloszlás függvény

A valószínűségszámítás elméletében és a statisztika területén a zéta-eloszlás egy diszkrét valószínűség eloszlás. Ha X egy zéta-eloszlású valószínűségi változó, s paraméterrel, akkor annak a valószínűségét, hogy X felveszi a k egész értéket, a valószínűségi tömeg függvény adja meg:

$f_s(k)=k^{-s}/\zeta (s)$

ahol ζ(s), a Riemann zéta-függvény (mely nem definiált s = 1 esetén). A zéta-eloszlás ekvivalens a Zipf-eloszlással, végtelen N-re. A ‘zéta-eloszlás’t, és a ‘Zipf-eloszlás’t gyakran felcserélik.

Momentumok

Az n-edik nyers momentum definíciója, ahol Xⁿ, a várható érték:

$m_n=E(X^n)=\frac{1}{\zeta (s)}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^{s-n}}$

A jobb oldalon látható sor, éppen a Riemann zéta-függvény, de az csak s-n-hez konvergál. Így:

$m_n=\{\begin{array}{cc}\zeta (s-n)/\zeta (s)& \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">ha</mrow>}n<s-1\\ \mathrm{\infty }& \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">ha</mrow>}n\ge s-1\end{array}$

Megjegyezzük, hogy a zéta-függvény jól definiált, még n ≥ s − 1 esetben is, mert a sor analitikusan folytatható. Ez nem változtat azon a tényen, hogy a momentumot maga a sor definiálja, és ezért nagy n-re nem definiált.

Momentum generáló függvény

Definíció szerint:

$M(t;s)=E(e^{tX})=\frac{1}{\zeta (s)}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{tk}}{k^s}.$

A sor éppen a polilogaritmus definíciója, mely $e^t<1$ esetben érvényes, így:

$M(t;s)=\frac{{\mathrm{Li}}_s(e^t)}{\zeta (s)}\text{ ha }t<0.$

A függvény Taylor-soros kiterjesztése nem eredményezi szükségszerűen az eloszlás momentumát. A momentumot használó Taylor-sor előfordul a momentum generáló függvényben

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{m_n{t}^n}{n!},$

mely nyilvánvalóan nem jól definiált s bármely véges értékére, mert a momentum végtelen lesz nagy n-eknél. Ha az analitikusan folytatódó kifejezést használjuk a momentum helyett, akkor a polilogaritmus sorba fejtett változatát kapjuk:

$\frac{1}{\zeta (s)}\sum _{n=0,n\ne s-1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (s-n)}{n!}{t}^n=\frac{{\mathrm{Li}}_s(e^t)-\mathrm{\Phi }(s,t)}{\zeta (s)}$

ha $|t|<2\pi$. $\mathrm{\Phi }(s,t)$ :

$\mathrm{\Phi }(s,t)=\mathrm{\Gamma }(1-s)(-t{)}^{s-1}\text{ for }s\ne 1,2,3\dots$

$\mathrm{\Phi }(s,t)=\frac{t^{s-1}}{(s-1)!}[H_s-\ln (-t)]\text{ for }s=2,3,4\dots$

$\mathrm{\Phi }(s,t)=-\ln (-t)\text{ for }s=1,$

ahol H_s egy harmonikus szám.

Az s = 1 esete

ζ(1) végtelen, mint a harmonikus sor, és így s = 1 esetének nincs értelme. Azonban, ha A bármely halmaza pozitív egészeknek, melynek van sűrűsége, például, ha

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{N(A,n)}{n}$

létezik, ahol N(A, n) A tagjainak száma, kisebb vagy egyenlő n, akkor

$\underset{s\to 1+}{\lim }P(X\in A)$

egyenlő a sűrűséggel. Ez utóbbi határérték létezhet, akkor is, ha A-nak nincs sűrűsége. Ha például, A egy olyan pozitív egészekből álló halmaz, ahol d az első szám, akkor annak ellenére, hogy a fentebbi második limit létezik, és arányos

$\log (d+1)-\log (d),$

mely hasonló a Benford-törvénnyel.

Irodalom

• Pierre-Simon de Laplace. Analytical Theory of Probability (1812) 
• Andrej Nyikolajevics Kolmogorov. Foundations of the Theory of Probability (1950) 
• Patrick Billingsley. Probability and Measure. New York, Toronto, London: John Wiley and Sons (1979) 
• Olav Kallenberg; Foundations of Modern Probability, 2nd ed. Springer Series in Statistics. (2002). 650 pp. ISBN 0-387-95313-2
• Henk Tijms. Understanding Probability. Cambridge Univ. Press (2004) 
• Olav Kallenberg; Probabilistic Symmetries and Invariance Principles. Springer -Verlag, New York (2005). 510 pp. ISBN 0-387-25115-4
• Gut, Allan. Probability: A Graduate Course. Springer-Verlag (2005). ISBN 0387228330 
• Horváth Gézáné: Kvantitatív módszerek I.Fejezetek a valószínűségszámításból. (hely nélkül): PERFEKT ZRT. 2005. ISBN 9789633945902  

Kapcsolódó szócikkek

• Zipf-törvény
• Diszkrét eloszlás
• Lévy-eloszlás
• Pareto-eloszlás
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• Statisztika
• Taylor-sor
• Zipf–Mandelbrot-törvény
• Benford-törvény
• Polilogaritmus