Von Mangoldt-függvény

A matematikában a von Mangoldt-függvény egy Hans von Mangoldtról elnevezett számelméleti függvény. Példa arra, hogy egy fontos számelméleti függvény nem szükségképpen multiplikatív vagy additív.

Definíció

A Λ(n)-nel jelölt von Mangoldt-függvény definíciója:

$\mathrm{\Lambda }(n)=\{\begin{array}{ll}\log p& \text{ha }n=p^k\text{ egy }p\text{ prímre és egy }k\ge 1\text{ egészre },\\ 0& \text{egyébként.}\end{array}$

Λ(n) értékei az első kilenc pozitív egészre

$0,\log 2,\log 3,\log 2,\log 5,0,\log 7,\log 2,\log 3,$

ami az (A014963 sorozat az OEIS-ben) sorozathoz kapcsolódik. Összegfüggvénye a ψ(x) Csebisev-függvény, aminek definíciója:

$\psi (x)=\sum _{n\le x}\mathrm{\Lambda }(n).$

A ψ(x) függvényre von Mangoldt explicit képletet is meghatározott, amiben a Riemann-féle zéta-függvény nem triviális gyökeinek összege is szerepel. EZ a prímszámtétel első bizonyításának fontos része volt.

Tulajdonságok

A von Mangoldt-függvény megfelel a következő azonosságnak:

$\log (n)=\sum _{d\mid n}\mathrm{\Lambda }(d).$

Az összeg befutja azokat a pozitív egész d-ket, amelyek osztói n-nek. Ez bizonyítható a számelmélet alaptételével, mivel azok az értékek, amelyeket a függvény nem prímhatványokra vesz fel, csak a nulla. Legyen például n = 12 = 2² × 3. Ekkor

$\begin{array}{rl}\sum _{d\mid 12}\mathrm{\Lambda }(d)& =\mathrm{\Lambda }(1)+\mathrm{\Lambda }(2)+\mathrm{\Lambda }(3)+\mathrm{\Lambda }(4)+\mathrm{\Lambda }(6)+\mathrm{\Lambda }(12)\\ & =\mathrm{\Lambda }(1)+\mathrm{\Lambda }(2)+\mathrm{\Lambda }(3)+\mathrm{\Lambda }\left(2^2\right)+\mathrm{\Lambda }(2\times 3)+\mathrm{\Lambda }(2^2\times 3)\\ & =0+\log (2)+\log (3)+\log (2)+0+0\\ & =\log (2\times 3\times 2)\\ & =\log (12).\end{array}$

A Möbius-inverzióval kapjuk, hogy

$$\begin{gathered} \mathrm{\Lambda }(n)=-\sum _{d\mid n}\mu (d)\log (d) \\ . \end{gathered}$$

Dirichlet-sor

A von Mangoldt-függvény fontos szerepet játszik a Dirichlet-sorok elméletében, és a Riemann-féle zéta-függvényhez is kapcsolódik. Speciálisan,

$\log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Lambda }(n)}{\log (n)}\frac{1}{n^s},\text{Re}(s)>1.$

A logaritmikus derivált

$\frac{{\zeta }^{\prime }(s)}{\zeta (s)}=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Lambda }(n)}{n^s}.$

Ezek a Dirichlet-sorokkal való kapcsolat speciális esetei. Ha

$F(s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{f(n)}{n^s}$

egy  f (n) teljesen multiplikatív függvény, és a sor konvergál a Re(s) > σ₀ helyekre, akkor

$\frac{F^{\prime }(s)}{F(s)}=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{f(n)\mathrm{\Lambda }(n)}{n^s}$

konvergens minden Re(s) > σ₀-ra.

Csebisev-függvény

A ψ(x) második Csebisev-függvény a von Mangoldt-függvény összegfüggvénye:

$$\begin{gathered} \psi (x)=\sum _{p^k\le x}\log p=\sum _{n\le x}\mathrm{\Lambda }(n) \\ . \end{gathered}$$

A Csebisev-függvény Mellin-transzformációja a Perron-formula felhasználásával:

$\frac{{\zeta }^{\prime }(s)}{\zeta (s)}=-s\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\psi (x)}{x^{s+1}}dx$

ami teljesül, ha Re(s) > 1.

Exponenciális sorok

Hardy és Littlewood vizsgálta ennek a sornak az y → 0⁺ határértékét

$F(y)=\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Lambda }(n)-1)e^{-ny}$

A Riemann-hipotézis teljesülésének esetére belátták, hogy

$F(y)=O\left(\frac{1}{\sqrt{y}}\right).$

Azt is megmutatták, hogy a sor oszcillál, mégpedig egyre erősebben. Sőt, létezik egy K > 0 úgy, hogy végtelen gyakran

$F(y)<-\frac{K}{\sqrt{y}},\text{ és }F(y)>\frac{K}{\sqrt{y}}$

A mellékelt grafikon mutatja, hogy ez az első valahány számra ez nem nyilvánvaló: az oszcilláció egészen az első 100 millió tag összegzéséig nem látható tisztán, és csak akkor látható, ha y < 10⁻⁵.

Riesz-közép

A von Mangoldt-függvény Riesz-közepe

$\begin{array}{rl}\sum _{n\le \lambda }{(1-\frac{n}{\lambda })}^{\delta }\mathrm{\Lambda }(n)& =-\frac{1}{2\pi i}\underset{c-i\mathrm{\infty }}{\overset{c+i\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{\Gamma }(1+\delta )\mathrm{\Gamma }(s)}{\mathrm{\Gamma }(1+\delta +s)}\frac{{\zeta }^{\prime }(s)}{\zeta (s)}{\lambda }^{s}ds\\ & =\frac{\lambda }{1+\delta }+\sum _{\rho }\frac{\mathrm{\Gamma }(1+\delta )\mathrm{\Gamma }(\rho )}{\mathrm{\Gamma }(1+\delta +\rho )}+\sum _n{c}_n{\lambda }^{-n}.\end{array}$

ahol λ és δ a Riesz-közép paraméterei, és c > 1. A ρ fölötti összeg a Riemann-féle zéta-függvény gyökei fölötti összeg, és

$\sum _n{c}_n{\lambda }^{-n}$

konvergens, ha λ > 1.

Approximáció a Riemann-féle zéta-függvény gyökeivel

A Riemann-féle zéta-függvény gyökei fölötti összeg:

$-\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^{\rho (i)}$

ahol ρ(i) az i-edik zéta-gyök, a csúcsok a prímeknél, ami numerikus számításokkal is bizonyítható. Az összeg nem megy el addig, hogy kiadja a von Mangoldt-függvény értékeit. A von Mangoldt-függvény Fourier-transzformációja által adott spektrumban a csúcsok a Riemann-féle zéta-függvény gyökeinek képzetes részeinél vannak. Ezt néha dualitásnak nevezik.

A von Mangoldt-függvény Fourier-transzformáltja

Források

• * Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3
• Tenebaum, Gérald. Introduction to analytic and probabilistic number theory, Translated by C.B. Thomas, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge: Cambridge University Press (1995). ISBN 0-521-41261-7