Gradiens

Két skalármező szürkeárnyalatosan ábrázolva (a sötétebb árnyalat nagyobb függvényértéknek felel meg). A kék nyilak a gradienseket jelzik.

A gradiens a matematikában egy skalármezőkre alkalmazható differenciáloperátor. A gradiens a kétváltozós függvények deriválásának általánosítása többváltozós függvényekre. Ennek vektormező az eredménye, ami azt mutatja meg, hogy hogyan változik a függvény, és megadja a skalármező legnagyobb megváltozását (irányát és nagyságát).

A kék színű felülettel ábrázolt függvényhez tartozó gradiens a piros nyilak mezője

Példaként tekintsünk egy térképet, amely megadja a magasságokat a h(x, y) függvénnyel: h(x, y) a tengerszint feletti magasság értéke az (x, y) pontban. Így egy skalármezőt definiáltunk. Ekkor h ℝ²→ℝ kétváltozós függvény gradiense egy olyan új ℝ²→ℝ² függvény, ami minden (x, y) ponthoz azt a vektort rendeli, ami az adott magasságban legnagyobb meredekség irányába mutat, és hossza a legnagyobb meredekség. A gradiens a szintvonalakra merőleges, normája pedig a skalármezőnek mint függvénynek a gradiens iránya menti deriváltja. A gradienst a divergenciával és a rotációval együtt a vektoranalízis vizsgálja.

Skalármező gradiense

A $\phi \left(\overrightarrow{r}\right)$ skalármező gradiensét a parciális deriváltak vektoraként definiálják. Csak azokban a pontokban értelmezhető, ahol az összes parciális derivált létezik. Jelölése $\mathrm{\nabla }\phi$ vagy $\mathrm{grad}\phi$. Itt $\mathrm{\nabla }$ a nabla operátor szimbóluma, és $\mathrm{grad}$ a gradiens függvényszimbóluma. A háromdimenziós euklideszi térben a $\phi (x,y,z)$ skalármező gradiense derékszögű koordináta-rendszerben

$\mathrm{grad}\phi =\mathrm{\nabla }\phi =\frac{\partial \phi }{\partial x}{\overrightarrow{e}}_x+\frac{\partial \phi }{\partial y}{\overrightarrow{e}}_y+\frac{\partial \phi }{\partial z}{\overrightarrow{e}}_z=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial \phi }{\partial x}\\ \frac{\partial \phi }{\partial y}\\ \frac{\partial \phi }{\partial z}\end{array}\right)$

Hengerkoordinátákban

$V=V\left(r;\phi ;z\right)$

$\mathrm{grad}V=\mathrm{\nabla }V=\frac{\partial V}{\partial r}{\overrightarrow{e}}_r+\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial \phi }{\overrightarrow{e}}_{\phi }+\frac{\partial V}{\partial z}{\overrightarrow{e}}_z$

Gömbi koordinátákban

$V=V\left(r;\vartheta ;\phi \right)$

$\mathrm{grad}V=\mathrm{\nabla }V=\frac{\partial V}{\partial r}{\overrightarrow{e}}_r+\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial \vartheta }{\overrightarrow{e}}_{\vartheta }+\frac{1}{r\sin \vartheta }\frac{\partial V}{\partial \phi }{\overrightarrow{e}}_{\phi }$

Az n-dimenziós euklideszi térben és derékszögű koordináta-rendszerben

$\mathrm{grad}\phi =\mathrm{\nabla }\phi =\frac{\partial \phi }{\partial x_1}{\overrightarrow{e}}_1+\cdots +\frac{\partial \phi }{\partial x_n}{\overrightarrow{e}}_n=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial \phi }{\partial x_1}\\ ⋮\\ \frac{\partial \phi }{\partial x_n}\end{array}\right)$

A gradiens sor- és oszlopvektorként is írható, a további felhasználásnak megfelelően. A képletekben ${\overrightarrow{e}}_i$ az $i$ koordinátának megfelelő irányú egység hosszú vektort jelöli.

