Pont körre vonatkozó hatványa

A pont körre vonatkozó hatványa vagy egy pont körhatványa az euklideszi síkgeometriában egy ponthoz és körhöz rendelhető mennyiség, értéke:

h_k = d² − r² = PT² = PA · PB

ahol:

h_k a hatvány értéke,

d a pont és a kör középpontja közti távolság

r a kör sugara

PT a P pontból a körhöz húzott érintő hossza

PA és PB a P pontból húzott tetszőleges szelő A és B metszéseinek P ponttól való irányított távolsága

A mennyiséget még Jacob Steiner svájci matematikus vezette be, és mutatta meg a kifejezések egyenértékűségét.

Speciális elrendezések

A körhatvány előjele a pont körhöz viszonyított helyzetétől függ:

• ha a pont a körön kívül van, a hatvány pozitív,
• ha a pont a köríven van, nulla,
• ha a pont a körön belül van, negatív a hatvány, érintő nem húzható; a hatvány abszolút értékének gyökét a PO egyenesre merőleges szelővel kaphatjuk meg

Ha a kör pontkör, akkor r² = 0, a hatvány a tőle való távolságnégyzet lesz.

Bizonyítása

A pont kívül van: PA · PB szorzat pozitív

Annak a bizonyítása, hogy két szelőre a szorzat ugyanaz

Legyen P egy tetszőleges pont, a belőle húzott két szelő metszései a körrel A, B, C és D pontok, lásd ábra. ABCD húrnégyszög, ezért ACP< szög megegyezik DBP< szöggel, és APC< szög is BPD< szöggel, tehát

APCΔ és BPDΔ hasonlók

a megfelelő oldalaik aránya megegyezik:

PA / PC = PD / PB

amit átszorozva kapjuk, hogy:

PA · PB = PC · PD

Ha a szelő átmérő, a PA · PB szorzat megegyezik d² − r² értékkel

Megegyezik a d² − r² kifejezéssel

Abban az esetben, amikor a szelő egyben átmérő PA és PB értéke: d + r és d − r, PA · PB szorzat:

PA · PB = (d + r) · (d − r) = d² − r²

hasonlóan: ha d < r, azaz a pont a körön belül van, PA és PB irányítása ellentétes, szorzatuk, d² − r² negatív.

Az érintő merőleges az érintési pontba húzott sugárra, felírhatjuk a Pitagorasz-tételt

Érintő hosszának négyzete

Szemléletesen: ha az érintési pontot úgy tekintjük, mintha A és B egybeesne T-ben:

PA · PB = PA · PA = PT²

Ám mert a szelők szorzatának egyenlőségének bizonyítása kihasználta, hogy két metszéspont van, és mert nem létezik érintő, ha P a körön belül van, mégis tisztább máshogy bizonyítani. Ha kihasználjuk, hogy OTP< szög derékszög, akkor a Pitagorasz-tétel értelmében:

PT² + r² = d², azaz PT² = d² − r²

Kör normálegyenlete

Ahogy az egyenes normálegyenlete a d_e(p) = 0 kifejezés, ahol a d_e(p) a P pontnak az e egyenestől való távolságát jelenti, kör normálegyenletének a h_k(p) = 0 egyenletet nevezzük, ahol a h_k(p) megadja egy P pontnak a k körre vonatkozó hatványát. Legyen a kör sugara r, középpontjába mutasson o vektor.

h_k(p) = d² − r² = d² − r² = (p − o)² − r²

egy kör normálegyenlete ezek szerint h_k(p) = 0:

(p − o)² − r² = 0

Kapcsolódó szócikkek

• Szelőtétel
• Hatványvonal

További információk

• cut-the-knot: http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/PPower.shtml

Források

• Hajós, György. Bevezetés a geometriába, 6. kiadás, Budapest: Tankönyvkiadó (1979). ISBN 9631747360 
• Matematikai versenytételek I. rész
• Dr. Szendrei János: Algebra és számelmélet