Gömbkoordináták

A koordinátageometriában a gömbi koordináták vagy térbeli polárkoordináta-rendszer egy háromdimenziós koordináta-rendszer, amiben a pontok helyét az origótól mért távolságuk és két szög adja meg. Az origó középpontú gömbökön az origótól mért távolság konstans. Így ezeken a felületeken a pontok helyét két szöggel lehet meghatározni. Ezek a gömbi koordináták. A gömbi koordináták kifejezést pontatlanul alkalmazhatják az általános esetre és a speciális esetre is. A gömbi koordináták a síkbeli polárkoordináta-rendszer egyik általánosítása. Egy másik általánosítás a hengerkoordináta-rendszer.

Konvenciók

Definíció

Egy $P$ pont $r,\theta ,\phi$ gömbi koordinátái és a gömbkoordinátákkal együtt használt Descartes-koordináta-rendszer $x,y,z$ tengelyei

Egy gömbi koordináta-rendszert a háromdimenziós euklideszi térben a következők határoznak meg:

• egy $O$ középpont, origó
• egy, az origón áthaladó irányított egyenes (pólustengely). Ez tűzi ki a pólus irányát, és ez rögzíti az egyenlítősíkot is, ami az origóban a pólusegyenesre állított merőleges sík
• egy rögzített irány az egyenlítősíkon

Gyakran egy Descartes-féle koordináta-rendszert is használnak a gömbi koordináta-rendszerrel együtt. Ekkor:

• annak origója a gömbi koordináta-rendszer origója
• annak pólustengelye a z-tengely (így az x és y-tengelyek az egyenlítősíkban vannak
• annak x-tengelye az egyenlítősíkon rögzített irány, így az y-tengely is egyértelműen meghatározott

A matematikában és a fizikában általában a következő koordinátákat használják:

• $r$ a sugár, a pont origótól mért távolsága
• $\theta$ vagy $\vartheta$, polárszög vagy polártávolságszög, a pólusirány és az origóból a ponthoz húzott irányított szakasz szöge. Ez a szög $0$ és $\pi$ közötti (0°-tól 180°-ig terjed), és a gömbfelületen egy kört határoz meg.
• $\phi$ vagy $\varphi$, azimutszög, az egyenlítősíkban rögzített irány és az origó és a pont közötti szakasz merőleges vetületének szöge. Ennek nagysága $-\pi$-től $\pi$-ig (−180°-tól 180°-ig) vagy 0-tól $2\pi$-ig terjed (0°-tól 360°-ig). A hosszúsági szög megfelelője.

Átszámítások

Minden $(r,\theta ,\phi )$ hármashoz hozzá van rendelve egy pont. Koordinátái a fentiek szerint választott Descartes-koordináta-rendszerben:

$\begin{array}{cll}x& =& r\cdot \sin \theta \cdot \cos \phi \\ y& =& r\cdot \sin \theta \cdot \sin \phi \\ z& =& r\cdot \cos \theta \end{array}$

Ezekbe az egyenletekbe bármely $r$, $\theta$ és $\phi$ koordináta behelyettesíthető. Ahhoz, hogy a koordináták egyértelműek legyenek, korlátozni kell értékeiket. Általában: $r$ nemnegatív, $\theta$ értéke $[0,\pi ]$ illetve [0, 180°] eleme, és $\phi$ a $(-\pi ,\pi ]$ illetve (−180°, 180°], vagy a $[0,2\pi )$ illetve [0, 360°) intervallumba esik. Vannak pontok, melyeknek így is többféleképpen koordinátázhatók. A z-tengely pontjai esetén $\phi$ tetszőleges. Az origó számára $\theta$ is tetszőleges. Az egyértelműség kedvéért rögzíthetjük, hogy $\phi =0$, és az origó esetén $\theta =0$. A többi pont esetén a fentiek szerint választott Descartes-koordináta-rendszerben adott $(x,y,z)$ koordinátáikból az $(r,\theta ,\phi )$ gömbkoordináták a következőképpen számíthatók:

$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

$$\begin{gathered} \theta =\arccos \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \\ =\arccos \frac{z}{r} \\ = \\ \mathrm{arcctg}\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{gathered}$$