Geometriai értelmezése

Egy skalármező gradiense egy pontban megadja a legnagyobb meredekség irányát és a legnagyobb meredekség nagyságát. Egy lokális minimumban, egy lokális maximumban vagy egy nyeregpontban a gradiens nulla, feltéve, hogy ezek a pontok az értelmezési tartomány belsejében vannak. A gradiens segítségével tetszőleges irányú meredekség meghatározható. Ez a meredekség éppen az irány menti derivált.

Iránymenti derivált

Az iránymenti derivált az adott irány által kimetszett függvény deriváltja. Közelebbről

$D_{\overrightarrow{v}}\phi =\frac{\partial \phi }{\partial \overrightarrow{v}}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\phi (\overrightarrow{r}+t\overrightarrow{v})-\phi (\overrightarrow{r})}{t}.$.

Ha $\phi$ differenciálható $\overrightarrow{r}$ egy környezetében, akkor az iránymenti derivált az adott irányú normált vektor és a gradiens skalárszorzata:

$D_{\overrightarrow{v}}\phi =\frac{\partial \phi }{\partial \overrightarrow{v}}=⟨\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\phi ,\overrightarrow{v}⟩$

Vektormező Jacobi-mátrixa

A parciális deriváltak vektora vektorértékű függvényekre is definiálható. Ha $\overrightarrow{F}:{\mathbb{ℝ}}^n\to {\mathbb{ℝ}}^m$ vektor értékű függvény, és koordinátafüggvényei rendre $F_1,\dots ,F_m$, akkor

$\overrightarrow{F}(x_1,\dots ,x_n)=(F_1(x_1,\dots ,x_n),\dots ,F_m(x_1,\dots ,x_n))$.

Ekkor $\overrightarrow{F}$ deriváltja az $F_i$ (sorvektor) gradiensek oszlopvektoraként definiálható. Ennek a mezőnek a vektorgradiense a Jacobi-mátrix:

${{𝒥}}_{\overrightarrow{F}}=\mathrm{grad}\overrightarrow{F}=\mathrm{\nabla }\overrightarrow{F}=\frac{\partial (F_1,\dots ,F_m)}{\partial (x_1,\dots ,x_n)}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial F_1}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial F_1}{\partial x_n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial F_m}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial F_m}{\partial x_n}\end{array}\right)$

$m=n$-re az eredmény egy másodfokú tenzor. Efféle tenzorok írják le például a fizikában a mechanikai feszültséget és az elaszticitást.

Számolási szabályok

Minden $c\in \mathbb{ℝ}$ konstansra és $u,v:{\mathbb{ℝ}}^n\to \mathbb{ℝ}$ skalármezőre

• $\mathrm{grad}c=\overrightarrow{0}$

linearitás

• $\mathrm{grad}(c\cdot u)=c\cdot \mathrm{grad}u$
• $\mathrm{grad}(u+v)=\mathrm{grad}u+\mathrm{grad}v$

szorzási szabály

• $\mathrm{grad}(u\cdot v)=u\cdot \mathrm{grad}v+v\cdot \mathrm{grad}u$

Alkalmazások

Skalármező totális deriváltja

$\mathrm{d}\phi =\frac{\partial \phi }{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial \phi }{\partial y}\mathrm{d}y+\frac{\partial \phi }{\partial z}\mathrm{d}z=\mathrm{grad}\phi \mathrm{d}\overrightarrow{r},\text{ahol}\mathrm{d}\overrightarrow{r}=\left(\begin{array}{c}\mathrm{d}x\\ \mathrm{d}y\\ \mathrm{d}z\end{array}\right).$

A derékszögű koordinátákban vett gradiens a nabla operátorral:

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}=\sum _a{\overrightarrow{e}}_{q_a}\frac{1}{h_a}\frac{\partial }{\partial q_a},\text{ahol}{h}_a=\left|\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial q_a}\right|.$

További példák

Ha egy test részei különböző hőmérsékletűek, akkor a melegebb helyről hő áramlik a hidegebb helyek felé. Ha a testen belül a hővezetés képessége állandó, akkor a hőáramlás a hőmérsékleti gradiens konstansszorosa.

Források

A Wikimédia Commons tartalmaz Gradiens témájú médiaállományokat.

• Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie, Springer Verlag, ISBN 3-540-42018-5
• http://www.sengpielaudio.com/SchallschnelleIstNichtDruckgradient.pdf