Basu-tétel

A statisztikában a Basu-tétel azt állítja, hogy bármely komplett elégséges statisztika független bármely kiegészítő statisztikától. Egy statisztika kiegészítő statisztika, ha az eloszlása nem függ θ-tól. Ezt a tételt Debabrata Desu (indiai statisztikus) 1955-ben állította fel. A tételt gyakran alkalmazzák két statisztika függetlenségének bizonyítására.

Állítás

Legyen P_θ egy eloszlás család az (X, Σ), mérhető térben. Akkor, ha T komplett elégséges statisztika θ-ra, és A kiegészítő statisztika θ-ra, akkor T független A-tól.

Bizonyítás

Legyen P_θ^T és P_θ^A T és A marginális eloszlásai.

$$\begin{gathered} P_{\theta }^A(B)=P_{\theta }(A^{-1}B)=\underset{T(X)}{\int }{P}_{\theta }(A^{-1}B|T=t) \\ {P}_{\theta }^T(dt) \end{gathered}$$

P_θ^T nem függ θ-tól, mert A kiegészítő. Hasonlóképpen P_θ(•|T = t) nem függ θ-tól, mert T elégséges. Ezért: $$\begin{gathered} \underset{T(X)}{\int }[P(A^{-1}B|T=t)-P^A(B)] \\ {P}_{\theta }^T(dt)=0 \end{gathered}$$ Figyeljük meg az integranduszt ( függvény az integrálon belül), mely t függvénye, és nem θ-é. Ezért, mivel T komplett:

$P(A^{-1}B|T=t)=P^A(B)\text{minden t-re}$

Így bizonyított, hogy A független T-től.

Példa

Normális eloszlású minta középértéke és szórásnégyzetének a függetlensége. Legyenek X₁, X₂, ..., X_n független, azonos eloszlású normális valószínűségi változók μ középértékkel és σ² szórásnégyzettel. Ekkor:

$\hat{\mu }=\frac{\sum X_i}{n},$

a minta középértéke, mely egy komplett elégséges statisztika – azaz, minden információ megkapható a μ becsléséhez, és nem több, továbbá:

${\hat{\sigma }}^2=\frac{\sum {(X_i-\overline{X})}^2}{n-1},$

a minta szórásnégyzete, mely egy kiegészítő statisztika – eloszlása nem függ μ-től. Így, a Basu-tételből következően, ezek a statisztikák függetlenek. A függetlenség a Cochran-tételből is levezethető. Továbbá, ez a tulajdonság, hogy a normális eloszlás középértéke és szórásnégyzete függetlenek, jellemzi a normális eloszlást – nincs más hasonló tulajdonságú eloszlás.

Irodalom

• Boos, Dennis D.; Oliver, Jacqueline M. Hughes: Applications of Basu's Theorem. (hely nélkül): The American Statistician (Boston: American Statistical Association) 52. 1998.  
• Ghosh, Malay: Basu's Theorem with Applications: A Personalistic Review. (hely nélkül): Sankhyā: the Indian Journal of Statistics, Series A 64. 2002.  

Kapcsolódó szócikkek

• Sűrűségfüggvény
• Középérték
• Szórásnégyzet
• Normális eloszlás
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• Statisztika
• Matematikai statisztika
• Burr-eloszlás
• https://web.archive.org/web/20190815202442/http://math.bme.hu/~nandori/Virtual_lab/stat/point/Sufficient.xhtml
• http://www.inf.unideb.hu/valseg/dolgozok/igloi/2002eload2(Basu).pdf