$\phi =\mathrm{arctg2}(y,x)=\{\begin{array}{ll}\mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)& \text{, ha }x>0,\\ \mathrm{sgn}(y)\frac{\pi }{2}& \text{, ha }x=0,\\ \mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)+\pi & \text{, ha }x<0\wedge y\ge 0,\\ \mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)-\pi & \text{, ha }x<0\wedge y<0.\end{array}$

Ezek az egyenletek felteszik, hogy $\phi$ értéke és $-\pi$ és $\pi$ közötti. Ha $\phi$ értéke 0 és $2\pi$ közötti, akkor az egyenleteket ennek megfelelően kell módosítani. Az analízisben és alkalmazásaiban a szögkoordináták többnyire ívmértékben adják meg.

Alkalmazások

A gömbkoordinátákat gyakran használják forgásszimmetrikus rendszerek vizsgálatára. Példák: térfogatintegrálok gömbön, forgásszimmetrikus erőterek, mint például gömb alakú égitestek gravitációja, egy ponttöltés elektromos tere (lásd még: felszíni integrál). A képleteket egyszerűsíti, ha függetlenek egy vagy két gömbi koordinátától. Fontos parciális differenciálegyenletek, mint például a Laplace-egyenlet vagy a Helmholtz-egyenlet gömbi koordinátákban a változók szétválasztásával könnyen megoldhatók.

Alternatív jelölések

A fenti konvenció nemzetközileg használatos az elméleti fizikában. Néha a $\theta$ és $\phi$ jelöléseket fordítva használják, különösen az amerikai szakirodalomban. A $\theta$ nem ugyanaz, mint a földrajzi szélesség; inkább ko-szélességként definiálható. A földrajzi szélességet az egyenlítősík és az adott pont helyvektora által bezárt szög, értéke $-90^{\circ }$ és $90^{\circ }$ közötti. Ha ezt $\varphi$ jelöli, akkor $\varphi =90^{\circ }-\theta ,\theta =90^{\circ }-\varphi$. Ezzel szemben $\phi$ minden további nélkül megfelel a $\lambda$ földrajzi hosszúságnak. A fenti konvenció inkonzisztens a síkbeli polárkoordináta-rendszer felépítésével. Egyes problémákhoz praktikusabb az

$x=r\cos \varphi \cos \phi$

$y=r\cos \varphi \sin \phi$

$z=r\sin \varphi$

ábrázolás. Ebben az ábrázolásban $\varphi$ a földrajzi szélesség. Egy $\overrightarrow{p}$ pont, illetve helyvektor visszatranszformációja:

$\varphi =\arcsin (z/r)$

$\phi =\mathrm{atg2}(y,x)$,

ahol $r=|\overrightarrow{p}|$.

Differenciálok transzformációja

Jacobi-mátrix

Egy koordináta-transzformáció helyi tulajdonságait Jacobi-mátrixszal írják le. A gömbkoordináták transzformációját a fenti Descartes-féle koordináta-rendszerbe a következő mátrix írja le:

$J=\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\phi )}=\left(\begin{array}{ccc}\sin \theta \cos \phi & r\cos \theta \cos \phi & -r\sin \theta \sin \phi \\ \sin \theta \sin \phi & r\cos \theta \sin \phi & r\sin \theta \cos \phi \\ \cos \theta & -r\sin \theta & 0\end{array}\right).$

A hozzá tartozó funkcionáldetermináns:

$\det J=r^2\sin \theta$

A transzformáció inverzét legegyszerűbben a $J$ mátrix invertálásával számolhatjuk ki:

$J^{-1}=\frac{\partial (r,\theta ,\phi )}{\partial (x,y,z)}=\left(\begin{array}{ccc}\sin \theta \cos \phi & \sin \theta \sin \phi & \cos \theta \\ \frac{1}{r}\cos \theta \cos \phi & \frac{1}{r}\cos \theta \sin \phi & -\frac{1}{r}\sin \theta \\ -\frac{1}{r}\frac{\sin \phi }{\sin \theta }& \frac{1}{r}\frac{\cos \phi }{\sin \theta }& 0\end{array}\right).$

A mátrix néhány komponense olyan tört, melynek nevezője nullává válik, ha $r=0$ vagy $\sin \theta =0$, tehát $\theta =0$ vagy $\pi$. Kevésbé szokásos az ábrázolás Descartes-koordinátákkal:

