Csebisev-függvény

A matematikában a Csebisev-függvény a Csebisevről elnevezett két függvény egyike. Az első Csebisev-függvény a ϑ(x) vagy θ(x) definíciója

$\vartheta (x)=\sum _{p\le x}\log p$

ahol az összegzés az x-nél nem nagyobb prímekre megy. A második Csebisev-függvény definíciója hasonló, de az összegzés az összes x-nél nem nagyobb prímhatványt magában foglalja:

$\psi (x)=\sum _{p^k\le x}\log p=\sum _{n\le x}\mathrm{\Lambda }(n)=\sum _{p\le x}\lfloor {\log }_{p}x\rfloor \log p,$

ahol $\mathrm{\Lambda }$ a von Mangoldt-függvény. A Csebisev-függvények, különösen a ψ(x) második Csebisev-függvény gyakran hasznosnak bizonyulnak a prímekhez kapcsolódó problémákban, mivel egyszerűbb velük számolni, mint a prímszámláló π(x) függvénnyel. Mindkettő aszimptotikus x-hez, ami a prímszámtétellel ekvivalens.

Kapcsolatuk

A második Csebisev-függvény kifejezhető, mint

$\psi (x)=\sum _{p\le x}k\log p$

ahol k az az egész, amire p^k ≤ x, és x < p^k+1. A k értékek sorozata  A206722. A következő egy még közvetlenebb kapcsolatot fejez ki:

$\psi (x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\vartheta \left(x^{1/n}\right).$

Jegyezzük meg, hogy ez utóbbi összegben véges sok tag kivételével mindegyik nulla:

$$\begin{gathered} \vartheta \left(x^{1/n}\right)=0\text{ ha }n>{\log }_{2}x \\ =\frac{\log x}{\log 2},. \end{gathered}$$

A második Csebisev-függvény az 1-től n-ig terjedő egészek legkisebb közös többszörösének logaritmusa:

$\mathrm{lcm}(1,2,\dots ,n)=e^{\psi (n)}.$

Az n függvényében a  $\mathrm{lcm}(1,2,\dots ,n)$  sorozat az  A003418 sorozat.

Aszimptotika és korlátok

A következő képletekben a p_k a k-adik pozitív prímet jelöli. A Csebisev-függvényre a következő korlátok ismertek:Sablon:RefSablon:Ref

$\vartheta (p_k)\ge k(\ln k+\ln \ln k-1+\frac{\ln \ln k-2.050735}{\ln k})$ $k\ge 10^{11},$-re

$\vartheta (p_k)\le k(\ln k+\ln \ln k-1+\frac{\ln \ln k-2}{\ln k})$ k ≥ 198-ra,

$|\vartheta (x)-x|\le 0.006788\frac{x}{\ln x}$ minden x ≥ 10,544,111-re,

$|\psi (x)-x|\le 0.006409\frac{x}{\ln x}$ minden x ≥ exp(22)-re,

$0.9999\sqrt{x}<\psi (x)-\vartheta (x)<1.00007\sqrt{x}+1.78\sqrt[3]{x}$ minden $x\ge 121.$-re.

Továbbá, a Riemann-hipotézis teljesülése esetén

$|\vartheta (x)-x|=O(x^{1/2+\epsilon })$

$|\psi (x)-x|=O(x^{1/2+\epsilon })$

minden $\epsilon >0$-ra. Mindkét függvényre ismertek felső korlátok is, így

$\vartheta (x)<1.01624x$

$\psi (x)<1.03883x$

minden $x>0$-ra. Az 1,03883 magyarázatát az  A206431 adja meg.

Egzakt képletek

1895-ben Hans Carl Friedrich von MangoldtSablon:Ref explicit kifejezte a $\psi (x)$ függvényt a Riemann-féle zéta-függvény nem triviális gyökeinek összegeként:

${\psi }_0(x)=x-\sum _{\rho }\frac{x^{\rho }}{\rho }-\frac{{\zeta }^{\prime }(0)}{\zeta (0)}-\frac{1}{2}\log (1-x^{-2}).$

ahol ζ'(0)/ζ(0) értéke log(2π), $\rho$ befutja a zéta-függvény nem triviális gyökeit, és ψ₀ éppen a ψ, kivéve, hogy átugorja annak szakadási helyeit a prímhatványoknál, és ezeken a helyeken a két határérték számtani közepét veszi fel:

${\psi }_0(x)=\frac{1}{2}(\sum _{n\le x}\mathrm{\Lambda }(n)+\sum _{n<x}\mathrm{\Lambda }(n))=\{\begin{array}{ll}\psi (x)-\frac{1}{2}\mathrm{\Lambda }(x)& x=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\dots \\ \psi (x)& \text{otherwise.}\end{array}$

A logaritmus Taylor-sora szerint az utolsó tag tekinthető, mint $x^{\omega }/\omega$ összege a Riemann-féle zéta-függvény triviális gyökei, a negatív egészek fölött:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{-2k}}{-2k}=\frac{1}{2}\log (1-x^{-2}).$

Hasonlóan, az első tag x = x¹/1 megfelel a Riemann-féle zéta-függvény elsőrendű pólusának az 1 helyen. Mivel nem gyök, hanem pólus, azért negatív előjellel szerepel az összegben.

