Hatványvonal
A síkon két kör hatványvonalán azon pontok halmazát értjük, melyekből azonos hosszúságú érintő húzható a körökhöz. Ez a vonal egy, a középpontokat összekötő szakaszra merőleges egyenes lesz.
Annak bizonyítása, hogy ezek a pontok egy egyenesen lesznek
Geometriailag
Lesz egy ilyen egyenes ahonnan ugyanolyan hosszú érintőket lehet húzni:
A két kör fölé metsző gömböket állítok. A metszéskörük síkja és az alapsík metszése lesz a hatványvonal. Ebből a vonalból a két körhöz húzott érintők hossza megegyezik a metszéskörhöz húzott érintők hosszával, tehát egymással is megegyeznek.
Ez az egyenes bármely két metsző gömb esetén ugyanaz:
Tekintsük az alapsíkra merőleges, körök középpontjain átmenő egyenest tartalmazó síkot (lásd ábra). A hatványvonal és a körök centrálisának metszéspontjának a két körre vonatkozó hatványa egyenlő, és csak egy ilyen pont van azon az egyenesen.
Semmilyen más pont nem lesz jó:
Egy ilyen tulajdonságú pontból felveszünk két metsző gömböt a körök fölé, vesszük az érintőkúpjaikat. Ezek metszése érinteni fogja mindkét gömböt, tehát a gömbök metszéskörét is, és annak síkjában lesz (?), ami pedig csak a hatványvonalat metszi ki.
Koordináta-geometriával
Legyen a két kör középpontja és , a hatványvonal talppontja , rajta egy tetszőleges pont, ahonnan húzott érintési pontok és (lásd ábra).
A Pitagorasz-tétel értelmében a hatványvonalon levő pontoknak a középpontoktól való távolságuk négyzeteinek különbsége állandó:
ami két kör sugárnégyzeteinek különbsége, valóban nem függ P-től.
P ponthoz a körök középpontjaitól való távolságok négyzeteinek különbsége nem függ pontnak a körök középpontjai által meghatározott egyenestől való távolságától, pusztán annak merőleges vetületének helyétől:
Tehát a merőlegesen levő pontoknak ugyanakkora a középpontoktól való távolságnégyzeteik különbsége, tehát tényleg ugyanolyan hosszú érintő húzható belőlük.
Csak ezek a pontok lesznek jók:
Az egyenesen egy M ponthoz tartozó távolságnégyzet különbségek:
Ami monoton (ha , szakaszokat irányítottan tekintjük), és folytonos, tehát csak egy olyan M létezik, hogy .
Körök speciális elrendezései
- Két koncentrikus, ugyanakkora sugarú kör esetén a hatványvonal az egész sík,
- két koncentrikus, eltérő sugarú kör esetén nincs hatványvonal,
- két metsző kör (hiperbolikus-körsor) esetén a hatványvonal átmegy a két metszésponton,
- két érintkező (parabolikus-körsor) kör esetén a hatványvonal az érintkezési ponton átmenő, köröket érintő egyenes
- két nem metsző (elliptikus-körsor) kör esetén a hatványvonal egy, a körökön át nem menő egyenes
- ha az egyik vagy mindkettő kör ponttá fajul, akkor érintő hossza helyett a tőle való távolságot vesszük
- ha az egyik kör tart az egyeneshez, akkor tart a hatványvonalhoz (ha adott két kör, az egyiknek egy rögzített P kerületi pontja, és az O középpontját elkezdjük egy adott irányba végtelen messzire távolítani, akkor a hatványvonal határesete átmegy a rögzített P ponton, és merőleges a PO sugárra)
Hatványpont
Három általános helyzetű kör hatványvonalai egy pontban metszik egymást. Ekkor a metszéspontból húzott érintők egyenlő hosszúak:
Bizonyítás: legyenek a körök A, B, C.
Két hatványvonal, mondjuk A és B hatványvonalának és B és C hatványvonalának P metszéséből ugyanolyan hosszú érintőt lehet húzni A-hoz és B-hez, és B-hez és C-hez, tehát A-hoz és C-hez is, tehát rajta van A és C hatványvonalán.
Ha két hatványvonal párhuzamos, azaz a három kör középpontja egy egyenesbe esik, akkor a harmadik hatványvonal is párhuzamos velük.
Források
Hajós, György. Bevezetés a geometriába, 6. kiadás, Budapest: Tankönyvkiadó (1979). ISBN 9631747360
