Matematikai közepek

A matematikában négy nevezetes középértéket különböztetünk meg: a harmonikus közép, a mértani közép, a számtani közép és a négyzetes közép. Az ezek közötti összefüggés: $H (a_{1}; . . .; a_{n}) \leq M (a_{1}; . . .; a_{n}) \leq A (a_{1}; . . .; a_{n}) \leq N (a_{1}; . . .; a_{n})$ Természetesen létezik k-adik hatványközép, azaz bárhányadik hatványú közép. A számtani, harmonikus, és négyzetes közép is felfogható hatványközépként, rendre első, mínusz egyedik, és második.

A harmonikus közép

Harmonikus középértéken a számok reciprokaiból számított számtani közép reciprokát értjük. A harmonikus közepet általában $H$ betűvel jelöljük.

H (a_{1}; . . .; a_{n}) = \frac{1}{\frac{\frac{1}{a_{1}} + . . . + \frac{1}{a_{n}}}{n}} = \frac{n}{\frac{1}{a_{1}} + . . . + \frac{1}{a_{n}}}

A mértani közép

Mértani vagy geometriai középértéken $n$ szám szorzatának n-ed fokú gyökét értjük. Általában $G$ -vel vagy $M$ -mel jelöljük.

G (a_{1}; . . .; a_{n}) = \sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \cdot . . . \cdot a_{n}}

A számtani közép

Számtani vagy aritmetikai középértéken $n$ darab szám átlagát, azaz a számok összegének $n$ -ed részét értjük. A számtani közepet általában $A$ betűvel jelöljük:

A (a_{1}; . . .; a_{n}) = \frac{a_{1} + . . . + a_{n}}{n}

A négyzetes közép

Négyzetes középértéken $n$ darab szám négyzetéből számított számtani közép négyzetgyökét értjük. A jele általában: $N$ .

N (a_{1}; . . .; a_{n}) = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2}} = \sqrt{\frac{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2}}{n}}

A közepek közötti összefüggések

H (a_{1}; . . .; a_{n}) \leq G (a_{1}; . . .; a_{n}) \leq A (a_{1}; . . .; a_{n}) \leq N (a_{1}; . . .; a_{n})

ahol

a_{i} \in ℝ_{0}^{+}, n \in ℤ^{+}

A közepek közötti összefüggések vizuálisan (trapéz)

A közepek „mértékei” megmutathatóak egy trapézban, ha a trapéz alapjainak középértékeit szeretnénk megmutatni.

Számtani közép

A trapéz szárainak felezőpontjait összekötő szakasz az alapok számtani közepe hosszúságú.
Az ábrán: $x = \frac{a + c}{2}$

Bizonyítás

Az ábrán $p + q = c - a$ a trapéz tulajdonságai miatt. $F_{1} I$ szakasz középvonal $A D K$ háromszögben, ezért hossza: $\frac{p}{2}$ , ugyanezért $J F_{2} = \frac{q}{2}$ . Tehát $F_{1} F_{2}$ hossza: $x = a + \frac{p}{2} + \frac{q}{2} = a + \frac{c - a}{2} = \frac{a + c}{2}$

Harmonikus közép

A trapéz átlóinak metszéspontján átmenő, az alapokkal párhuzamos szakasz hossza az alapok harmonikus közepe hosszúságú.
Az ábrán: $K L = \frac{1}{\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{c}}{2}} = \frac{2 a c}{a + c}$

Bizonyítás

Az ábrán $A B T$ hasonló $C D T$ -hez, mert megfelelő szögeik egyenlő nagyságúak (A T-nél lévő szög csúcsszög, a másik kettő pedig a párhuzamosság miatt). A megfelelő oldalak aránya tehát: $\frac{a}{c} = \frac{p}{q}$ , akkor $\frac{a + c}{c} = \frac{p + q}{q}$ . Az $A B D$ háromszögben alkalmazva a párhuzamos szelőszakaszok tételét: $\frac{x}{a} = \frac{q}{p + q} = \frac{c}{a + c}$ . Innen: $x = \frac{a c}{a + c}$ . Ezt $A B C$ -vel is elvégezve adódik: $K L = x + y = \frac{2 a c}{a + c}$ .

Négyzetes közép

Ha a trapézt két ugyanakkora területű trapézra vágjuk, akkor annak a szakasznak a hossza, mellyel elvágtuk, a trapézon belül a két alap négyzetes közepe hosszúságú.
Az ábrán: $x = \sqrt{\frac{a^{2} + c^{2}}{2}}$

Bizonyítás

Az ábra úgy keletkezett, hogy a trapézt zsugorítottuk, pontosabban kivágtunk belőle egy $a$ hosszúságú részt. Az ábrán lévő háromszögben felírom az oldalak arányát, melynek négyzete egyenlő a területek arányával, hisz a területek négyzetesen aránylanak egymáshoz. Tehát $A T_{1} T_{2}$ és $A D C$ háromszögekben az alapok aránya: $\frac{c - a}{x - a}$ . A területek aránya:
$(\frac{c - a}{x - a})^{2} = \frac{(c - a) (m_{1} + m_{2})}{(x - a) m_{1}}$
Vagyis:
$\frac{c - a}{x - a} = \frac{m_{1} + m_{2}}{m_{1}} = 1 + \frac{m_{2}}{m_{1}}$
Innen:
$\frac{m_{2}}{m_{1}} = \frac{c - a}{x - a} - 1 = \frac{c - a}{x - a} - \frac{x - a}{x - a} = \frac{c - x}{x - a}$
Megvan a magasságok aránya, írjuk fel a két kisebb trapéz területének arányát is:
$\frac{m_{1} (\frac{a + x}{2})}{m_{2} (\frac{x + c}{2})} = \frac{a + x}{x + c} \cdot \frac{m_{1}}{m_{2}} = \frac{a + x}{x + c} \cdot \frac{x - a}{c - x} = \frac{x^{2} - a^{2}}{c^{2} - x^{2}}$
Azt állítjuk, hogy a két terület egyenlő lesz, ez pedig úgy következik be, ha arányuk 1. Ekkor:
$\frac{x^{2} - a^{2}}{c^{2} - x^{2}} = 1$
$x^{2} - a^{2} = c^{2} - x^{2}$
$x^{2} + x^{2} = a^{2} + c^{2}$
$2 x^{2} = a^{2} + c^{2}$
$x = \sqrt{\frac{a^{2} + c^{2}}{2}}$
Vagyis ha a két trapéz területe egyenlő, vagyis két egyenlő területű trapézra vágtuk, akkor a szakasz hossza: $x = \sqrt{\frac{a^{2} + c^{2}}{2}}$ .