Tulajdonságok

Erhard Schmidt egy tétele szerint egy rögzített pozitív egész K-ra végtelen sok olyan x létezik, amire

$\psi (x)-x<-K\sqrt{x}$

és végtelen sok x, hogy

$\psi (x)-x>K\sqrt{x}.$Sablon:RefSablon:Ref

A kis ordo jelöléssel

$\psi (x)-x\ne o\left(\sqrt{x}\right).$

Hardy és LittlewoodSablon:Ref eredménye erősebb:

$\psi (x)-x\ne o(\sqrt{x}\log \log \log x).$

Kapcsolat a primoriálokkal

Az első Csebisev-függvény x primoriáljának logaritmusa, amit x# jelöl:

$\vartheta (x)=\sum _{p\le x}\log p=\log \prod _{p\le x}p=\log (x\mathrm{\#}).$

Ez bizonyítja, hogy az x# primoriál aszimptotikusan egyenlő exp((1+o(1))x)-szel, ahol "o" a kis ordo jelölés, és a prímszámtétellel együtt bizonyítja p_n# aszimptotikus viselkedését.

Kapcsolat a prímszámláló függvénnyel

A Csebisev-függvények kapcsolatba hozhatók a prímszámláló függvénnyel. Legyen

$\mathrm{\Pi }(x)=\sum _{n\le x}\frac{\mathrm{\Lambda }(n)}{\log n}.$

Ekkor

$\mathrm{\Pi }(x)=\sum _{n\le x}\mathrm{\Lambda }(n)\underset{n}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{t{\log }^{2}t}+\frac{1}{\log x}\sum _{n\le x}\mathrm{\Lambda }(n)=\underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{\psi (t)dt}{t{\log }^{2}t}+\frac{\psi (x)}{\log x}.$

Az áttérés $\mathrm{\Pi }$-ről $\pi$-reó a következő egyenlettel lehetséges:

$\mathrm{\Pi }(x)=\pi (x)+\frac{1}{2}\pi (x^{1/2})+\frac{1}{3}\pi (x^{1/3})+\cdots .$

Mivel $\pi (x)\le x$, azért a legutóbbi reláció írható, mint

$\pi (x)=\mathrm{\Pi }(x)+O(\sqrt{x}).$

A Riemann-hipotézis

A Riemann-hipotézis szerint a Riemann-féle zéta-függvény nem triviális gyökeinek valós része 1/2. Ekkor $|x^{\rho }|=\sqrt{x}$, és megmutatható, hogy

$\sum _{\rho }\frac{x^{\rho }}{\rho }=O(\sqrt{x}{\log }^{2}x).$

A fentiek szerint ebből következik, hogy

$\pi (x)=\mathrm{li}(x)+O(\sqrt{x}\log x).$

Alain Connes és társai úgy próbálták igazolni a hipotézist, hogy deriválták a von Mangoldt-formulát x szerint, ahol x = exp(u). A Hamilton-operátor exponenciálisának nyom képletét véve

$\zeta (1/2+i\hat{H})|n\ge \zeta (1/2+i{E}_n)=0,$

$\sum _n{e}^{iu{E}_n}=Z(u)=e^{u/2}-e^{-u/2}\frac{d{\psi }_0}{du}-\frac{e^{u/2}}{e^{3u}-e^u}=\mathrm{Tr}(e^{iu\hat{H}}),$

ahol a trigonometrikus összeg tekinthető az $e^{iu\hat{H}}$ operátor nyomának, ami csak akkor igaz, ha $\rho =1/2+iE(n).$ A H = T + V hatványának félklasszikus megközelítésével:

$\frac{Z(u)u^{1/2}}{\sqrt{\pi }}\sim \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{i(uV(x)+\pi /4)}dx$

ahol Z(u) → 0 as u → ∞. A $V^{-1}(x)\approx \sqrt{(}4\pi )\frac{d^{1/2}N(x)}{d{x}^{1/2}}$ egy megoldása ennek a nemlineáris integrálegyenletnek, a

$\pi N(E)=Arg\xi (1/2+iE)$

hatvány inverzének a kiszámításával.

Simító függvény

A simító függvény definíciója

${\psi }_1(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\psi (t)dt.$

Belátható, hogy

${\psi }_1(x)\sim \frac{x^2}{2}.$

Variációszámítás

A Csebisev-függvény az x = exp(t) helyen minimalizálja az

$J[f]=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(s){\zeta }^{\prime }(s+c)}{\zeta (s+c)(s+c)}ds-\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(s)f(t)dsdt,$

funkcionált, így

$f(t)=\psi (e^t)e^{-ct},$

c > 0 -ra.

Források

• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3
• Weisstein, Eric W.: Chebyshev functions (angol nyelven). Wolfram MathWorld
• Mangoldt summatory function a PlanetMath oldalain
• Chebyshev functions a PlanetMath oldalain
• Riemann's Explicit Formula

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Chebyshev function című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.