$J^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{x}{r}& \frac{y}{r}& \frac{z}{r}\\ \\ \frac{xz}{r^2\sqrt{x^2+y^2}}& \frac{yz}{r^2\sqrt{x^2+y^2}}& \frac{-(x^2+y^2)}{r^2\sqrt{x^2+y^2}}\\ \\ \frac{-y}{x^2+y^2}& \frac{x}{x^2+y^2}& 0\end{array}\right).$

Differenciál, térfogatelem, felszínelem, vonalelem

A Jacobi-mátrix lehetővé teszi, hogy a differenciálok átszámítását átláthatóan átírjuk lineáris leképezéssé:

$\left(\begin{array}{c}\mathrm{d}x\\ \mathrm{d}y\\ \mathrm{d}z\end{array}\right)=J\cdot \left(\begin{array}{c}\mathrm{d}r\\ \mathrm{d}\theta \\ \mathrm{d}\phi \end{array}\right)$

illetve

$\left(\begin{array}{c}\mathrm{d}r\\ \mathrm{d}\theta \\ \mathrm{d}\phi \end{array}\right)=J^{-1}\cdot \left(\begin{array}{c}\mathrm{d}x\\ \mathrm{d}y\\ \mathrm{d}z\end{array}\right)$.

A $\mathrm{d}V=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$ térfogatelem egyszerűen számítható a

$\det J=r^2\sin \theta$

funkcionáldeterminánssal, azaz:

$\mathrm{d}V=r^2\sin \theta \mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta \mathrm{d}r$.

A $\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}$ differenciállal kapjuk egy $r$ sugarú gömbön a $\mathrm{d}A$ felszínelemet:

$\mathrm{d}A=r^2\sin \theta \mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta$.

A $ds$ vonalelem számítható, mint:

$\mathrm{d}{s}^2=\mathrm{d}{x}^2+\mathrm{d}{y}^2+\mathrm{d}{z}^2=\mathrm{d}{r}^2+r^2\mathrm{d}{\theta }^2+r^2{\sin }^2\theta \mathrm{d}{\phi }^2$

Metrika és forgatómátrix

A $ds$ vonalelem vegyes tagjainak hiánya visszatükrözi, hogy a metrikus tenzornak sincsenek koordinátái a főátlón kívül:

$g=J^{T}J=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& r^2& 0\\ 0& 0& r^2{\sin }^2\theta \end{array}\right)$

A metrikus tenzor nyilván a

$h=\mathrm{diag}(1,r,r\sin \theta )$

diagonális mátrix négyzete. Ennek segítségével a Jacobi-mátrix írható úgy, mint $J=Sh$, ahol $S$ az

$S=\left(\begin{array}{ccc}\sin \theta \cos \phi & \cos \theta \cos \phi & -\sin \phi \\ \sin \theta \sin \phi & \cos \theta \sin \phi & \cos \phi \\ \cos \theta & -\sin \theta & 0\end{array}\right)$

forgatómátrix.

Vektormezők és operátorok transzformációja

Egy pont gömbi koordinátái a helyfüggő ${\mathbf{e}}_r,{\mathbf{e}}_{\theta },{\mathbf{e}}_{\phi }$ ortogonális bázissal

A következőkben vektorok és operátorok transzformációit mutatjuk be. Az eredmények leírásánál előnyben részesítjük a kompakt mátrixos formát. A legtöbb kijelentés és képlet a $z$-tengelyen kívüli pontokra vonatkozik, ahol a Jacobi-determináns nem nulla.

A vektortérbázis transzformációja

A $\phi$ koordinátához tartozó ${\mathbf{e}}_{\phi }$ bázisvektor adja meg egy$P(r,\theta ,\phi )$ pont mozgásirányát, ha a $\phi$ koordinátát a $d\phi$ infinitezimális mennyiséggel elmozdítjuk:

${\mathbf{e}}_{\phi }\sim \frac{\partial \mathrm{P}}{\partial \phi }$.

Ebből

${\mathbf{e}}_{\phi }\sim \frac{\partial \mathrm{P}}{\partial \phi }=\frac{\partial x}{\partial \phi }{\mathbf{e}}_x+\frac{\partial y}{\partial \phi }{\mathbf{e}}_y+\frac{\partial z}{\partial \phi }{\mathbf{e}}_z=-r\sin \theta \sin \phi {\mathbf{e}}_x+r\sin \theta \cos \phi {\mathbf{e}}_y$.

