Artin L-függvény

Artin L-függvény

Az Artin L-függvény az algebrai számelmélet egyik központi objektuma, ami számtestek egy Galois-bővítésének aritmetikai tulajdonságainak összességét kódolja egy analitikus objektumban (azaz egy függvényben). A számelmélet számos fontos kérdése megfogalmazható az Artin L-függvények viselkedése, speciálisan az egyes helyeken felvett értékein keresztül. Az Artin L-függvény általánosítja a Riemann ζ-függvény, a Dedekind ζ-függvény illetve a Dirichlet L-függvény fogalmát.

Komplex Artin L-függvények

Legyen $L/K$ számtestek egy Galois-bővítése, és jelölje ${{𝒪}}_L$ illetve ${{𝒪}}_K$ az egészek gyűrűit bennük. Legyen $\mathfrak{𝔭}\subset {{𝒪}}_K$ egy prímideál, és legyen $\mathfrak{𝔓}\subset {{𝒪}}_L$ egy $\mathfrak{𝔭}$ fölötti prím; ekkor az ${{𝒪}}_L/\mathfrak{𝔓}$ maradéktest egy véges test, az ${{𝒪}}_K/\mathfrak{𝔭}$ véges test egy Galois-bővítése. A bővítés Galois-csoportja ciklikus, és egy generátora a Frobenius-leképezés, ami az ${{𝒪}}_L/\mathfrak{𝔓}$ egy elemét $\mathrm{N}(\mathfrak{𝔓})=\mathrm{\#}({{𝒪}}_L/\mathfrak{𝔓})$-edik hatványra emeli (ezt a kitevőt a $\mathfrak{𝔓}$ abszolút normájának nevezik). Jelölje $G_{\mathfrak{𝔓}}$ illetve $I_{\mathfrak{𝔓}}$ a $\mathfrak{𝔓}$-hez rendelt felbontási részcsoportot illetve inerciarészcsoportot. A $G_{\mathfrak{𝔓}}/I_{\mathfrak{𝔓}}$ faktorcsoportról a maradéktestek Galois-csoportjára képző természetes leképezés egy csoportizomorfizmus, így a faktorcsoport is ciklikus, és egy generátora a jobb oldali Frobenius-leképezés ősképe, jelölje ezt ${\mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}}_{\mathfrak{𝔓}}$:

$\begin{array}{rl}{G}_{\mathfrak{𝔓}}/I_{\mathfrak{𝔓}}& \stackrel{\sim }{\to }\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}({{𝒪}}_L/\mathfrak{𝔓}/{{𝒪}}_K/\mathfrak{𝔭})\\ {\mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}}_{\mathfrak{𝔓}}& \mapsto (x\mapsto x^{\mathrm{N}(\mathfrak{𝔓})})\end{array}$

Legyen $\rho :\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(L/K)\to \mathrm{G}\mathrm{L}(V)$ a Galois-csoport egy reprezentációja. Jelölje $V^{I_{\mathfrak{𝔓}}}$ az inerciarészcsoport alatt invariáns vektorok alterét. A $G_{\mathfrak{𝔓}}/I_{\mathfrak{𝔓}}$ faktorcsoport hat a $V^{I_{\mathfrak{𝔓}}}$ téren, így a

$\det (1-{\mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}}_{\mathfrak{𝔓}}X|V^{I_{\mathrm{P}}})$

karakterisztikus polinom jóldefiniált. Továbbá megmutatható, hogy ez csak a $\mathfrak{𝔭}$ prímideáltól függ, és nem műlik a $\mathfrak{𝔓}$ prím megválasztásán. Az $L/K$ bővítéshez és a $\rho$ reprezentációhoz tartozó Artin L-függvényt a következő képlet definiálja:

$L(L/K,\rho ,s)=\prod _{\mathfrak{𝔭}}\det {(1-{\mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}}_{\mathfrak{𝔓}}\mathrm{N}(\mathfrak{𝔓}{)}^{-s}|V^{I_{\mathfrak{𝔓}}})}^{-1}$,

