Riemann–Siegel-féle théta-függvény

A matematikában a Riemann–Siegel-féle théta-függvény definíciója:

$\theta (t)=\arg \left(\mathrm{\Gamma }\left(\frac{2it+1}{4}\right)\right)-\frac{\log \pi }{2}t$

ahol $\mathrm{\Gamma }$ a teljes gamma-függvény, és t valós. A konstansok választása miatt a függvény folytonos, és $\theta (0)=0$, a log gamma főágának definíciójához hasonlóan. Aszimptotikus kifejtése

$\theta (t)\sim \frac{t}{2}\log \frac{t}{2\pi }-\frac{t}{2}-\frac{\pi }{8}+\frac{1}{48t}+\frac{7}{5760t^3}+\cdots$

ami nem konvergens, de az első néhány tag jó közelítést ad $t\gg 1$-re. Taylor-sora a 0 körül $|t|<1/2$ esetben konvergens, és

$\theta (t)=-\frac{t}{2}\log \pi +\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{\psi }^{(2k)}\left(\frac{1}{4}\right)}{(2k+1)!}{\left(\frac{t}{2}\right)}^{2k+1}$

ahol ${\psi }^{(2k)}$ a $2k$ rendű poligamma-függvény. A Riemann–Siegel-féle théta-függvény a Riemann-féle zéta-függvény tanulmányozásában érdekes, mert úgy transzformálja, hogy annak kritikus egyenese a valós tengelyre kerüljön. Lásd: Riemann–Siegel-féle Z-függvény.

Diszkusszió

A Riemann–Siegel-féle théta-függvény páratlan valós analitikus függvény valós t esetén. A nullát háromszor veszi fel, ezek a helyek 0 és $\pm 17,8455995405\dots$ A |t| > 6,29 helyeken növekvő, mivel a $\pm 6,289835988\dots$ helyeken pontosan egy helyi minimuma illetve maximuma van, aminek abszolútértéke $3,530972829\dots$. A t = 0 helyen inflexiós pontja van, és itt ${\theta }^{\prime }(0)=-\frac{\ln \pi +\gamma +\pi /2+3\ln 2}{2}=-2,6860917\dots$ a függvény deriváltjának minimuma.

Komplex kiterjesztés

A log Gamma függvény végtelen kifejtése

$\log \mathrm{\Gamma }\left(z\right)=-\gamma z-\log z+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{z}{n}-\log (1+\frac{z}{n})),$

ahol γ az Euler–Mascheroni konstans. A z változóba helyettesítve $(2it+1)/4$ -t és tagonként képzetes részt véve 'θ(t)

$\theta (t)=-\frac{\gamma +\log \pi }{2}t-\arctan 2t+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{t}{2n}-\arctan \left(\frac{2t}{4n+1}\right)).$

A -1 és 1 képzetes részű sávon az árkusz tangens függvény holomorf, és könnyen belátható, hogy a sor egyenletesen konvergens a -1/2 és 1/2 közötti képzetes részű sáv által tartalmazott kompakt részhalmazokon. Ebből következik, hogy a Z-függvény is holomorf ezen a kritikus sávon. Az

$\arg z=\frac{\log z-\log \overline{z}}{2i}\text{and}\overline{\mathrm{\Gamma }(z)}=\mathrm{\Gamma }(\overline{z})$

azonosságokkal a fenti képlet zárt alakra hozható:

$\theta (t)=\frac{\log \mathrm{\Gamma }\left(\frac{2it+1}{4}\right)-\log \mathrm{\Gamma }\left(\frac{-2it+1}{4}\right)}{2i}-\frac{\log \pi }{2}t=-\frac{i}{2}(\ln \mathrm{\Gamma }(\frac{1}{4}+\frac{it}{2})-\ln \mathrm{\Gamma }(\frac{1}{4}-\frac{it}{2}))-\frac{\ln (\pi )t}{2}$

Ezzel a függvény kiterjeszthető. Mivel a log Gamma nem értelmezhető holomorf a teljes komplex síkon, ez a függvény sem fog mindenhová kiterjedni. A log Gamma főágát alapul véve θ(t) örökli a sík felvágását a képzetes tengely mentén a i/2-nél nagyobb és a -i/2-nél kisebb képzetes részű tisztán képzetes komplex számokra.