Ahhoz, hogy ortonormált bázist kapjunk, még le kell normálni az $e_{\phi }$ vektort:

${\mathbf{e}}_{\phi }=-\sin \phi {\mathbf{e}}_x+\cos \phi {\mathbf{e}}_y$.

Hasonlóan kapjuk az $e_r$ és $e_{\theta }$ bázisvektorokra:

${\mathbf{e}}_r=\sin \theta \cos \phi {\mathbf{e}}_x+\sin \theta \sin \phi {\mathbf{e}}_y+\cos \theta {\mathbf{e}}_z$

${\mathbf{e}}_{\theta }=\cos \theta \cos \phi {\mathbf{e}}_x+\cos \theta \sin \phi {\mathbf{e}}_y-\sin \theta {\mathbf{e}}_z$

Oszlopvektorba írva:

${\mathbf{e}}_r=\left(\begin{array}{c}\sin \theta \cos \phi \\ \sin \theta \sin \phi \\ \cos \theta \end{array}\right),{\mathbf{e}}_{\theta }=\left(\begin{array}{c}\cos \theta \cos \phi \\ \cos \theta \sin \phi \\ -\sin \theta \end{array}\right),{\mathbf{e}}_{\phi }=\left(\begin{array}{c}-\sin \phi \\ \cos \phi \\ 0\end{array}\right)$

Ezek a bázisvektorok az ${\mathbf{e}}_r,{\mathbf{e}}_{\theta },{\mathbf{e}}_{\phi }$ sorrendben jobbfogású rendszert alkotnak. A fent bevezetett $S$ forgatómátrixszal a transzformációk kompakt módon ábrázolhatók:

$({\mathbf{e}}_r,{\mathbf{e}}_{\theta },{\mathbf{e}}_{\phi })=({\mathbf{e}}_x,{\mathbf{e}}_y,{\mathbf{e}}_z)\cdot S$ .

Mivel $S$ ortogonális, azért az inverz transzformáció mátrixa:

$({\mathbf{e}}_x,{\mathbf{e}}_y,{\mathbf{e}}_z)=({\mathbf{e}}_r,{\mathbf{e}}_{\theta },{\mathbf{e}}_{\phi })\cdot S^T$.

Az egyes koordinátákhoz tartozó irányokat nevezik radiális, meridionális és azimutális irányoknak. Ezek a fogalmak nemcsak a csillagászatban és a földtudományokban, hanem a fizikában, a matematikában és mérnöki tudományokban is fontosak. Például a Hertz-dipólus esetén, ha az antenna kifeszítésének iránya a $z$-tengely, akkor a sugárzás radiális irányú, míg az elektromos erőtér meridionális, a mágneses erőtér azimutális irányban rezeg.

Vektormező transzformációja

Egy vektornak, mint geometriai entitásnak, függetlennek kell lennie a koordináta-rendszertől:

$A_x{\mathbf{e}}_x+A_y{\mathbf{e}}_y+A_z{\mathbf{e}}_z=\mathbf{A}=A_r{\mathbf{e}}_r+A_{\theta }{\mathbf{e}}_{\theta }+A_{\phi }{\mathbf{e}}_{\phi }.$

Ez úgy teljesül, hogy:

$\left(\begin{array}{c}{A}_x\\ A_y\\ A_z\end{array}\right)=S\cdot \left(\begin{array}{c}{A}_r\\ A_{\theta }\\ A_{\phi }\end{array}\right)$   illetve   $\left(\begin{array}{c}{A}_r\\ A_{\theta }\\ A_{\phi }\end{array}\right)=S^T\cdot \left(\begin{array}{c}{A}_x\\ A_y\\ A_z\end{array}\right)$.

A parciális deriváltak transzformációja

A parciális deriváltak szintén transzformálódnak, de normálás nélkül. A fentiekhez hasonlóan számolhatunk, de most kihagyjuk a $P$ pontot a számlálóból, és a $J=Sh$ Jacobi-mátrixot alkalmazzuk az $S$ forgatómátrix helyett:

$(\frac{\partial }{\partial r},\frac{\partial }{\partial \theta },\frac{\partial }{\partial \phi })=(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z})\cdot J$,

és az inverz transzformáció:

$(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z})=(\frac{\partial }{\partial r},\frac{\partial }{\partial \theta },\frac{\partial }{\partial \phi })\cdot J^{-1}$.

