Feltételes eloszlás

A valószínűségszámításban a valószínűségi változók feltételes eloszlása egy lehetőség arra, hogy többdimenziós valószínűségeloszlások viselkedését vizsgálják peremeloszlásokra vonatkozóan. A keletkezett eloszlás tartalmazza egyes koordináták értékéről megszerzett tudást. Fontos szerep jut nekik a Bayes-statisztikák készítésében, például az a-posteriori valószínűségek meghatározásában. A feltételes eloszlás a feltételes valószínűségre alapul, így osztozik annak problémáiban. Az általánosabb szabályos feltételes eloszlás a feltételes várható értékre épít, így megkerüli ezeket a problémákat.

Definíció

Diszkrét eset

Adva legyen egy $Z=(X,Y)$ kétdimenziós valószínűségi változó ${\mathbb{\mathbb{Z}}}^2$-en az $f(x,y)$ közös eloszlásfüggvénnyel. Ennek egyik peremeloszlása $Y$ eloszlása, az $f_Y(y)$ peremeloszlásfüggvénnyel. Ekkor $P(Y=y)>0$ esetén az

$f(x|y):=\frac{P(X=x,Y=y)}{P(Y=y)}=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$

valószínűségfüggvényű valószínűségi változó $X$ feltételes eloszlása, feltéve $Y=y$, valószínűségi függvénye feltételes valószínűségi függvény. A hozzá tartozó valószínűségi függvény jelölése $P_{X|Y=y}$.

Folytonos eset

Adva legyen a kétdimenziós $Z=(X,Y)$ valószínűségi vektorváltozó ${\mathbb{ℝ}}^2$-en. Az

$F(x|y)=\underset{h\downarrow 0}{\lim }P(X\le x|y\le Y\le y+h)$

eloszlás feltételes eloszlásfüggvény $X$ feltételes eloszlása, feltéve $Y=y$. Egy $f(x,y)$ közös sűrűségfüggvény és egy $f_Y(y)$ létezése esetén, amennyiben ez utóbbi nem egyenlő nullával, akkor a feltételes sűrűségfüggvény

$f(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$.

Példa

Legyen $Z=(X,Y)$ multinomiális eloszlású valószínűségi vektorváltozó, $Z\sim M(n,(p,1-p))$. Valószínűségi függvénye

$f_Z(x,y)=\{\begin{array}{ll}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{x,y})p^x(1-p{)}^y& \text{ha }x+y=n\\ 0& \text{egyébként}\end{array}$.

Peremeloszlása $X$-re vonatkozóan binomiális:

$f_X(x)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{x})p^x(1-p{)}^{(n-x)}$.

A feltételes valószínűségfüggvényre adódik, hogy

$f(y|x)=\frac{f_Z(x,y)}{f_X(x)}=\{\begin{array}{ll}1& \text{ ha }y=n-x\\ 0& \text{ egyébként }\end{array}$.

Ez várható, mivel a koordináták összefüggnek az $x+y=n$ képlet szerint. A kimenetelek összege mindig $n$, ezért $X$ kimenetele meghatározza $Y$ értékét. Emiatt a feltételes valószínűség determinisztikus.

Források

• Christian Hesse. Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie, 1., Wiesbaden: Vieweg (2003). ISBN 3-528-03183-2 
• Claudia Czado, Thorsten Schmidt. Mathematische Statistik. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2011). ISBN 978-3-642-17260-1 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Bedingte Verteilung című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.