Dirichlet-féle L-függvény

A matematikában a Dirichlet-féle L-sor egy

$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\chi (n)}{n^s}.$

alakú függvény, ahol χ egy Dirichlet-karakter, és s komplex szám, aminek valós része nagyobb, mint 1. Analitikus folytatással ez a függvény kiterjeszthető a teljes komplex síkon meromorf függvénnyé. Ez a Dirichlet-féle L-függvény. Jelölése L(s, χ). Ezeket a függvényeket Dirichlet után nevezték el, aki egy 1837-es cikkében vezette be őket, hogy bebizonyítsa a számtani sorozatokban előforduló prímekről szóló tételt, amit szintén róla neveztek el. A bizonyításban belátja, hogy L(s, χ) s = 1-ben nem nulla. Sőt, ha χ principális, akkor s = 1-ben elsőrendű pólusa van.

Gyökök

Ha a χ primitív karakter értéke χ(−1) = 1, akkor L(s,χ)-nek gyökei a páros negatív egészek, és nincs más negatív valós részű gyöke. Ha a χ primitív karakter értéke χ(−1) = −1, akkor L(s,χ)-nek gyökei a páratlan negatív egészek, és nincs más negatív valós részű gyöke. A Riemann-féle zéta-függvényhez hasonlóan nincsenek gyökök a Re(s) = 1 tartományon és azon túl. Például, ha χ a q modulus nem valós karaktere, akkor ha

$\beta <1-\frac{c}{\log (q(2+|\gamma |))}$

akkor β + iγ egy nem valós komplex gyök. Ahogy a Riemann-féle zéta-függvényhez tartozik a Riemann-hipotézis, úgy a Dirichlet-féle L-függvény az általánosított Riemann-hipotézisnek engedelmeskedik.

Euler-szorzat

Mivel a χ egy Dirichlet-karakter, azért χ teljesen multiplikatív, és L-függvénye felírható az abszolút konvergencia félsíkján Euler-szorzatként:

$L(s,\chi )=\prod _p{(1-\chi (p)p^{-s})}^{-1}\text{ for }\text{Re}(s)>1,$

ahol a szorzat befutja az összes prímet.

Függvényegyenlet

Tegyük fel, hogy χ a k modulus primitív karaktere. Definiáljuk a következőket:

$\mathrm{\Lambda }(s,\chi )={\left(\frac{\pi }{k}\right)}^{-(s+a)/2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{s+a}{2}\right)L(s,\chi ),$

ahol Γ a gamma-függvény és az a-t meghatározza az

$a=\{\begin{array}{ll}0;& \text{ha }\chi (-1)=1,\\ 1;& \text{ha }\chi (-1)=-1,\end{array}$

egyenlet. Ekkor teljesül a következő függvényegyenlet:

$\mathrm{\Lambda }(1-s,\bar{\chi })=\frac{i^a{k}^{1/2}}{\tau (\chi )}\mathrm{\Lambda }(s,\chi ).$

Itt τ(χ)a Gauss-összeg

$\sum _{n=1}^k\chi (n)\exp (2\pi in/k).$

Jegyezzük meg, hogy |τ(χ)| = k^1/2.

Kapcsolat a Hurwitz-féle zéta-függvénnyel

A Dirichlet-féle L-függvények felírhatók Hurwitz-féle zéta-függvények lineáris kombinációiként a racionális helyeken. Rögzítve a k ≥ 1 egészet, a modulo k karakterek Dirichlet-féle L-függvényei felírhatók ζ(s,q) konstans együtthatós lineáris kombinációjaként, ahol q = m/k és m = 1, 2, ..., k. Eszerint racionális helyekre a Hurwitz-féle zéta-függvény analitikus tulajdonságai kapcsolatban állnak a Dirichlet-féle L-függvényekkel. Speciálisan, legyen χ egy modulo k karakter. Ekkor Dirichlet-féle L-függvénye:

$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\chi (n)}{n^s}=\frac{1}{k^s}\sum _{m=1}^k\chi (m)\zeta (s,\frac{m}{k}).$

Továbbá egy triviális karakter Dirichlet-féle L-függvénye a (ekkor a k modulus prím) a Riemann-féle zéta-függvény:

$\zeta (s)=\frac{1}{k^s}\sum _{m=1}^k\zeta (s,\frac{m}{k}).$

Források

• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3
• DLMF: §25.15 Dirichlet 𝐿-functions ‣ Related Functions ‣ Chapter 25 Zeta and Related Functions. dlmf.nist.gov. (Hozzáférés: 2024. július 7.)
• H. Davenport. Multiplicative Number Theory. Springer (2000). ISBN 0-387-95097-4 
• Dirichlet, P. G. L. (1837). „Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält”. Abhand. Ak. Wiss. Berlin 48. 
• Dirichlet L-function - Encyclopedia of Mathematics. encyclopediaofmath.org. (Hozzáférés: 2024. július 7.)

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Dirichlet L-function című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Kapcsolódó szócikkek

• Artin L-függvény