A nabla-operátor transzformációja

A $\mathrm{\nabla }$ nabla-operátor alakja egyszerű aDescartes-koordináta-rendszerben:

$\mathrm{\nabla }={\mathbf{e}}_x\frac{\partial }{\partial x}+{\mathbf{e}}_y\frac{\partial }{\partial y}+{\mathbf{e}}_z\frac{\partial }{\partial z}$.

A fent levezetett módon transzformálva az egységvektorokat és a parciális deriváltakat:

$\mathrm{\nabla }={\mathbf{e}}_r\frac{\partial }{\partial r}+{\mathbf{e}}_{\theta }\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial \theta }+{\mathbf{e}}_{\phi }\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \phi }$.

Ebben a formában alkalmazható a transzformált nabla-operátor egy gömbkoordinátákkal adott skalármező gradiensének számítására. Egy gömbi koordinátákkal adott A vektormező divergenciájának kiszámításához tekintetbe kell venni, hogy a $\mathrm{\nabla }$ nemcsak az $A_r,A_{\theta },A_{\phi }$ együtthatókra, hanem az A-ban implicit jelenlevő ${\mathbf{e}}_r,{\mathbf{e}}_{\theta },{\mathbf{e}}_{\phi }$ bázisvektorokra is:

$\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{A}=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}(r^2{A}_r)+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta A_{\theta })+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \phi }{A}_{\phi }.$

Ugyanerre a rotáció számításánál is ügyelni kell:

$\mathrm{\nabla }\times \mathbf{A}=\frac{1}{r\sin \theta }(\frac{\partial }{\partial \theta }(A_{\phi }\sin \theta )-\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \phi }){\mathbf{e}}_r+\frac{1}{r}(\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial A_r}{\partial \phi }-\frac{\partial }{\partial r}(r{A}_{\phi })){\mathbf{e}}_{\theta }+\frac{1}{r}(\frac{\partial }{\partial r}(r{A}_{\theta })-\frac{\partial A_r}{\partial \theta }){\mathbf{e}}_{\phi }$

A Laplace-operátor transzformációja

Ha az A vektormező divergenciaoperátorát behelyettesítjük a $\mathrm{\nabla }$ gradiensoperátorba, akkor a Laplace-operátorhoz jutunk:

$\mathrm{\Delta }={\mathrm{\nabla }}^2=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial }{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta })+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^2}{\partial {\phi }^2}$.

illetve

$\mathrm{\Delta }=\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial }{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^2}{\partial {\theta }^2}+\frac{1}{r^2}\frac{\cos \theta }{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^2}{\partial {\phi }^2}$.

Általánosítás további dimenziókra

A gömbi koordináták egy általánosítása $n$ dimenzióra:

$\begin{array}{rl}{x}_1& =r\cos ({\varphi }_1)\\ x_2& =r\sin ({\varphi }_1)\cos ({\varphi }_2)\\ x_3& =r\sin ({\varphi }_1)\sin ({\varphi }_2)\cos ({\varphi }_3)\\ & ⋮\\ x_{n-1}& =r\sin ({\varphi }_1)\cdots \sin ({\varphi }_{n-2})\cos ({\varphi }_{n-1})\\ x_n& =r\sin ({\varphi }_1)\cdots \sin ({\varphi }_{n-2})\sin ({\varphi }_{n-1})\end{array}$

Belátható, hogy ez az $n=2$ esetben a polárkoordinátákat és $n=3$ esetén a gömbkoordinátákat adja. A szögek számítása:

$\begin{array}{rl}\mathrm{tg}({\varphi }_{n-1})& =\frac{x_n}{x_{n-1}}\\ \mathrm{tg}({\varphi }_{n-2})& =\frac{\sqrt{{x_n}^2+{x_{n-1}}^2}}{x_{n-2}}\\ & ⋮\\ \mathrm{tg}({\varphi }_1)& =\frac{\sqrt{{x_n}^2+{x_{n-1}}^2+\cdots +{x_2}^2}}{x_1}\end{array}$

