A pi irracionális voltának bizonyítása

A pí szám irracionális. Jelen cikk ezt az állítást bizonyítja. Johann Heinrich Lambert (1728–1777) bizonyítása a tangensfüggvényt és a lánctörteket használja. Lényege, hogy a racionális számok tangense irracionális. A π/4 tangense 1, így π/4, tehát π sem lehet racionális. A bizonyításhoz két lemma tartozik: 1. lemma: legyen $x=b_0+\frac{a_1}{b_1+\frac{a_2}{b_2+\frac{a_3}{b_3+\frac{a_4}{b_4+\cdots }}}},$ ahol $a_i$ és $b_i$ relatív prímek. Ekkor, ha véges kivétellel $|a_i|<|b_i|$, akkor $x$ irracionális. 2. lemma: $x$ tangensének lánctört alakja: $\mathrm{t}\mathrm{g}(x)=\frac{x}{1-\frac{x^2}{3-\frac{x^2}{5-\frac{x^2}{7-\cdots }}}},$

Első lemma

Feltehető, hogy már az $i=1$ értéktől kezdve $|a_i|<|b_i|$, kivételek nincsenek. Ekkor minden pozitív egész $i$-re $b_i-1<b_i+\frac{a_{i+1}}{b_{i+1}}<b_i+1$, és mivel az $a_i$ és $b_i$ egészek különbsége legalább 1, ezért $|b_i+\frac{a_{i+1}}{b_{i+1}}|>|a_i|$. Mivel az $\frac{a_{i+1}}{b_{i+1}}$ érték feltevésünk szerint egynél kisebb, ezért nem tudja megváltoztatni az egész számok előjelét. Az előjel nem változott, ennélfogva $\frac{a_i}{b_i+\frac{a_{i+1}}{b_{i+1}}}$ előjele megegyezik $\frac{a_i}{b_i}$ előjelével. Hasonlóan kaphatjuk, hogy $\frac{a_{i-1}}{b_{i-1}+\frac{a_i}{b_i+\frac{a_{i+1}}{b_{i+1}}}}$ előjele is megegyezik $\frac{a_i}{b_i}$ előjelével, és abszolútértéke egynél kisebb. Leszálló rekurzióval (ismertebb néven: végtelen leszállással) beláthatjuk, hogy $x$ előjele is ugyanez, és abszolútértéke nem lehet egynél nagyobb. Az $|x|=1$ eseteket könnyen átvizsgálhatjuk. Ha $|x|<1$, akkor tegyük fel indirekt, hogy $x$ racionális:

$x=\frac{p}{q}=\frac{a_1}{b_1+p_1}$,

ahonnan $p_1=\frac{q{a}_1-p{b}_1}{p}=\frac{r}{p}$. A $p_1$ szám olyan, mint a fenti $x$, tehát egynél kisebb abszolútértékű, és $|r|<|p|$. Ezt ismételve törtek végtelen sorozatához jutunk, ahol a számlálók abszolútértékben csökkenő egészek, ami ellentmondás.

Második lemma

A szinusz és a koszinusz sorfejtését felhasználva:

$\mathrm{t}\mathrm{g}(x)=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}=\frac{\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}}{\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}}=\frac{x}{\frac{\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}}{\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n+1)!}}}.$

$\mathrm{t}\mathrm{g}(x)=\frac{x}{1+R_1},$ ahol $R_1=-x^2\frac{\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}2n{x}^{2n-2}}{(2n+1)!}}{\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n+1)!}}=\frac{-x^2}{\frac{\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n+1)!}}{\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(2n+2)x^{2n}}{(2n+3)!}}}$

és hasonlóan írhatjuk, hogy $R_1=-x^{2}3+R_2.$ Ezt folytatva kapjuk, hogy $\mathrm{t}\mathrm{g}(x)=\frac{x}{1-\frac{x^2}{3-\frac{x^2}{5-\frac{x^2}{\cdots -\frac{x^2}{2k-1+R_k}}}}},$ a rekurziót feloldva $R_k=\frac{\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n+2)(2n+4)\dots (2n+2k)x^{2n+2}}{(2n+2k+1)!}}{\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n+2)(2n+4)\dots (2n+2k-2)x^{2n}}{(2n+2k-1)!}}$ Innen már következik, hogy $\mathrm{t}\mathrm{g}(x)=\frac{x}{1-\frac{x^2}{3-\frac{x^2}{5-\frac{x^2}{7-\cdots }}}},$ Még bizonyítani kellene, hogy ez a sor a tangenshez konvergál. Ehhez a számlálók és a nevezők egyenletes konvergenciáját és határértékeit kell igazolni.

A tétel bizonyítása

A $\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\pi }{4}=1$ helyett használhatjuk a $\mathrm{t}\mathrm{g}\pi =0$-t Legendre nyomán:

$1-\frac{{\pi }^2}{3-\frac{{\pi }^2}{5-\frac{{\pi }^2}{7-\cdots }}}=\mathrm{\infty }$

$3-\frac{{\pi }^2}{5-\frac{{\pi }^2}{7-\cdots }}=0$

$\frac{3}{{\pi }^2}=\frac{1}{5-\frac{{\pi }^2}{7-\cdots }}$

$k=5$-től kezdve $(2k+1)>{\pi }^2$, tehát az első lemmával kapjuk, hogy ${\pi }^2$, így $\pi$ is irracionális.

Források

• Lambert bizonyítása

Kapcsolódó szócikkek

• Indianai pi-törvényjavaslat