Peremeloszlás

A valószínűségszámításban és statisztikában a peremeloszlások több valószínűségi változó közös eloszlásának, illetve valószínűségi vektorváltozók eloszlásának jellemzői. Jellemzőjük, hogy csak néhány valószínűségi változót, illetve koordinátáját veszi tekintetbe. Például, ha $X$ és $Y$ közös eloszlásáról van szó, $X$ és $Y$ eloszlása ennek peremeloszlásai. Megkülönböztetik diszkrét és folytonos valószínűségi változók peremeloszlásait:

• Diszkrét peremeloszlások
• Folytonos peremeloszlások

Peremeloszlásokat lehet abszolút illetve relatív gyakoriságokra is képezni. A peremeloszlás gyakoriságai a peremgyakoriságok. Kategorikus változók esetén a kontingenciatábla pereméről olvashatók le.

Példa

A diszkrét jellemzők peremeloszlása kontingenciatáblával mutatható be. A tábla szélén sorok, oszlopok összegeként olvashatók le a peremeloszlások. Példaként bemutatunk egy abszolút gyakoriságokat tartalmazó kontingenciatáblát. Relatív gyakoriságokat is lehetne használni.

	Fiú	Lány	Peremgyakoriságok
10. osztály	10	10	20
11. osztály	4	16	20
Peremgyakoriságok	14	26	40

A 10. osztályban a peremgyakoriságok a tanulók nemének elhanyagolásával 20. Ugyanez az eredmény a 11. osztályban, így mivel nincs több vizsgált osztály, a peremeloszlás egyenletes. Az osztályok különböző jellemzőként megmaradnak. Vannak azonban folytonos jellemzők, melyeket nem lehet kontingenciatáblába rendezni. Ilyennek tekinthető például a testmagasság. Itt minden határ önkényes, és különféle határok meghúzása más-más eredményt adhat. A kategóriákat úgy alakítják, hogy diszjunktak legyenek. Ha a kategóriák szűkek, akkor lehet, hogy túl kevesen esnek egy kategóriába, illetve a kontingenciatábla túl nagy, áttekinthetetlen lesz. Nem javasolják a természetszerűleg folytonos valószínűségi változók diszkretizálását.

Definíció

Adva legyen egy $Z=(X_1,\dots ,X_n)$ valószínűségi vektorváltozó, és eloszlása $P_Z$ mint valószínűségi mérték. Ekkor a

$P_{X_i}(A):=P_Z({\mathrm{\Omega }}_1\times \cdots \times {\mathrm{\Omega }}_{i-1}\times A\times {\mathrm{\Omega }}_{i+1}\times \cdots \times {\mathrm{\Omega }}_n)$

eloszlás $Z$ i-edik peremeloszlása. Alternatívan, úgy is definiálható, mint

$P_{X_i}(A)=P(X_1\in {\mathrm{\Omega }}_1,\dots ,X_{i-1}\in {\mathrm{\Omega }}_{i-1},X_i\in A,X_{i+1}\in {\mathrm{\Omega }}_{i+1},\dots ,X_n\in {\mathrm{\Omega }}_n)$.

Kétdimenziós esetben, ha $Z=(X,Y)$, akkor az első peremeloszlás

$P_X(A)=P_Z(A\times {\mathrm{\Omega }}_2)\text{ illetve }{P}_X(A)=P(X\in A,Y\in {\mathrm{\Omega }}_2)$.

Peremeloszlás definiálható minden $J\subset I=\{1,\dots ,n\}$ indexhalmazra. Ha $|J|=m$, akkor ezek m dimenziós peremeloszlások. Ezek definiálhatók, mint

$P_{X_J}(A)=\{\begin{array}{ll}P(X_i\in A_i)& \text{ha }i\in J\\ X_i\in {\mathrm{\Omega }}_i& \text{egyébként }\end{array}$

ahol $A=\prod _{i\in J}{A}_i$.

Elemi tulajdonságok

• Pontosan $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})$ számú m dimenziós peremeloszlás létezik.
• Mértékelméleti szempontból a peremeloszlások a többdimenziós mérték vetülete egy vagy több dimenzióra.
• Ha az összes $X_i$ valószínűségi változó független, akkor a valószínűségi vektorváltozó eloszlása az egydimenziós peremeloszlások szorzata.

Származtatott fogalmak

Peremeloszlásfüggvények

Ha a $Z$ valószínűségi vektorváltozó eloszlásfüggvénye $F_Z:{\mathbb{ℝ}}^n\to [0,1]$, akkor egy peremeloszlásfüggvény a megfelelő peremeloszlás eloszlásfüggvénye. Egydimenziós esetben

$F_{X_i}(x_i)=F_Z(\mathrm{\infty },\dots ,\mathrm{\infty },x_i,\mathrm{\infty },\dots ,\mathrm{\infty })$.

Az i-edik kivételével mindegyiket végtelennel helyettesítik. Hasonlóan megy más dimenziókban is, a $J$-ben adott dimenziókat megtartják, a többit végtelennel helyettesítik. Kétdimenziós esetben, ha $Z=(X,Y)$, akkor az első peremeloszlásfüggvény

$F_X(x)=F_Z(x,\mathrm{\infty })$.