Átszámozással rekurziós képletet kapunk a szögekre:

$\begin{array}{rl}{x}_n& =r\cos ({\varphi }_{n-1})\\ x_{n-1}& =r\sin ({\varphi }_{n-1})\cos ({\varphi }_{n-2})\\ x_{n-2}& =r\sin ({\varphi }_{n-1})\sin ({\varphi }_{n-2})\cos ({\varphi }_{n-3})\\ & ⋮\\ x_2& =r\sin ({\varphi }_{n-1})\cdots \sin ({\varphi }_2)\cos ({\varphi }_1)\\ x_1& =r\sin ({\varphi }_{n-1})\cdots \sin ({\varphi }_2)\sin ({\varphi }_1)\end{array}$

Ahonnan adódnak a következő szögek:

$\Vert {\overrightarrow{L}}_k\Vert =\mathrm{sgn}(x_k)\sqrt{x_k^2+{\Vert {\overrightarrow{L}}_{k-1}\Vert }^2}=\frac{x_k}{\Vert x_k\Vert }\sqrt{x_k^2+{\Vert {\overrightarrow{L}}_{k-1}\Vert }^2}$

ahol $\Vert {\overrightarrow{L}}_0\Vert =0$ és

$\mathrm{tg}({\varphi }_k)=\frac{\sqrt{x_k^2+{\Vert {\overrightarrow{L}}_{k-1}\Vert }^2}}{x_{k+1}}=\frac{\Vert {\overrightarrow{L}}_k\Vert }{x_{k+1}}$

A sugár:

$r=\Vert {\overrightarrow{L}}_n\Vert$

Az árkusz tangens miatt esetszétválasztás adódik a megfelelő Descartes-koordinátával bezárt szögre, ahol is a képleteket kiterjesztjük az $\arctan (\pm \mathrm{\infty })=\pm \frac{\pi }{2}$ határértékekre is:

$\begin{array}{r}{\varphi }_k=\{\begin{array}{ll}\mathrm{arctg}\left(\frac{\Vert {\overrightarrow{L}}_k\Vert }{x_{k+1}}\right)+\pi ,& \text{(1) ha: }{x}_{k+1}<0\wedge k=n-1\\ \mathrm{arctg}\left(\frac{\Vert {\overrightarrow{L}}_k\Vert }{x_{k+1}}\right),& \text{(2) ha: }\text{nem (1)}\wedge \text{nem (3)}\\ 0,& \text{(3) ha: }{x}_{k+1}=\Vert {\overrightarrow{L}}_k\Vert =0\\ \end{array}\end{array}$

Innen látszik, hogy $\begin{array}{r}{\overrightarrow{L}}_k\end{array}$ mindig kétdimenziós vektor, ha $\begin{array}{r}k>0\end{array}$.

Jacobi-mátrix

A gömbkoordináták Jacobi-mátrixa a fenti számozás szerint:

$J=\left(\begin{array}{cccccc}\cos ({\varphi }_1)& -r\sin ({\varphi }_1)& 0& 0& \cdots & 0\\ \sin ({\varphi }_1)\cos ({\varphi }_2)& r\cos ({\varphi }_1)\cos ({\varphi }_2)& -r\sin ({\varphi }_1)\sin ({\varphi }_2)& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & 0\\ \sin ({\varphi }_1)\cdots \sin ({\varphi }_{n-2})\cos ({\varphi }_{n-1})& r\cos ({\varphi }_1)\cdots \sin ({\varphi }_{n-2})\cos ({\varphi }_{n-1})& \cdots & \cdots & \cdots & -r\sin ({\varphi }_1)\cdots \sin ({\varphi }_{n-2})\sin ({\varphi }_{n-1})\\ \sin ({\varphi }_1)\cdots \sin ({\varphi }_{n-2})\sin ({\varphi }_{n-1})& r\cos ({\varphi }_1)\cdots \sin ({\varphi }_{n-2})\sin ({\varphi }_{n-1})& \cdots & \cdots & \cdots & r\sin ({\varphi }_1)\cdots \sin ({\varphi }_{n-2})\cos ({\varphi }_{n-1})\end{array}\right)$

Determinánsa:

