Ptolemaiosz-tétel

A matematikában, ezen belül az euklideszi geometriában Ptolemaiosz tétele kapcsolatot fejez ki a húrnégyszög oldalai és átlói között. A tétel a híres ókori görög csillagászról és matematikusról, Klaudiosz Ptolemaioszról kapta nevét. Ha a húrnégyszög 4 csúcsa: A, B, C és D (ebben a sorrendben a szokásos körüljárással jelölve), akkor a tétel állítása a következő:

$\overline{AC}\cdot \overline{BD}=\overline{AB}\cdot \overline{CD}+\overline{BC}\cdot \overline{AD}$

ahol a felülvonással jelölt szakaszok a két pont közti távolságokat jelentik. A tételt szöveggel a következőképpen fogalmazhatjuk meg:

Egy húrnégyszögben a szemközti oldalak szorzatainak összege megegyezik az átlók szorzatával.

Továbbá a tétel megfordítása is igaz, vagyis:

Ha egy négyszögben a szemközti oldalak szorzatainak összege megegyezik az átlók szorzatával, akkor a négyszög húrnégyszög.

Példák

Az aranymetszés arányszámának meghatározása a tétellel

• Bármilyen négyzet beírható egy körbe, úgy, hogy a kör középpontja megegyezik a négyzet átlóinak metszéspontjával. Ha a négyzet oldala $a$, akkor átlóinak hossza $\sqrt{2}a$ (a Pitagorasz-tételből) és ezt a relációt kapjuk a Ptolemaiosz-tételből is.
• Téglalap esetén a tétel a Pitagorasz-tételbe megy át. Ha az oldalak a és b, akkor az átlók szorzata c² = a² + b² = aa + bb.
• Sokkal érdekesebb, ha egy a oldalú szabályos ötszög tetszőleges 4 csúcsára alkalmazzuk a Ptolemaiosz-tételt. Ebben az esetben a húrnégyszög átlói az ötszög b átlóival egyeznek meg, a négy oldal közül három pedig az ötszög a oldalával, a negyedik pedig az ötszög egyik b hosszúságú átlójával egyezik meg. Így Ptolemaiosz tétele segítségével a b² = a² + ab egyenlőséget olvashatjuk le, ami az aranymetszéshez vezet.

$\phi =\frac{b}{a}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.$

Beírt tízszög oldalai (a c-vel jelölt oldalak)

• Most az AD átmérő felezze a DC oldalt úgy, hogy DE és EC legyen a beírt szabályos tízszög két c hosszú oldala. Ekkor használhatjuk a Ptolemaiosz-tételt az ADEC húrnégyszögre, melynek egyik átlója a d átmérő.

$ad=2bc$

$\Rightarrow ad=2\phi ac$, ahol $\phi$ az aranymetszés aránya

$\Rightarrow c=\frac{d}{2\phi }$

ahol a beírt tízszög oldalait felírhatjuk az átmérővel kifejezve. A Pitagorasz-tétel szerint az AED háromszög b oldalát megkaphatjuk az átmérőből, ezután pedig az ötszög a oldalát a következő képlet adja:

$a=\frac{b}{\phi }=b(\phi -1)$.

Bizonyítások

Elemi geometriai bizonyítás

1. Legyen ABCD egy húrnégyszög.
2. A BC ívhez tartozó két szög ∠BAC = ∠BDC, ugyanígy az AB ívhez tartozó két szög ∠ADB = ∠ACB.
3. Legyen K az AC szakaszon úgy, hogy ∠ABK = ∠CBD.
4. Megjegyezzük, hogy ∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD, ∠CBK = ∠ABD.
5. Mivel a szögeik megegyeznek, ezért △ABK és △DBC hasonló háromszögek, ugyanígy △ABD ∼ △KBC.
6. Ezért AK/AB = CD/BD, és CK/BC = DA/BD;
   1. Tehát AK·BD = AB·CD, és CK·BD = BC·DA;
   2. Összeadva a két egyenletet, (AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA;
   3. De azt tudjuk, hogy AK+CK = AC, vagyis AC·BD = AB·CD + BC·DA; Q.E.D.

Ez a bizonyítás, csak egyszerű húrnégyszögekre igaz, ha a négyszög konkáv, a K pont eshet az AC egyenes szakaszon kívüli részére is. Ekkor AK-CK=±AC adja a helyes eredményt.

Trigonometriai bizonyítás

Elég ha a tételt egy egység sugarú körre bizonyítjuk. Tekintsük a négyszög P₁, …, P₄ csúcsait derékszögű koordináta-rendszerben. Írjuk fel a csúcsok koordinátáit az origóból a csúcsba mutató helyvektorok α₁, … , α₄ irányszögei segítségével:

$P_i=(\cos {\alpha }_i,\sin {\alpha }_i)$, ahol ${\alpha }_i\in [0;2\pi )$ és $i=1,...,4$

A pontokat sorszámozzuk át úgy (ha eredetileg nem úgy lettek volna számozva), hogy a P₁, …, P₄ pontsorozat az óramutatóval ellentétes körüljárású legyen. Ekkor az irányszögek az index növelésével nőnek:

${\alpha }_1<{\alpha }_2<{\alpha }_3<{\alpha }_4$.

