Variancia

Innen: Hungaropédia
(Szórásnégyzet szócikkből átirányítva)
Ugrás a navigációhozUgrás a kereséshez

A variancia avagy szórásnégyzet a valószínűségszámításban egy valószínűségi változó eloszlását jellemző szóródási mérőszám.[1] A szórásnégyzet megmutatja, hogy egy valószínűségi változó milyen mértékben szóródik a várható érték (középérték) körül. A szórásnégyzet a valószínűségi változó második centrális momentuma, gyakran használják ezt a paramétert a sokféle eloszlás megkülönböztetésére, valamint elméleti számításoknál. A szórást és az abszolút eltérést egyaránt használják eloszlások jellemzésére. A szórás jobban jellemző, mint az abszolút eltérés, valamint együtt a szórásnégyzettel és a kovarianciával alkalmazzák az elméleti statisztikában. Az abszolút eltérés robusztusabb és kevésbé érzékeny a nagy eltérésekre, melyek mérési anomáliákból származnak. A szórásnégyzet a valószínűségi változó változásainak a mértéke, tekintetbe véve az összes lehetséges értéket és annak valószínűségeit.

Definíció

Ha egy X valószínűségi változó várható értéke (középértéke) μ = E[X], akkor az X szórásnégyzete az X saját magával vett kovarianciája:

Var⁡(X)=Cov⁡(X,X)=E⁡[(X−μ)(X−μ)]=E⁡[(X−μ)2].

Azaz a szórásnégyzet a változó és a várható értéke közötti különbség négyzetének várható értéke. A kovariancia megfelelő kifejezéséből kiterjesztve:

Var⁡(X)=Cov⁡(X,X)=E⁡[XX]−E⁡[X]E⁡[X]=E⁡[X2]−(E⁡[X])2.

A leggyakrabban használt levezetés a várható értékből:

Var⁡(X)=E⁡(X2−2XE⁡(X)+(E⁡(X))2)=E⁡(X2)−2(E⁡(X))2+(E⁡(X))2=E⁡(X2)−(E⁡(X))2.

Példa

Tekintsünk egy hatoldalú szabályos dobókockát. A dobás után a várható érték:

16(1+2+3+4+5+6)=3.5.

A várható abszolút eltérés (az azonosan valószínű abszolút eltérések várható értéke a középértéktől):

16(|1−3.5|+|2−3.5|+|3−3.5|+|4−3.5|+|5−3.5|+|6−3.5|)=16(2.5+1.5+0.5+0.5+1.5+2.5)=1.5.

A várható négyzetes eltérés, a szórásnégyzet:

16(2.52+1.52+0.52+0.52+1.52+2.52)=17.5/6≈2.9.

Folytonos valószínűségi változó esete

Ha X egy folytonos valószínűségi változó f(x) sűrűségfüggvénnyel, akkor a szórásnégyzet egyenlő a második centrális momentummal:

Var⁡(X)=σ2=∫(x−μ)2f(x)dx=∫x2f(x)dx−μ2

ahol μ, a várható érték,

μ=∫xf(x)dx

Az integrál határozott integrál. Ha a folytonos eloszlásnak nincs várható értéke, mint a Cauchy-eloszlás esetében, akkor szórásnégyzete sincs. Több más eloszlásnak sincs szórásnégyzete, ha nem létezik várható értéke.

Diszkrét valószínűségi változó esete

Ha X egy diszkrét valószínűségi változó, x1↦p1,x2↦p2,…,xn↦pn tömegfüggvénnyel, akkor

Var⁡(X)=∑i=1n(pi⋅(xi−μ)2)=∑i=1n(pi⋅xi2)−μ2

ahol μ, a várható érték:

μ=∑i=1npi⋅xi .

Exponenciális eloszlás

Az exponenciális eloszlás λ paraméterrel, egy folytonos eloszlás [0,∞) tartományban, a sűrűségfüggvénye:

f(x)=λe−λx,

a várható érték: μ=1λ, és így a szórásnégyzet:

∫0∞f(x)(x−μ)2dx=∫0∞λe−λx(x−λ−1)2dx=λ−2.

σ2 = μ2.

Főbb tulajdonságok

A szórásnégyzet nem lehet negatív:

Var⁡(X)≥0.

Egy állandó változó szórásnégyzete zéró, és ha a szórásnégyzet zéró, akkor 1 valószínűséggel állandó a változó:

P(X=a)=1⇔Var⁡(X)=0.

A szórásnégyzet invariáns a helyparaméter változásaira, ha egy állandót adunk hozzá a változóhoz, a szórásnégyzet nem változik:

Var⁡(X+a)=Var⁡(X).

Ha a változót megszorozzuk egy konstanssal, a szórásnégyzet a konstans négyzetével változik.

Var⁡(aX)=a2Var⁡(X).

Irodalom

  • Goodman, Leo A: On the exact variance of products. (hely nélkül): Journal of the American Statistical Association. 1960. 708–713. o. ISBN 978-963-279-026-8  

Kapcsolódó szócikkek

Jegyzetek

  1. ↑ Montgomery, D. C. and Runger, G. C. (1994) Applied statistics and probability for engineers, page 201. John Wiley & Sons New York
A lap eredeti címe: „https://hungaropedia.org/index.php?title=Variancia&oldid=839208”