Közös eloszlás

A valószínűségszámításban a közös eloszlás egy lehetőség arra, hogy több alacsonyabb, általában egydimenziós valószínűségi mértékből konstruáljon egy magasabb dimenziós valószínűségeloszlást. Erre példa a multinomiális eloszlás. Mértékelméleti szempontból képmértékről van szó. Így valószínűségi változók közös általánosítása a valószínűségi változók eloszlásának.

Definíció

Adva legyen egy $(\mathrm{\Omega },{𝒜},P)$ valószínűségi mező, egy $I$ indexhalmaz, $(X_i{)}_{i\in I}$ valószínűségi változók és az $({\mathrm{\Omega }}_i,{{𝒜}}_i)$ eseményterek. Legyen

${\mathrm{\Omega }}_I:=\prod _{i\in I}{\mathrm{\Omega }}_i$

az alaphalmazok Descartes-szorzata, továbbá

${{𝒜}}_I:=\underset{i\in I}{⨂}{{𝒜}}_i$

a megfelelő szorzat-σ-algebra. Ekkor az $({\mathrm{\Omega }}_I,{{𝒜}}_I)$ téren értelmezett

$P_{(X_i{)}_{i\in I}}\left(\prod _{i\in I}{A}_i\right):=P(\bigcap _{i\in I}\{X_i\in A_i\})=P(\bigcap _{i\in I}{X}_i^{-1}(A_i))$

valószínűségi mérték definiálva van minden $A_i\in {{𝒜}}_i$ halmazra. Ez az $X_i$ valószínűségi változók közös eloszlása.

Példa

Legyen $(\mathrm{\Omega },{𝒜},P)$ valószínűségi mező, ahol

$\mathrm{\Omega }=\{1,\dots ,6{\}}^2\text{ és }{𝒜}={𝒫}(\mathrm{\Omega })$

diszkrét egyenletes valószínűséggel az alaphalmazon. Ez megfelel egy szabályos kockával való dobásnak. Az első valószínűségi változó

$X_1(\omega )={\omega }_1+{\omega }_2$,

ami két kockadobás összege és leképezi az $({\mathrm{\Omega }}_1,{{𝒜}}_1)$ halmazt az ${\mathrm{\Omega }}_1=\{2,\dots ,12\}$ halmazra, továbbá ${{𝒜}}_1={𝒫}({\mathrm{\Omega }}_1)$. A másik valószínűségi változó

$X_2(\omega )=\{\begin{array}{ll}1& \text{ ha }{\omega }_1\text{ páros}\\ 0& \text{ ha páratlan }\end{array}$

és arról szolgáltat információt, hogy az első dobott szám páros-e. Az $({\mathrm{\Omega }}_2,{{𝒜}}_2)$ halmazt ${\mathrm{\Omega }}_2=\{0,1\}$-re képezi, valamint ${{𝒜}}_2={𝒫}({\mathrm{\Omega }}_2)$. A közös eloszlás valószínűségi mérték a $\{2,\dots ,12\}\times \{0,1\}$ halmazon, ellátva a szorzat-σ-algebrával. A valószínűségi mértéket elég a generátorokra megadni, itt tehát az $|{\mathrm{\Omega }}_1|\cdot |{\mathrm{\Omega }}_2|=11\cdot 2=22$ típusú $\{({\omega }_1,{\omega }_2)\}\subset {\mathrm{\Omega }}_1\times {\mathrm{\Omega }}_2$ eseményekre. Az egyszerűség kedvéért itt csak néhány valószínűséget adunk meg.