Fejezzük ki két pont távolságát szögekkel (ez lényegében a húr hosszára vonatkozó ismert képlet). Ha

$P=(\cos \alpha ,\sin \alpha )$ és $Q=(\cos \beta ,\sin \beta )$

két pont, akkor ezek távolsága:

$\overline{PQ}=2\sin \left(\frac{|\alpha -\beta |}{2}\right)$

Innen a négyszög egymást követő P₁P₂, … P_iP_j,… , P₄P₁ szakaszainak hossza:

$\overline{P_i{P}_j}=2\sin (\frac{{\alpha }_j}{2}-\frac{{\alpha }_i}{2}).$

A Ptolemaiosz-tétel

$\overline{P_1{P}_3}\cdot \overline{P_2{P}_4}=\overline{P_1{P}_2}\cdot \overline{P_3{P}_4}+\overline{P_1{P}_4}\cdot \overline{P_2{P}_3}$

aztán a négyzetes relációkból következnek

$\sin ({\theta }_3-{\theta }_1)\sin ({\theta }_4-{\theta }_2)=\sin ({\theta }_2-{\theta }_1)\sin ({\theta }_4-{\theta }_3)+\sin ({\theta }_4-{\theta }_1)\sin ({\theta }_3-{\theta }_2)$

Eleget téve a szinuszfüggvény tulajdonságainak, és használva a trigonometrikus azonosságokat

$\sin \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}(\cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta ))$

azonosságot kapjuk. Összefoglalva: Bevezetve az eltérés szögeket: ${\delta }_i={\theta }_{i+1}-{\theta }_i$ ahol $i=1,\dots ,3$ akkor a relációból

$\sin ({\theta }_4-{\theta }_2)=\sin ({\theta }_2-{\theta }_1)\sin ({\theta }_4-{\theta }_3)+\sin ({\theta }_4-{\theta }_1)\sin ({\theta }_3-{\theta }_2)$

a következő egyenletet kapjuk

$\sin ({\delta }_1+{\delta }_2)\sin ({\delta }_2+{\delta }_3)=\sin ({\delta }_1)\sin ({\delta }_3)+\sin ({\delta }_1+{\delta }_2+{\delta }_3)\sin ({\delta }_2).$

vagyis:

$\sin ({\delta }_1+{\delta }_2+{\delta }_3)=\frac{\sin ({\delta }_1+{\delta }_2)\sin ({\delta }_2+{\delta }_3)-\sin ({\delta }_1)\sin ({\delta }_3)}{\sin {\delta }_2}.$

Algebrai bizonyítás

Ez egy alternatív bizonyítás, mely a komplex számokat és az analitikus geometriát használja. A négyszög pontjainak adjunk komplex koordinátákat. A tételt ismét egység sugarú körre szeretnénk bebizonyítani, éspedig a komplex egységkörre:

$S^1=\{z\in \mathbb{ℂ},z\bar{z}=1\}$

A Ptolemaiosz-tétel állítása:

$\overline{P_1{P}_3}\cdot \overline{P_2{P}_4}=\overline{P_1{P}_2}\cdot \overline{P_3{P}_4}+\overline{P_1{P}_4}\cdot \overline{P_2{P}_3}$

átalakítva:

$$\begin{gathered} \frac{\overline{P_1{P}_3}\cdot \overline{P_2{P}_4}}{\overline{P_1{P}_4}\cdot \overline{P_2{P}_3}}=1+\frac{\overline{P_1{P}_2}\cdot \overline{P_3{P}_4}}{\overline{P_1{P}_4}\cdot \overline{P_2{P}_3}} \\ . \end{gathered}$$

Ez a kijelentés „álruhás” alakja következő egyszerűbbnek:

$\text{cr}(z_1,z_2,z_3,z_4)=1-\text{cr}(z_1,z_3,z_2,z_4)$

ahol cr a köri kettősviszonyt jelöli:

$\text{cr}(z_1,z_2,z_3,z_4)=\frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_1-z_4)(z_2-z_3)}$

bármely négy páronként különböző z₁, …, z₄ komplex számra. Hogy explicitté tegyük ezt a kapcsolatot, alakítsuk át a négy szakaszt négy komplex szám (a z₁, …, z₄) normájává. A pontok sorszáma növekedjen az óramutató járásával ellentétes irányban az egységkörön. Két komplex szám $x,y$ négyzetes távolsága az egységkörön egyenlő

$$\begin{gathered} |x-y{|}^2=(x-y)\cdot (\bar{x}-\bar{y})=(x-y)\cdot (\frac{1}{x}-\frac{1}{y})=-\frac{(x-y{)}^2}{xy} \\ . \end{gathered}$$

Ennek következtében bármely páronként különböző elemeket tartalmazó (z₁, …, z₄) komplex számnégyesre az egységkörön, a köri kettősviszony hosszának négyzete:

$\frac{|z_1-z_3|\cdot |z_2-z_4|}{|z_1-z_4|\cdot |z_2-z_3|}$

Egy átlagos (komplex szám) köri kettősviszonynak

$\frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_1-z_4)(z_2-z_3)}$.

