Riemann–Siegel-féle Z-függvény

A matematikában a Riemann–Siegel-féle Z-függvény egy, a Riemann-féle zéta-függvény tanulmányozásához használt függvény. Nevezik egyszerűen Z-függvénynek, vagy Riemann–Siegel-féle zéta-függvénynek, Hardy-függvénynek, Hardy-féle Z-függvénynek vagy Hardy-féle zéta-függvénynek is. Definíciója a Riemann–Siegel-féle théta-függvény és a Riemann-féle zéta-függvény alapján

$Z(t)=e^{i\theta (t)}\zeta (\frac{1}{2}+it).$

Az egyenletből kikövetkeztethető, hogy valós t változókhoz valós értékeket rendel. Páros, és valós értékekre valós analitikus. Mivel a Riemann-féle théta-függvény és a Riemann–Siegel-féle théta-függvény holomorf a kritikus sávban, ezért a Riemann–Siegel-féle Z-függvény is holomorf ugyanitt. Valós nullhelyei megfelelnek a Riemann-féle zéta-függvény kritikus sávbeli nullhelyeinek, továbbá a Z-függvény kritikus sávjában levő nullhelyek is megfelelnek ezeknek a gyököknek.

Z-függvény a komplex síkon

$-5<\mathrm{\Re }(t)<5$	$-40<\mathrm{\Re }(t)<40$

A Riemann–Siegel-képlet

Valós t értékekre a Z(t) értékekre, így a zéta-függvény kritikus egyenesén felvett értékekre alkalmazható a Riemann–Siegel-képlet. Eszerint

$Z(t)=2\sum _{n^2<t/2\pi }{n}^{-1/2}\cos (\theta (t)-t\log n)+R(t),$

ahol az R(t) hiba komplex aszimptotikus kifejezhető a

$\mathrm{\Psi }(z)=\frac{\cos 2\pi (z^2-z-1/16)}{\cos 2\pi z}$

függvénnyel, és deriváltjaival. Ha $u=(\frac{t}{2\pi }{)}^{1/4}$,$N=\lfloor u^2\rfloor$ és $p=u^2-N$, akkor

$R(t)\sim (-1{)}^{N-1}(\mathrm{\Psi }(p)u^{-1}-\frac{1}{96{\pi }^2}{\mathrm{\Psi }}^{(3)}(p)u^{-3}+\cdots )$

ahol a három pont azt jelzi, hogy folytathatnánk magasabb fokú és rendű tagokkal. Ismertek más gyorsan konvergáló sorozatok is. Ha

$Q(a,z)=\frac{\mathrm{\Gamma }(a,z)}{\mathrm{\Gamma }(a)}=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(a)}\underset{z}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{u}^{a-1}{e}^{-u}du$

akkor

$Z(t)=2\mathrm{\Re }\left(e^{i\theta (t)}(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}Q(\frac{s}{2},\pi i{n}^2)-\frac{{\pi }^{s/2}{e}^{\pi is/4}}{s\mathrm{\Gamma }\left(\frac{s}{2}\right)})\right)$

egy különösen szép példa.

A Z-függvény viselkedése

A kritikus egyenes tételéből következik, hogy a Z-függvény valós nullhelyeinek sűrűsége

$\frac{c}{2\pi }\log \frac{t}{2\pi }$

egy c > 2/5 konstanssal. Így az adott hosszúságú szakaszokon található nullhelyek száma lassan nő. Ha a Riemann-hipotézis igaz, akkor a kritikus csíkban minden nullhely valós, és a konstans egészen pontosan 1. Ekkor minden nullhely egyszeres.

Omegatétel

A nullhelyek miatt a Z-függvény oszcillál. Átlagának és maximumának értéke is lassan nő. Az omegatétel szerint

$Z(t)=\mathrm{\Omega }(\exp \left(\frac{3}{4}\sqrt{\frac{\log t}{\log \log t}}\right)),$

ahol a jelölés azt jelenti, hogy $Z(t)$ osztva a függvénnyel Ω-ban t növelésével nem tart nullához.

Átlagos növekedés

A kvadratikus közép növekedése:

$\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}Z(t{)}^{2}dt\sim \log T$

avagy

$\frac{1}{T}\underset{T}{\overset{2T}{\int }}Z(t{)}^{2}dt\sim \log T$

eszerint a Z-függvény RMS-ének növekedése olyan, mint $\sqrt{\log t}$. Ez tovább javítható:

$\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}Z(t{)}^{2}dt=\log T+(2\gamma -2\log (2\pi )-1)+O(T^{-15/22})$

A kitevő növelésével olyan átlagokat kapunk, amelyek jobban függnek a lokális maximumoktól. A negyedik hatványközépre:

$\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}Z(t{)}^{4}dt\sim \frac{1}{2{\pi }^2}(\log T{)}^4$

azaz a negyedik hatványközép úgy növekszik, mint $\frac{1}{2^{1/4}\sqrt{\pi }}\log t$.

Lindelöf-hipotézis

Magasabb rendű páros kitevős hatványokat is vizsgáltak, de még keveset tudnak a megfelelő átlagról. Azt sejtik, hogy

$\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}Z(t{)}^{2k}dt=o(T^{ϵ})$

minden pozitív ε esetén, ami a Riemann-hipotézisből is következik. Itt a kis "o" azt jelöli, hogy a bal oldal osztva a jobb oldallal nullához tart. Ez a Lindelöf-hipotézis, amit többnyire egy fontos ekvivalens alakban adnak meg, úgymint

$Z(t)=o(t^{ϵ});$

Mindkét alakjában korlátozza a csúcsértékek növekedését. A legjobb ismert korlát még mindig viszonylag gyenge, minden $ϵ>\frac{89}{570}\approx 0,156$ alkalmas. Megdöbbentő lenne, ha az bizonyosodna be, hogy tényleg körülbelül ilyen gyorsan nő. Littlewood bizonyította, hogy ha a Riemann-hipotézis igaz, akkor ennél sokkal hihetőbb becslést kapunk:

$Z(t)=o(\exp \left(\frac{10\log t}{\log \log t}\right)),$

Források

• Edwards, H.M.. Riemann's zeta function, Pure and Applied Mathematics. New York-London: Academic Press (1974). ISBN 0-12-232750-0 
• Ivić, Aleksandar. The theory of Hardy's Z-function, Cambridge Tracts in Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press (2013). ISBN 978-1-107-02883-8 
• Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Cambridge: Cambridge University Press (2001). ISBN 0-521-79001-8 
• Ramachandra, K.. Lectures on the mean-value and Omega-theorems for the Riemann Zeta-function, Lectures on Mathematics and Physics. Mathematics. Tata Institute of Fundamental Research. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-58437-4 
• Titchmarsh, E. C.. The Theory of the Riemann Zeta-Function, second revised, Oxford University Press [1951] (1986) 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Z function című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.