Riemann-féle zéta-függvény

A Riemann-féle zéta-függvény a számelmélet, ezen belül az analitikus számelmélet legfontosabb komplex változós függvénye. Különböző tulajdonságai szorosan összefüggenek a prímszámok eloszlásának kérdéseivel. A nemtriviális zérushelyeire vonatkozó Riemann-sejtés sokak szerint a matematika legfontosabb megoldatlan problémája.

Definíció

A Riemann-féle ζ(s) függvényt a

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}$

Dirichlet-sorral definiáljuk ott, ahol ez konvergens, azaz az 1-nél nagyobb valós résszel rendelkező komplex s értékekre. (Az analitikus számelméletben a komplex számokat hagyományosan s=σ+it alakban írják.) ζ(s) analitikus folytatással az egész síkon meromorf függvénnyé terjeszthető ki, az alábbi módon:

$$\begin{gathered} \zeta (s)=2^s{\pi }^{s-1} \\ \sin \left(\frac{\pi s}{2}\right) \\ \mathrm{\Gamma }(1-s) \\ \zeta (1-s), \end{gathered}$$

Aminek egyetlen elsőrendű pólusa 1-ben van, az s=-2, -4, … ( ahol a szinusz nulla, és a gamma-függvény véges értéket vesz fel) helyeken zérushelyei vannak, továbbá végtelen sok zérushelye van a $0\le \sigma \le 1$ sávban. Ez az úgynevezett kritikus sáv.

A függvény értékei egész helyeken

A zéta-függvény értékeit pozitív, páros helyeken Euler határozta meg:

$\zeta (2n)=(-1{)}^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi {)}^{2n}}{2(2n)!}$

ahol $B_n$ az n-edik Bernoulli-szám. Speciálisan adódik a híres

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$

formula, aminek meghatározása sokak hiábavaló próbalkozása után, először Eulernek sikerült (ez volt az úgynevezett Basel-probléma). Ismert továbbá, hogy $\zeta (2n)$ ${\pi }^{2n}$ racionális többszöröse. A $\zeta (3),\zeta (5),\zeta (7),\dots$ értékekről sokkal kevesebbet tudunk. Hosszú ideig az is ismeretlen volt, hogy $\zeta (3)$ irracionális szám-e. Ezt végül 1978-ban Apéry bizonyította be. 2001-ben Keith Ball és Tanguy Rivoal igazolta, hogy a Q feletti, $\zeta (3),\zeta (5),\dots$ által generált vektortér végtelendimenziós. 2002-ben Rivoal bebizonyította, hogy $\zeta (5),\zeta (7),\dots ,\zeta (21)$ valamelyike irracionális. Ezt V. Zudilin megjavította arra az eredményre, hogy $\zeta (5),\zeta (7),\zeta (9),\zeta (11)$ valamelyike irracionális. Bizonyított még, hogy $\zeta (2n+1)$végtelen sok helyen irracionális.

Euler heurisztikája

A $\zeta$-függvény nempozitív egész helyein felvett értékei a következőképpen adhatók meg:

$\zeta (0)=-\frac{1}{2}$ és $\zeta (1-k)=-\frac{B_k}{k}(k=2,3,\dots )$.

Érdekes módon az utóbbi értékeket Euler heurisztikus módon meghatározta. A $\zeta (-1)$-re vonatkozó okoskodása, azaz $1+2+3+\cdots =-\frac{1}{12}$ „igazolása” a következő volt: Legyen $x=1-1+1-1+1\cdots$. Ezt egy taggal eltolva $x=0+1-1+1-1+\cdots$ adódik. A két sort tagról tagra összeadva $2x=1$-et kapunk, azaz $x=\frac{1}{2}$. Hasonlóan legyen $y=1-2+3-4+\cdots$. Ismét eltolva: $y=0+1-2+3-4+\cdots$. Megint tagonként összeadva a két sort, azt kapjuk, hogy $2y=1-1+1-1+\cdots =x=\frac{1}{2}$, azaz $y=\frac{1}{4}$. Legyen végül $z=1+2+3+\cdots$. Ekkor $z=y+4z$, mivel az $1-2+3-4+\cdots$ sorból az $1+2+3+\cdots$ sort úgy kaphatjuk, hogy a páros sorszámú tagokhoz rendre hozzáadjuk a sor $4+8+12+\cdots =4(1+2+3+\cdots )$ tagjait. Innen $z=-\frac{y}{3}=-\frac{1}{12}$ adódik.

