Béta-eloszlás

Az X valószínűségi változó α és β paraméterű béta-eloszlást követ – vagy rövidebben béta-eloszlású – pontosan akkor, ha sűrűségfüggvénye

$f(x)=\frac{1}{B(\alpha ,\beta )}{x}^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}=\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta )}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(\beta )}{x}^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1},x\in [0,1],$

és f(x) = 0 egyébként. A képletben Γ(x) a gamma-függvény, B(α, β) a béta-függvény valamint α és β pozitív. Speciálisan, ha α = 1 és β = 1, akkor X a [0,1] intervallumon vett egyenletes eloszlást követ.

A gamma-eloszlást jellemző függvények

Eloszlásfüggvénye Karakterisztikus függvénye

A béta-eloszlást jellemző számok

Várható értéke

$\mathbf{E}(X)=\frac{\alpha }{\alpha +\beta }$

Szórása

$\mathbf{D}(X)=\frac{1}{\alpha +\beta }\sqrt{\frac{\alpha \beta }{(\alpha +\beta +1)}}$

Momentumai

$\mathbf{E}(X^k)=\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +k)\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta )}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta +k)}$

Ferdesége Lapultsága

Béta-eloszlású valószínűségi változók néhány fontosabb tulajdonsága

• Az α és β paraméterek szerepének felcserélésével a sűrűségfüggvény az x = 1/2 egyenesre tükröződik.

Források

• Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
• Lukács O. (2002): Matematikai statisztika. Műszaki Könyvkiadó, Budapest.