Abel–Plana-formula

A matematikában az Abel–Plana-formula egy összegzési formula, amit egymástól függetlenül fedezett fel Niels Henrik Abel (1823) és Giovanni Antonio Amedeo Plana (1820). Azt állítja, hogy ha az f függvény holomorf a Re(z) ≥ 0 félsíkon, és |f| növekedése korlátozható az C/|z|^1+ε függvénnyel, akkor

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}f(n)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx+\frac{1}{2}f(0)+i\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}dt.$

Az előző feltételek elégségesek, de nem szükségesek, gyengébb határokkal is teljesül az összefüggés.(Olver 1997, p. 290) Alkalmazására példa a Hurwitz-féle zéta-függvény:

$\zeta (s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(n+\alpha {)}^s}=\frac{{\alpha }^{1-s}}{s-1}+\frac{1}{2{\alpha }^s}+2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (s\arctan \frac{t}{\alpha })}{({\alpha }^2+t^2{)}^{\frac{s}{2}}}\frac{dt}{e^{2\pi t}-1}.$

Abel változata az alternáló összegekre:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n}f(n)=\frac{1}{2}f(0)+i\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(it)-f(-it)}{2\sinh (\pi t)}dt.$

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben az Abel–Plana formula című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

• Abel, N.H. (1823), Solution de quelques problèmes à l’aide d’intégrales définies
• Butzer, P. L.; Ferreira, P. J. S. G. & Schmeisser, G. et al. (2011), "The summation formulae of Euler–Maclaurin, Abel–Plana, Poisson, and their interconnections with the approximate sampling formula of signal analysis", Results in Mathematics 59 (3): 359–400, ISSN 1422-6383, doi:10.1007/s00025-010-0083-8, <http://dx.doi.org/10.1007/s00025-010-0083-8>
• Olver, Frank William John (1997), Asymptotics and special functions, AKP Classics, Wellesley, MA: A K Peters Ltd., ISBN 978-1-56881-069-0
• Plana, G.A.A. (1820), "Sur une nouvelle expression analytique des nombres Bernoulliens, propre à exprimer en termes finis la formule générale pour la sommation des suites", Mem. Accad. Sci. Torino 25: 403–418