Kapcsolat a prímszámok eloszlásával

Már Euler felfedezte a

$\begin{array}{rl}\zeta (s)& =\prod _p\frac{1}{1-p^{-s}}\\ & =(1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{8^s}+\dots )\cdot (1+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{9^s}+\frac{1}{27^s}+\dots )\cdots \end{array}$

szorzatelőállítást, ami konvergens minden olyan s=σ+ti alakú komplex számra, ahol σ>1. Itt a p változó a prímszámokon fut végig. Valóban, ha a jobb oldali összegeket kiszorozzuk, akkor, a számelmélet alaptételének értelmében minden $1/n^s$ alakú tagot megkapunk, éspedig pontosan egyszer. Az átrendezés jogosságát az adja, hogy a feltétel miatt a szereplő sor abszolút konvergens.

A függvényegyenlet

A függvényegyenlet összekapcsolja a függvény értékeit az s és az 1-s helyeken. Vezessük be a

$\xi (s)={\pi }^{-s/2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{s}{2}\right)\zeta (s)$

függvényt. A $\xi (s)$ függvény az egész komplex számsíkon analitikus és csak a kritikus sávban vannak zérushelyei (amelyek azonosak a zéta-függvény zérushelyeivel). Ekkor $\xi (s)=\xi (1-s)$ teljesül. A függvényegyenlet aszimmetrikus formája:

$\zeta (s)=2^s{\pi }^{s-1}\sin \left(\frac{\pi s}{2}\right)\mathrm{\Gamma }(1-s)\zeta (1-s).$

A $\xi (s)$ függvény Weierstrass-féle szorzatelőállítása:

$\xi (s)=\frac{1}{2}{e}^{(-\frac{\gamma }{2}-1+\frac{1}{2}\log 4\pi )s}\prod _{\rho }(1-\frac{s}{\rho })e^{\frac{s}{\rho }}$

ahol $\rho$ végigfut $\zeta (s)$ nemtriviális gyökein.

A gyökök kapcsolata a prímszámok eloszlásával

A gyökök közvetlen kapcsolatba hozhatók a prímszámok eloszlásával a következő képlettel:

$\psi (x)=x-\frac{{\zeta }^{\prime }(0)}{\zeta (0)}-\sum _{\rho }\frac{x^{\rho }}{\rho }-\frac{1}{2}\log (1-x^{-2})$

ahol $\rho$ a nemtriviális gyökökön fut végig és

$\psi (x)=\sum _{n\le x}\mathrm{\Lambda }(n),$

ahol $\mathrm{\Lambda }(n)$ a von Mangoldt-függvény, azaz $\mathrm{\Lambda }(n)=\log p$, ha $n=p^{\alpha }$, egyébként 0. Mivel $\psi (x)$ a prímhatvány helyeken ugrik, a fenti képlet ezekre a számokra csak azzal a korrekcióval igaz, hogy ilyen x esetén az utolsó tag $\mathrm{\Lambda }(x)$ helyett $\mathrm{\Lambda }(x)/2$. Egyszerű okoskodással belátható, hogy $\psi (x)$ minél közelebb van $x$-hez, annál közelebb van $\pi (x)$ $\text{Li}(x)$-hez. Így például ψ(x)∼x ekvivalens π(x)∼Li(x)-szel, azaz a prímszámtétellel. A jobb oldalon szereplő $x^{\rho }/\rho$ tagok $\rho =\alpha +it$ esetén így alakíthatók: $x^{\alpha }{e}^{it\log x}/\rho$ tehát abszolút értékük kb $x^{\alpha }$. Minél közelebb van a nemtriviális gyökök valós része ½-hez, annál közelebb van $\psi (x)$ $x$-hez. Konkrétan ψ(x)∼x ekvivalens azzal, hogy nincs $1+it$ alakú gyök és ha $1/2\le \alpha <1$ olyan szám amire igaz, hogy minden gyök valós része legfeljebb $\alpha$, akkor $\psi (x)=x+O(x^{\alpha }{\log }^{2}x)$ és így $\pi (x)=\text{Li}(x)+O(x^{\alpha }\log x)$.

A gyökök eloszlása

A ζ-függvénynek végtelen sok zérushelye van a kritikus sávban. Riemann sejtette, hogy a $0\le \sigma \le 1$, $0\le t\le T$ téglalapban a zérushelyek száma

$N(T)=\frac{T}{2\pi }\log \frac{T}{2\pi }-\frac{T}{2\pi }+O(\log T).$

Ezt von Mangoldt 1895-ben gyengébb hibataggal, majd 1905-ben ezzel a hibataggal bizonyította. 1899-ben de la Vallée Poussin igazolta, hogy nincs zérushely a

$\sigma >1-\frac{c}{\log t}$

tartományban. Ezt Littlewood 1922-ben a

$\sigma >1-\frac{c\log \log t}{\log t}$

tartományra, majd 1958-ban Korobov és Vinogradov a

$\sigma >1-\frac{c(\epsilon )}{(\log t{)}^{2/3+\epsilon }}$

tartományra javította ($\epsilon >0$, tetszőleges).

Kapcsolódó szócikkek

• Artin L-függvény
• Dirichlet-féle L-függvény