$\det J_{(n)}=r^{n-1}\sin ({\varphi }_1{)}^{n-2}\sin ({\varphi }_2{)}^{n-3}\cdots \sin ({\varphi }_{n-2})=r^{n-1}\cdot \prod _{k=2}^{n-1}{(\sin ({\varphi }_{n-k}))}^{k-1}n\ge 2$

A determináns normája fölötti integrál kifejezhető a $\mathrm{\Gamma }$-függvény segítségével:

$\underset{0}{\overset{R}{\int }}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\dots \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}|\det J_{(n)}|\text{d}{\varphi }_1\dots \text{d}{\varphi }_{n-2}\text{d}{\varphi }_{n-1}\text{d}r=\frac{2\pi R^n}{n}\cdot \prod _{k=2}^{n-1}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}(\sin ({\varphi }_{n-k}){)}^{k-1}\text{d}{\varphi }_{n-k}=\frac{2\pi R^n}{n}\cdot \prod _{k=2}^{n-1}\frac{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }\left(\frac{k}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{k+1}{2}\right)}=\frac{{\sqrt{\pi }}^n{R}^n}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}+1)}n\ge 2$

ami megfelel az $n$-dimenziós hipergömb térfogatának:

$V_n(R)=\frac{{\sqrt{\pi }}^n{R}^n}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}+1)}$

Példák

2D:

$\underset{0}{\overset{R}{\int }}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}r\mathrm{d}{\varphi }_1\mathrm{d}r=\pi R^2$

3D:

$\underset{0}{\overset{R}{\int }}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{r}^2\sin ({\varphi }_2)\text{d}{\varphi }_2\text{d}{\varphi }_1\text{d}r=\frac{4\pi R^3}{3}$

4D:

$\underset{0}{\overset{R}{\int }}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{r}^3{\sin }^2({\varphi }_1)\sin ({\varphi }_2)\text{d}{\varphi }_1\text{d}{\varphi }_2\text{d}{\varphi }_3\text{d}r=\frac{{\pi }^2{R}^4}{2}$

Egy részletes példa

Az $n=3$ esetben a $x,y,z$ tengelyekkel:

$\begin{array}{rl}{x}_3& =z=r\cos ({\varphi }_2)\\ x_2& =x=r\sin ({\varphi }_2)\cos ({\varphi }_1)\\ x_1& =y=r\sin ({\varphi }_2)\sin ({\varphi }_1)\\ \end{array}$

Ekkor a szögek:

$\begin{array}{rl}\mathrm{tg}({\varphi }_2)=\frac{\Vert {\overrightarrow{L}}_2\Vert }{x_3}& =\frac{\sqrt{x_2^2+x_1^2}}{x_3}=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\\ \mathrm{tg}({\varphi }_1)=\frac{\Vert {\overrightarrow{L}}_1\Vert }{x_2}& =\frac{\sqrt{x_1^2}}{x_2}=\frac{y}{x}\end{array}$

Funkcionáldetermináns

A gömbi koordináták transzformációjának Descartes-koordináta-rendszerbe:

$\det \frac{\partial (x_1,\dots ,x_n)}{\partial (r,{\vartheta }_1,\dots ,{\vartheta }_{n-2},\phi )}=r^{n-1}\sin {\vartheta }_1{(\sin {\vartheta }_2)}^2\cdots {(\sin {\vartheta }_{n-2})}^{n-2}$

Ezzel az $n$-dimenziós térfogatelem:

$$\begin{gathered} \begin{array}{ccc}\mathrm{d}V& =& r^{n-1}\sin {\vartheta }_1{(\sin {\vartheta }_2)}^2\cdots {(\sin {\vartheta }_{n-2})}^{n-2}\mathrm{d}r \\ \mathrm{d}\phi \\ \mathrm{d}{\vartheta }_1\cdots \mathrm{d}{\vartheta }_{n-2}\\ & =& r^{n-1} \\ \mathrm{d}r \\ \mathrm{d}\phi \\ \prod _{j=1}^{n-2}(\sin {\vartheta }_j{)}^j \\ \mathrm{d}{\vartheta }_j\end{array}. \end{gathered}$$

Forrás

• Matroids Matheplanet: Einführung in die Vektoranalysis (als PDF) von Eckard Specht

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Kugelkoordinaten című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.