Ötödfokú egyenlet

Egy ötödfokú polinom képe

A matematikában az ötödfokú egyenlet egy polinom egyenlet, aminek a foka 5. Általános alakja:

$a{x}^5+b{x}^4+c{x}^3+d{x}^2+ex+f=0,$

ahol $a,b,c,d,e,f$ egy test elemei, általában a racionális számok, a valós számok vagy a komplex számok elemei, valamint $a\ne 0$.

Ötödfokú egyenlet gyökeinek meghatározása

Egy polinom gyökeinek meghatározása — azon $x$ értékek, amelyek teljesítik az egyenletet — racionális együtthatók esetében kiemelkedő matematikai probléma volt. Lineáris, másod-, harmad- és negyedfokú egyenletek megoldása egyszerű, függetlenül attól, hogy a gyökök racionálisak, irracionálisak, valósak vagy komplexek; vannak megoldóképleteik. Azonban nincs olyan képlet, ami a négy alapművelet és az $n$-edik gyökvonás segítségével kifejezhetné a megoldásokat általános esetben; ez az Abel–Ruffini-tétel, amelyet először 1824-ben publikáltak mint az algebrai csoportelmélet egyik első alkalmazását. Ez az eredmény igaz magasabb fokú egyenletekre is. Egy példa olyan egyenletre, ami nem fejezhető így ki: $x^5-x+1=0$. Ez az egyenlet Bring-Jerrard normál alakban van. A gyakorlatban polinomegyenletek pontos megoldása gyakran felesleges, és más numerikus megoldó módszerek, mint például a Laguerre-módszer vagy a Jenkins–Traub algoritmus valószínűleg a legalkalmasabbak arra, hogy megkapjuk általános ötöd- vagy magasabb fokú egyenletek közelítő megoldásait. Azonban a pontos megoldások néha hasznosak bizonyos alkalmazásokhoz, és sok matematikus próbálta meghatározni ezeket.

Megoldható ötödfokú egyenletek

Néhány ötödfokú egyenlet megoldható úgy, hogy alacsonyabb fokú polinomok szorzataként fejezzük ki, például $x^5-x^4-x+1=0$ felírható mint $(x^2+1)(x+1)(x-1{)}^2=0$. Más ötödfokú egyenlet, mint például a $x^5-x+1=0$ nem fejezhető ki ilyen alakban. Évariste Galois kifejlesztett eljárásokat annak meghatározására, hogy egy polinomegyenlet mikor fejezhető ki polinomok szorzataként, ezzel megalkotva a Galois-elmélet területét. Ezeket az eljárásokat először John Stuart Glashan, George Paxton Young és Carl Runge alkalmazta 1885-ben, hogy általános kritériumot adjanak a megoldhatóságra (Lazard egy modern megközelítése található a forrásokban). Azt találták, hogy bármely irreducibilis ötödfokú polinom racionális együtthatókkal Bring-Jerrard formában,

$x^5+ax+b=0$

gyökökkel kifejezhető megoldású akkor és csak akkor, ha a következő alakú:

$x^5+\frac{5{\mu }^4(4\nu +3)}{{\nu }^2+1}x+\frac{4{\mu }^5(2\nu +1)(4\nu +3)}{{\nu }^2+1}=0$,

ahol $\mu$ és $\nu$ racionálisak. 1994-ben, Blair Spearman és Kenneth S. Williams egy alternatív kritériumot talált,

$x^5+\frac{5e^4(\pm 4c+3)}{c^2+1}x+\frac{-4e^5(\pm 11+2c)}{c^2+1}=0$.

A kapcsolat az 1885-ös és az 1994-es parametrizáció között egyszerűen látható, ha a következőt definiáljuk:

$b=\frac{4}{5}(a+20\pm 2\sqrt{(20-a)(5+a)})$,

ahol

$a=\frac{5(4\nu +3)}{{\nu }^2+1}$.

Szükséges, de nem elegendő feltétel, hogy az irreducibilis megoldható ötödfokú egyenlet

$z^5+a{\mu }^{4}z+b{\mu }^5=0$

racionális együtthatókkal megfeleljen a következő négyzetes görbének:

$y^2=(20-a)(5+a)$

valamely racionális $a,y$-ra. Mivel a Tschirnhaus-transzformációk megfontolt használatával lehetséges bármely ötödfokú polinomot átalakítani Bring-Jerrard formára, mindkét parametrizáció egy szükséges és elégséges feltételt ad annak eldöntésére, hogy az adott ötödfokú egyenlet gyökei kifejezhetőek-e gyökvonásokkal.

Források

• Daniel Lazard, "Solving quintics in radicals", Olav Arnfinn Laudal, Ragni Piene, The Legacy of Niels Henrik Abel, pp. 207–225, Berlin, 2004,. ISBN 3-5404-3826-2.

További információk

• A megalázott géniusz, YOUPROOF