Mértani közép

Ha a trapézt két hasonló trapézra vágjuk, akkor annak a szakasznak a hossza, mellyel elvágtuk, a trapézon belül a két alap mértani közepe hosszúságú.
Az ábrán: $x = \sqrt{a c}$

Bizonyítás

Két négyszög akkor hasonló, ha megfelelő szögeik egyenlő nagyságúak, valamint a megfelelő oldalainak aránya is megegyezik. Két trapéz akkor hasonló, ha a megfelelő szögeik egyenlőek, valamint az alapjainak és magasságainak aránya megegyezik. Ha $x = \sqrt{a c}$ , akkor $x^{2} = a c$ .
$x \cdot x = a \cdot c$
$\frac{a}{x} = \frac{x}{c} = \sqrt{\frac{a}{c}}$ Tehát a két kisebb trapéz alapjainak aránya $\sqrt{a c}$ . A magasságok aránya: $\frac{m_{1}}{m_{2}} = \frac{x - a}{c - x} = \sqrt{\frac{a}{c}}$ . (x helyébe beírtuk a $\sqrt{a c}$ -t) Tehát a két trapéz alapjainak és magasságainak aránya megegyezik, méghozzá szögeik is egyenlőek a trapéz tulajdonságainak köszönhetően. Ekkor a területek aránya: $\frac{m_{1} (\frac{a + x}{2})}{m_{2} (\frac{x + c}{2})} = \frac{x^{2} - a^{2}}{c^{2} - x^{2}}$ (az előző bizonyításból). Vagyis $x^{2}$ helyébe beírva $a c$ -t: $\frac{a c - a^{2}}{c^{2} - a c} = \frac{a (c - a)}{c (c - a)} = \frac{a}{c}$ Így biztosan kijelenthetjük, hogy ha két hasonló trapézra vágtuk az eredetit, akkor a szakasz hossza $\sqrt{a c}$ .

A közepek közötti összefüggések vizuálisan (kör)

Az ábra magyarázata: $A C$ felezőpontja $O$ , ami az $A C$ átmérőjű kör középpontja. $D$ az $O$ -ba állított merőleges és a kör metszéspontja. $B E$ a kör érintője, ahol $E$ az érintési pont. $E$ -ből a $A B$ egyenesre állított merőleges talppontja $T$ .
Az ábrán szintén megjelennek a közepek, a következőképp: Ha $A B$ szakasz hossza $a$ , illetve $B C$ szakaszé $b$ , akkor $B T$ szakasz hossza $a$ és $b$ harmonikus közepe, $B E$ szakasz hossza $a$ és $b$ mértani közepe, $O B$ szakasz $a$ és $b$ számtani közepe és $B D$ $a$ és $b$ négyzetes közepe.
$B T = \frac{1}{\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{2}} = \frac{2 a b}{a + b}$
$B E = \sqrt{a b}$
$O B = \frac{a + b}{2}$
$B D = \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}$

Bizonyítás

$B E$ -ről könnyen belátható, hogy $\sqrt{a b}$ hosszú, hisz a $B$ pont körre vonatkoztatott hatványa alapján $a \cdot b = B E \cdot B E$ . Innen $B E = \sqrt{a b}$ .
$O B$ hosszát kiszámíthatjuk az $O C$ és $C B$ összegeként. $O B = O C + C B = \frac{a - b}{2} + b = \frac{a + b}{2}$
$B D$ hosszát könnyedén kiszámíthatjuk Az $O B D$ háromszögben a Pitagorasz-tétel segítségével. $D B^{2} = O D^{2} + O B^{2}$ , vagyis $D B = \sqrt{O D^{2} + O B^{2}} = \sqrt{(\frac{a + b}{2})^{2} + (\frac{a - b}{2})^{2}} = \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}$
$B T$ hossza a $B T E$ háromszögből Befogótétellel kiszámítható. A tétel szerint $E B = \sqrt{O B \cdot T B}$ . Innen $T B = \frac{E B^{2}}{O B} = \frac{a b}{\frac{a + b}{2}} = \frac{2 a b}{a + b}$

Kapcsolódó szócikkek

Források

Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap

Matematikai közepek

Tartalomjegyzék

A harmonikus közép

A mértani közép

A számtani közép

A négyzetes közép

A közepek közötti összefüggések

A közepek közötti összefüggések vizuálisan (trapéz)

Számtani közép

Bizonyítás

Harmonikus közép

Bizonyítás

Négyzetes közép

Bizonyítás

Mértani közép

Bizonyítás

A közepek közötti összefüggések vizuálisan (kör)

Bizonyítás

Kapcsolódó szócikkek

Források

Navigációs menü

Lapműveletek

Lapműveletek

Személyes eszközök

Navigáció

Keresés

Eszközök

Társprojektek

Más nyelveken