Peremsűrűség

Az előzőhöz hasonlóan definiálhatók a peremsűrűségek. Ezek azok az $f_{X_i}$ függvények, melyekre

$$\begin{gathered} F_{X_i}(x_i)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x_i}{\int }}{f}_{X_i}(t) \\ \mathrm{d}t \end{gathered}$$

Ha a $Z$ valószínűségi vektorváltozó sűrűségfüggvénye $f_Z(x_1,\dots ,x_n)$, akkor a peremsűrűségfüggvények definiálhatók, mint

$$\begin{gathered} f_{X_i}(x_i):=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\cdots \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\cdots \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_Z(x_1,\dots ,x_{i-1},x_i,x_{i+1},\dots ,x_n) \\ \mathrm{d}{x}_1\cdots \mathrm{d}{x}_{i-1}\mathrm{d}{x}_{i+1}\cdots \mathrm{d}{x}_n \end{gathered}$$.

Az m-dimenziós esetben azokon a koordinátákon kell integrálni, amelyek nem tartoznak $J$-be. Ha $Z=(X,Y)$, akkor a peremsűrűségek

$$\begin{gathered} f_X(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_Z(x,y) \\ \mathrm{d}y \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} f_Y(y)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_Z(x,y) \\ \mathrm{d}x \end{gathered}$$

Perem-valószínűségi tömegfüggvény

A sűrűségfüggvényekhez hasonlóan definiálhatók és számíthatók, de itt az integrált összegzés helyettesíti. Ha a $Z$ valószínűségi tömegfüggvénye $f_Z(x_1,\dots ,x_n)$, akkor az i-edik perem-valószínűségi tömegfüggvény

$f_{X_i}(x_i)=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{j\ne i}{x_j\in \mathbb{\mathbb{Z}}}}{f}_Z(x_1,\dots ,x_n)$.

Hasonlóan definiálható a többdimenziós eset, azokat a koordinátákat kell összegezni, amelyek nem tartoznak $J$-be. Kétdimenziós esetben, ha $Z=(X,Y)$, akkor

$f_X(x_i)=\sum _{k\in K}{f}_Z(x_i,y_k)$

$f_Y(y_k)=\sum _{i\in I}{f}_Z(x_i,y_k)$.

Példa

Legyen $Z=(X,Y)$ kétdimenziós multinomiális eloszlású, tehát $Z\sim M(n,(p,1-p))$. Ekkor $Z$ valószínűségi tömegfüggvénye

$f_Z(x,y)=\{\begin{array}{ll}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{x,y})p^x(1-p{)}^y& \text{ha }x+y=n\\ 0& \text{különben}\end{array}$,

ahol $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{x,y})$ multinomiális együttható. Az $y=n-x$ helyettesítéssel

$f_Z(x,y)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{x})p^x(1-p{)}^{n-x}$.

A valószínűségi tömegfüggvény $y$-tól függetlenül is ábrázolható. Így $X$ peremsűrűsége, amit minden $y$-ra összegezve kaphatunk, újra $Z$ valószínűségi tömegfüggvényét adja, csak $y$ mint változó nélkül. Tehát az

$f_X(x)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{x})p^x(1-p{)}^{n-x}$

perem-valószínűségi tömegfüggvény binomiális eloszlású az $p$ és $n$ paraméterekkel. Legyen most $Z=(X_1,\dots ,X_m)$ $m$ dimenziós multinomiális eloszlású, tehát $Z\sim M(n,(p_1,\dots ,p_m))$, ahol $p_1+\cdots +p_m=1$. Ekkor a valószínűségi tömegfüggvény

$f_Z(x_1,\dots ,x_m)=\{\begin{array}{ll}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{x_1,\dots ,x_m})p_1^{x_1}\cdots p_k^{x_m}& \text{ha }{x}_1,\dots ,x_k\in {\mathbb{\mathbb{N}}}_0\text{ és }{x}_1+\cdots +x_m=n\\ 0& \text{különben}\end{array}$.

Az első peremeloszlás számításához az $x_2,x_3,\dots ,x_m$ változók szerint kell összegezni. A számítás egyszerűsítéséhez elvégezzük az $p_2+\cdots +p_m=1-p_1$ és $x_1=n-(x_2+\cdots +x_3)$ csoportosításokat. A multinomiális tétellel következik, hogy a peremeloszlás binomiális lesz, az $n$ és $p_1$ paraméterekkel.

Kapcsolódó fogalmak

Ahhoz, hogy jellemezzenek egy többdimenziós eloszlást, nemcsak a peremeloszlást és a korrelációt kell tekintetbe venni, hanem az összefüggést más adatokkal is pontosabban kell jellemezni. A korreláció csak a lineáris függést jellemzi, emiatt használnak kopulákat és rangkorrelációkat, amelyek minden párt külön jellemeznek. Előzetes tudás birtokában a feltételes eloszlás is meghatározható a peremeloszlások felhasználásával.

Jegyzetek

• I. N. Bronstein: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch ISBN 3-8171-2006-0.
• Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger: Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. Vieweg+Teubner Verlag 2010, ISBN 978-3-8348-0815-8, doi:10.1007/978-3-8348-9351-2.
• Christian Hesse. Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie, 1., Wiesbaden: Vieweg (2003). ISBN 3-528-03183-2 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Randverteilung című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.