MacLaurin-egyenlőtlenség

A matematikában a MacLaurin-egyenlőtlenség, amit Colin Maclaurinről neveztek el, a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenségnek egy finomítása. Legyenek $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ pozitív valós számok, az $S_{k}$ átlag pedig:

S_{k} = \frac{\sum_{1 \leq i_{1} < \dots < i_{k} \leq n} a_{i_{1}} a_{i_{2}} \dots a_{i_{k}}}{(\binom{n}{k})}

, ahol

k = 1, 2, \dots, n

.

Ennek a törtnek a számlálója az $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ változók k-ad rendű elemi szimmetrikus polinomja, azaz az $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ számok közül k-nak az összes szorzatából képezett összeg, ahol az indexek növekvő sorrendben vannak. A tört nevezője a számlálóban levő összeg tagjainak száma, vagyis (n,k) binomiális együtthatója. MacLaurin egyenlőtlensége kijelenti, hogy a következő egyenlőtlenségek lánca igaz:

S_{1} \geq \sqrt{S_{2}} \geq \sqrt[3]{S_{3}} \geq \dots \geq \sqrt[n]{S_{n}}

Az egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha az összes $a_{i}$ egyenlő. n=2-re megkapjuk két szám számtani és mértani középarányosának közismert egyenlőtlenségét. n=4-re:

\frac{a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}}{4} \geq \sqrt{\frac{a_{1} a_{2} + a_{1} a_{3} + a_{1} a_{4} + a_{2} a_{3} + a_{2} a_{4} + a_{3} a_{4}}{6}} \geq \sqrt[3]{\frac{a_{1} a_{2} a_{3} + a_{1} a_{2} a_{4} + a_{1} a_{3} a_{4} + a_{2} a_{3} a_{4}}{4}} \geq \sqrt[4]{a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}} .

MacLaurin egyenlőtlensége Newton egyenlőtlenségeinek felhasználásával bizonyítható.

Kapcsolódó szócikkek

Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap

MacLaurin-egyenlőtlenség

Kapcsolódó szócikkek

Navigációs menü

Lapműveletek

Lapműveletek

Személyes eszközök

Navigáció

Keresés

Eszközök

Társprojektek

Más nyelveken