Négyzetgyököt vonva az első egyenletből

$\frac{|z_1-z_3|\cdot |z_2-z_4|}{|z_1-z_4|\cdot |z_2-z_3|}=ϵ\frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_1-z_4)(z_2-z_3)}=ϵ\text{cr}(z_1,z_2,z_3,z_4)$

Az együtthatók helyzete függ a négy pont relatív elhelyezkedésétől és a köri kettősviszony állandóit felhasználva leírható komplex transzformációkkal:

$z\mapsto \frac{az+b}{cz+d}$

Ha feltételezzük hogy a négy pont elhelyezkedése az óramutató járásával ellentétes, akkor

$\text{cr}(z_1,z_2,z_3,z_4)>1.$

Ezt a tulajdonságot a

$r:z\mapsto i\frac{(1+z)}{(1-z)}$

projektív transzformációsegítségével bizonyítjuk (mely a Cayley-transzformáció inverze). Ez utóbbi (folytonosan) leképezi a

$S^1\setminus \{z=1\}$

pontozott egység kört a valós tengelyre (a felső (alsó) ívek az egységkörön a negatív (pozitív) féltengelyre kerülnek). Polárkoordinátákkal ez az

$r(e^{i\alpha })=-\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(\alpha /2)$

alakban írható, ami egy monoton függvényt definiál, ahol

$\alpha \in (0;2\pi )$

Ennek következtében a köri kettősviszony leolvasható a pontok képének közös sorrendjéből a valós tengelyen. Miután megszorozzuk a $z_i$-t a norma 1 egy megfelelő skalárjával $z^{\prime }$, továbbá feltételezzük, hogy $z_i$ $\ne$ 1 minden $i$-re. Ha a négy komplex szám az egységkörön, az óramutató járásával ellentétes irányban van, a négy pont képe

$(y_1,\dots ,y_4):=(r(z_1),r(z_2),r(z_3),r(z_4))$ eleget tesz a

$y_1<y_2<y_3<y_4$

relációnak. Az

$\text{cr}(y_1,y_2,y_3,y_4)-1=\frac{(y_1-y_3)(y_2-y_4)}{(y_1-y_4)(y_2-y_3)}-1=\frac{(y_1-y_2)(y_3-y_4)}{(y_1-y_4)(y_2-y_3)}>0$

összefüggés azt mutatja, hogy

$\text{cr}(z_1,z_2,z_3,z_4)=\text{cr}(y_1,y_2,y_3,y_4)>1$

Másik oldalról viszont, ha a középső párt, $(z_2,z_3)$-t megcseréljük a ciklikus sorrend megváltozása miatt a négy pont köri kettősviszonya negatív lesz, ugyanis

$\text{cr}(z_1,z_3,z_2,z_4)=1-\text{cr}(z_1,z_2,z_3,z_4)<0$

és asználva a köri kettősviszony összefüggést

$\frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_1-z_4)(z_2-z_3)}=1-\frac{(z_1-z_2)(z_3-z_4)}{(z_1-z_4)(z_3-z_2)}.$

Összefoglalva. Négy páronként különböző, az egységkörön az óramutató járásával ellentétes körüljárási iránnyal rendelkező elemű (z₁, …, z₄) pontnégyes esetén:

$\frac{|z_1-z_3|\cdot |z_2-z_4|}{|z_1-z_4|\cdot |z_2-z_3|}=+\frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_1-z_4)(z_2-z_3)}$

és

$\frac{|z_1-z_2|\cdot |z_3-z_4|}{|z_1-z_4|\cdot |z_3-z_2|}=-\frac{(z_1-z_2)(z_3-z_4)}{(z_1-z_4)(z_3-z_2)}.$

Ptolemaiosz tételét átalakítva

$\frac{\overline{P_1{P}_3}\cdot \overline{P_2{P}_4}}{\overline{P_1{P}_4}\cdot \overline{P_2{P}_3}}=1+\frac{\overline{P_1{P}_2}\cdot \overline{P_3{P}_4}}{\overline{P_1{P}_4}\cdot \overline{P_2{P}_3}}$

a köri kettősviszony

$\frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_1-z_4)(z_2-z_3)}=1-\frac{(z_1-z_2)(z_3-z_4)}{(z_1-z_4)(z_3-z_2)}$

Források

• MathPages - On Ptolemy's Theorem
• Ptolemy's Table of Chords
• Ptolemy's Theorem a www.cut-the-knot.org-on
• Compound angle proof a www.cut-the-knot.org-on
• Ptolemy's Theorem Archiválva 2011. július 24-i dátummal a Wayback Machine-ben a PlanetMath-en
• Ptolemy Inequality a MathWorldön
• De Revolutionibus Orbium Coelestium at Harvard.
• Deep Secrets: The Great Pyramid, the Golden Ratio and the Royal Cubit
• Jay Warendorff, Ptolemy's Theorem in The Wolfram Demonstrations Project
• Euklidész, Elemek (magyarul)