$P_{X_1,X_2}(\{(3,1)\})=P(X_1^{-1}(\{3\})\cap X_2^{-1}(\{1\}))$

$=P(\{(1,2),(2,1)\}\cap \{2,4,6\}\times \{1,\dots ,6\})=P(\{(2,1)\})=\frac{1}{36}$

$P_{X_1,X_2}(\{(2,1)\})=P(X_1^{-1}(\{2\})\cap X_2^{-1}(\{1\}))$

$=P(\{(1,1)\}\cap \{2,4,6\}\times \{1,\dots ,6\})=P(\mathrm{\varnothing })=0$

$P_{X_1,X_2}(\{(4,0)\})=P(X_1^{-1}(\{4\})\cap X_2^{-1}(\{0\}))$

$=P(\{(1,3),(3,1),(2,2)\}\cap \{1,3,5\}\times \{1,\dots ,6\})=P(\{(1,3),(3,1)\})=\frac{2}{36}$.

Egyértelműség

A valószínűségi változók eloszlását nem közvetlenül a szorzat-σ-algebrák szorzatára definiálják, hanem csak a mértékterek σ-algebráinak egyenkénti szorzataira. Mivel azonban ez generálja a szorzat-σ-algebrát, a fenti definíció egyértelműen kiterjeszthető a teljes szorzat-σ-algebrára.

Kapcsolat a függetlenséggel

Valószínűségi változók közös eloszlásával vizsgálható függetlenségük. Teljesülnek a következők:

• Az $(X_i{)}_{i\in I}$ valószínűségi változók pontosan akkor függetlenek, ha közös eloszlásuk megegyezik a szorzatmértékkel, tehát

$P_{(X_i{)}_{i\in I}}=\underset{i\in I}{⨂}{P}_{X_i}$

• Ennek közvetlen következménye, hogy ha a közös eloszlásfüggvény megegyeik az eloszlásfüggvények szorzatával, akkor az is ekvivalens a függetlenséggel.

Akárhány valószínűségi változó esetén minden véges részhalmazt vizsgálni kell a függetlenségre, ami megtehető a fenti kritériumok valamelyikével.

Alkalmazások

A közös eloszlásokat a többdimenziós valószínűségeloszlásokkal együtt használják a peremeloszlásokra vett feltételes eloszlások vizsgálatára. A feltételes eloszlás modellezi az előzetes tudást a valószínűségi változókról.

Származtatott fogalmak

Közös eloszlásfüggvény

Egy valószínűségi változó eloszlásfüggvényéhez hasonlóan értelmezhető a közös eloszlás. Ez egy

$F_{(X_i{)}_{i\in I}}:{\mathbb{ℝ}}^{|I|}\to [0,1]$ függvény, melynek definíciója

$F_{(X_i{)}_{i\in I}}(x)=P(X_i\le x_i\text{ minden }i\in I)=P(\bigcap _{i\in I}\{X_i\le x_i\})$ esetén.

Gyakran csak $F_I$ jelöli.

Közös sűrűségfüggvény

A közös sűrűségfüggvény, hasonlóan a valószínűségi változó sűrűségfüggvényéhez, ha létezik, akkor egy függvény, amire teljesül, hogy

$F_I(x_{i_1},\dots ,x_{i_n})=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x_{i_1}}{\int }}\dots \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x_{i_n}}{\int }}f(t_1,\dots ,t_n)\mathrm{d}{t}_1\dots \mathrm{d}{t}_n$

Itt az indexhalmaz $I=\{i_1,\dots ,i_n\}$.

Peremeloszlás

A valószínűségi vektorváltozókhoz hasonlóan a közös eloszlások peremeloszlásai is értelmezhetők alacsonyabb dimenziós vetületként. Speciális esetként visszakapjuk az eredeti valószínűségi változók eloszlásait is. $A_j\in {{𝒜}}_j$ als

$P^j(A_j)=P_{(X_i{)}_{i\in I}}(A_j\times \prod _{i\in I,i\ne j}{\mathrm{\Omega }}_i)$.

A peremeloszlások eloszlásfüggvényei a peremeloszlások, sűrűségfüggvényei a peremsűrűségek.

Források

• Achim Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie, 3., Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2013). ISBN 978-3-642-36017-6 
• Christian Hesse. Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie, 1., Wiesbaden: Vieweg (2003). ISBN 3-528-03183-2 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Gemeinsame Verteilung von Zufallsvariablen című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.