ahol $\mathfrak{𝔭}$ végigfut a K prímideáljain, és s egy komplex szám $\mathrm{\Re }(s)>1$ valós résszel. A $L(L/K,\rho ,s)$ jelölésben a külső L a függvényt jelöli, a belső L a számtestet; a különbséget bizonyos források tipográfiai stilizálással hangsúlyozzák. Az egyes prímekhez tartozó tényezőkre gyakran Euler-faktor néven hivatkoznak, a Riemann illetve Dedekind-féle zéta-függvények Euler-szorzatalakjával való hasonlóság miatt. A $L(L/K,\rho ,s)$ függvény abszolút és egyenletesen konvergens a $\mathrm{\Re }(s)>1+\delta$ félsíkon bármely $\delta >0$-ra, és meromorf kiterjeszthető az egész komplex számsíkra. Mivel a komplex reprezentációkat meghatározza a karakterük, a függvényt gyakran $L(L/K,\chi ,s)$ jelöli, ahol $\chi =\mathrm{T}\mathrm{r}(\rho )$ a $\rho$ reprezentáció karaktere. A komplex Artin L-függvény funktoriális a testbővítésre illetve a karakterre nézve. A triviális karakter esetében az Artin L-függvény megegyezik a K test Dedekind zéta-függvényével, és a fenti definícióban szereplő szorzat megegyezik a zétafüggvény Euler-szorzatalakjával. Bár a Dedekind zéta-függvény nem az Euler-szorzatalak mellett egy sor összegeként is definiálható, ez utóbbi tulajdonság nem terjed ki az Artin L-függvényekre. Az osztálytestelméleten keresztül leírható az Artin L-függvények és a Hecke L-függvények közötti kapcsolat, ezen keresztül pedig az utóbbiak analitikus tulajdonságai átvihetők az Artin L-függvényekre.

p-adikus Artin L-függvények

Legyen p egy rögzített prímszám. A komplex Artin L-függvények p-adikus módszerekkel is tanulmányozhatók. A komplexből a p-adikus világba való átmenetet p-adikus interpolációnak nevezik. A p-adikus interpoláció alapgondolata az, hogy a fenti komplex Artin L-függvényből egy kis módosítással egy olyan függvény nyerhető, ami a p-adikusan „jól” viselkedik. Konkrétan a p prím feletti Euler-faktorok azok, amik p-adikusan „rosszul” viselkednek, ezért ezeket kell eltávolítani az Euler-szorzatból. A p-adikus interpoláció elméletét Kubota és Leopoldt (1964) dolgozták ki a Riemann-féle zétafüggvényre. Az Artin L-függvényekre vonatkozó általánosítást Pierrette Cassou-Noguès (1979) illetve Deligne és Ribet (1980) adták meg teljesen valós számtestek bővítéseinek egydimenziós karakterei esetében. A magasabb dimenziós karakterekre vonatkozó általánosítás Greenberg (1983) munkája. Az így kapott p-adikus Artin L-függvény $L_p(\chi ,-)$ egy ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_p\to {\mathbb{ℂ}}_p$ függvény, ha $\chi \ne \mathbf{1}$ nem a triviális karakter, és egy ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_p-\{1\}\to {\mathbb{ℂ}}_p$ függvény, ha $\chi =\mathbf{1}$ a triviális karakter. Itt ${\mathbb{ℂ}}_p$ a komplex p-adikus számok testét jelöli. Ha ${\mathbb{ℂ}}_p\stackrel{\sim }{\to }\mathbb{ℂ}$ egy (nem kanonikus) testizomorfizmus, akkor a komplex Artin L-függvényekkel való kapcsolat a következő:

$L_p(\chi ,1-n)=L(L/K,\chi {\omega }^{-n},1-n)\mathrm{\forall }n\ge 1$,

ahol $\omega$ a p-adikus körosztási karakter véges része (a Teichmüller-karakter), és az egyenlőség az imént fixált testizomorfizmuson keresztül értendő. A fenti p-adikus L-függvények központi szereppel bírnak a számtestek Iwasawa-elméletében. Az Iwasawa-elmélet alapvető felismerése, hogy véges testbővítések külön-külön való tanulmányozása helyett gyülölcsözőbb megközelítés ilyen bővítések végtelen családjait vizsgálni. Pontosabban olyan Galois-bővítésekről van szó, amiknek a Galois-csoportja a p-adikus egészek ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_p$ additív csoportjával izomorf. Ilyenkor az Iwasawa-elmélet központi sejtése – ami bizonyos esetekben bebizonyított tétel – egy kapcsolatot ír le egyrészt az egyes véges bővítésekhez kapcsolt p-adikus L-függvények, másrészt a testbővítés közbülső testjeihez rendelt osztálycsoportok között. Ennél általánosabb kontextusban is lehet Iwasawa központi sejtésekről beszélni: ezek mindig egy analitikus objektum (itt egy p-adikus L-függvényt) és egy algebrai objektum (itt az osztálycsoportok) közötti kapcsolatot írnak le. A fenti p-adikus L-függvények mind egy-egy karakterhez vannak csatolva. Ritter és Weiss (2004) bevezettek egy úgynevezett ekvivariáns p-adikus Artin L-függvényt, ami egy adott bővítés Galois-csoportjának összes karakterét egyszerre kezeli. Ezekkel az objektumokkal az ekvivariáns Iwasawa-elmélet foglalkozik.