A Riemann–Siegel-féle théta-függvény a komplex síkon

$-1<\mathrm{\Re }(t)<1$	$-5<\mathrm{\Re }(t)<5$	$-40<\mathrm{\Re }(t)<40$

Gram-pontok

A Riemann-féle zéta-függvény a kritikus egyenes mentén

$\zeta (\frac{1}{2}+it)=e^{-i\theta (t)}Z(t),$

$Z(t)=e^{i\theta (t)}\zeta (\frac{1}{2}+it).$

Ha $t$ valós, akkor a $Z\left(t\right)$ függvény értékei is valósak. Az ilyen pozitív értékeket Gram-pontoknak nevezik Jørgen Pedersen Gram nyomán, és úgy írhatók le, hogy a $\frac{\theta (t)}{\pi }$ hányados egész. Tehát a Gram-pontok az

$\theta \left(g_n\right)=n\pi .$ $g_n$ megoldásai.

A legkisebb Gram-pontok:

$n$	$g_n$	$\theta (g_n)$
-3	0	0
-2	3,4362182261...	-π
-1	9,6669080561...	-π
0	17,8455995405...	0
1	23,1702827012...	π
2	27,6701822178...	2π
3	31,7179799547...	3π
4	35,4671842971...	4π
5	38,9992099640...	5π
6	42,3635503920...	6π
7	45,5930289815...	7π
8	48,7107766217...	8π
9	51,7338428133...	9π
10	54,6752374468...	10π
11	57,5451651795...	11π
12	60,3518119691...	12π
13	63,1018679824...	13π
14	65,8008876380...	14π
15	68,4535449175...	15π

Az n index választása egy kissé furcsa. Eredetileg úgy határozták meg, hogy az index ott nulla, ahol a megfelelő pont nagyobb, mint a legkisebb pozitív nullhely a kritikus egyenes mentén. Megjegyezzük, hogy ez a $\theta$-függvény oszcillál a kis abszolútértékű valós helyek körül, ezért nem invertálható a [-24,24] szakaszon. Ezért és páratlansága folytán a théta-függvénynek van egy szimmetrikus Gram-pontja a 0 helyen és -3 indexszel. A Gram-pontok hasznosak a nullhelyek kiszámításában. A $g_n$ Gram-pontban

$\zeta (\frac{1}{2}+i{g}_n)=\cos (\theta (g_n))Z(g_n)=(-1{)}^{n}Z(g_n),$

és ha ez két egymást követő Gram-pontban is pozitív, akkor a kettő között van gyök. A Gram-törvény miatt a gyökök valós része pozitív, míg a képzetes rész előjele szabályos szakaszonként változik.

$(-1{)}^{n}Z\left(g_n\right)>0$

A gyökök száma a 0-tól T-ig terjedő szakaszon $N\left(T\right)$, és meghatározható, mint

$N\left(T\right)=\frac{\theta (T)}{\pi }+1+S(T),$

ahol az $S(T)$ hibatag aszimptotikusan úgy nő, mint $\log T$. Ha bebizonyosodna, hogy $g_n$ engedelmeskedik a Gram-törvénynek, akkor a gyökök száma a kritikus sávban egyszerűen

$N\left(g_n\right)=n+1.$

Ma már tudjuk, hogy nagyobb távolságra nem igaz a Gram-törvénynek az a kitétele, hogy egy Gram-szakaszban pontosan egy gyök található. Az első eltérés a 126. Gram-pont után van, amit a 127. gyök követ. Ezt maga Gram is csak kis indexekre állította. Később Hutchinson Gram-törvényként azt az állítást emlegette, hogy a gyököket Gram-pontok választják el.

Források

• Edwards, H. M. (1974), Riemann's Zeta Function, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-41740-0
• Gabcke, W. (1979), Neue Herleitung und explizierte Restabschätzung der Riemann-Siegel-Formel. Thesis, University of Göttingen. Revised version (eDiss Göttingen 2015)
• Gram, J. P. (1903), "Note sur les zéros de la fonction ζ(s) de Riemann", Acta Mathematica 27 (1): 289–304, DOI 10.1007/BF02421310

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Riemann–Siegel theta function című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.