Artin-sejtések

A komplex Artin L-függvények a priori meromorfak a komplex számsíkon, így természetesen merül fel a kérdés, hogy milyen szingularitásokkal bírnak. Ha $\chi =\mathbf{1}$ a triviális karakter, akkor $L(L/K,\mathbf{1},s)={\zeta }_K(s)$ a Dedekind-féle zéta-függvény: ennek egyszeres pólusa van $s=1$-nél, és mindenütt másutt holomorf. Az Artin-sejtés azt mondja ki, hogy ha $\chi \ne \mathbf{1}$ nem a triviális karakter, akkor $L(L/K,\rho ,s)$ egész függvény. Az Artin-sejtés bizonyítva van abban az esetben, amikor az L/K bővítés Galois-csoportja Abel-csoport. Nem Abel-csoportokra a az Artin-sejtés nyitott probléma. Ha $\chi$ egy lineáris karakter, akkor Cassou-Noguès és Deligne–Ribet munkájából következik, hogy a p-adikus Artin L-függvény kifejezhető egy $G_{\chi }(T)/H_{\chi }(T)$ hányadosként. Itt $G_{\chi }(T)\in {{𝒪}}_{{\mathbb{\mathbb{Q}}}_p(\chi )}[[T]]$ egy ${{𝒪}}_{{\mathbb{\mathbb{Q}}}_p(\chi )}$ fölötti formális hatványsor, ahol ${{𝒪}}_{{\mathbb{\mathbb{Q}}}_p(\chi )}$ azon ${\mathbb{\mathbb{Q}}}_p(\chi )$ test egészeinek gyűrűje, ami ${\mathbb{\mathbb{Q}}}_p$-ből $\chi$ értékeinek adjungálásával jön létre. A $H_{\chi }(T)\in {{𝒪}}_{{\mathbb{\mathbb{Q}}}_p(\chi )}[T]$ nevező pedig egy explicit leírható legfeljebb elsőfokú polinom. Greenberg magasabb dimenziós karakterekre való kiterjesztésében ez az eredmény annyiban változik, hogy ilyenkor $G_{\chi }(T)\in \mathrm{Q}\mathrm{u}\mathrm{o}\mathrm{t}({{𝒪}}_{{\mathbb{\mathbb{Q}}}_p(\chi )}[[T]])$ két hatványsor hányadosa: ez a Greenberg által alkalmazott Brauer-féle indukciós módszer velejárója. A Greenberg által megfogalmazott p-adikus Artin-sejtés erről a $G_{\chi }(T)$ hányadosról szól. Greenberg két sejtést tett:

1. $G_{\chi }(T)\in {\mathbb{\mathbb{Z}}}_p[[T]]{\otimes }_{{\mathbb{\mathbb{Z}}}_p}{\mathbb{ℂ}}_p$;
2. $G_{\chi }(T)\in {{𝒪}}_{{\mathbb{\mathbb{Q}}}_p(\chi )}[[T]]$

Greenberg megmutatta, hogy az első sejtés következik az Iwasawa központi sejtésből, amit ebben a kontextusban végül Wiles (1990) bizonyított be: ezzel az első sejtés is bizonyítva lett. A második, erősebb sejtést Ritter–Weiss (2004) igazolta.

Források

• ↑ Pi. Cassou-Noguès 1979: Cassou-Noguès, Pierrette (1979), "Valeurs aux entiers négatifs des fonctions zêta et fonctions zêta p-adiques", Inventiones Mathematicae 51 (1): 29–59, ISSN 0020-9910, DOI 10.1007/BF01389911
• ↑ Deligne–Ribet 1980: Deligne, Pierre & Ribet, Kenneth A. (1980), "Values of abelian L-functions at negative integers over totally real fields", Inventiones Mathematicae 59 (3): 227–286, ISSN 0020-9910, DOI 10.1007/BF01453237
• ↑ Greenberg 1983: Ralph Greenberg (1983. március 1.). „On p-adic Artin L-functions”. Nagoya Mathematical Journal 89, 77–87. o. DOI:10.1017/S0027763000020250. 
• ↑ Koblitz 1984: Koblitz, Neal (1984), p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions, Graduate Texts in Mathematics, vol. 58, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96017-3
• ↑ Neukirch 1992: Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. (németül) Berlin: Springer-Verlag. 1992. ISBN 3-540-54273-6  
• ↑ Ritter–Weiss 2004: Jürgen Ritter, Alfred Weiss (2004. december 1.). „Toward equivariant Iwasawa theory, II”. Indagationes Mathematicae 15 (4), 549–572. o. DOI:10.1016/S0019-3577(04)80018-1. 
• ↑ Wiles 1990: Andrew Wiles (1990). „The Iwasawa Conjecture for Totally Real Fields”. Annals of Mathematics 131 (3), 493–540. o.