Braket-jelölés

A braket-jelölés a kvantumállapotok bevett jelölése a kvantummechanikában. Kompakt jelölés, ahol a $|\psi ⟩$ ket (vektor) egy állapotvektort (oszlopvektort), a $⟨\varphi |$ bra (vektor) pedig egy transzponált konjugált állapotvektort (sorvektort) jelöl. A nevét a jelölés az angol „bracket” („zárójel”) szóról kapta, ahol a „bra” és „ket” betűcsoportok úgy zárják közbe a „c” betűt, mint a bra és ket vektorok egy C operátort. Az állapotvektorok belső szorzata $⟨\varphi |\psi ⟩$ alakban írandó. A jelölést Paul Dirac vezette be, és Dirac-jelölésként is ismert. A matematika és a kvantumszámítás is használja.

Bra és ket

A kvantummechanikában egy fizikai rendszert egy komplex H Hilbert-tér vektorával azonosítjuk. Mindegyik vektort „ket”-nek, vagy „ket vektornak” hívjuk és így írjuk:

$|\psi ⟩$

Minden ket vektornak van egy „bra” duálisa:

$⟨\psi |$

Ez egy folytonos lineáris funkcionál H-ból C-be (komplex számok), amit a következő kifejezés definiál:

$⟨\psi |\rho ⟩=(|\psi ⟩,|\rho ⟩)$ minden $|\rho ⟩$ ket-re

ahol ( , ) a Hilbert-tér belső szorzata. A bra egyszerűen a ket transzponált konjugáltja (vagy hermitikus konjugáltja). A jelölést a Riesz-féle reprezentációtétel igazolja, ami kijelenti, hogy a Hilbert-tér és duális tere izometrikusan izomorf. Így minden bra pontosan egy ket-nek felel meg és megfordítva. Ez nem mindig van így, csak addig, amíg a definiáló függvények négyzetesen integrálhatók (ld. például Cohen-Tannoudji). Tekintsünk egy kontinuum számosságú bázist és egy Dirac-féle delta-függvényt, vagy egy szinusz- vagy koszinuszfüggvényt mint hullámfüggvényt. Az ilyen függvények nem négyzetesen integrálhatók, ezért az adódik, hogy vannak olyan bra-k, amiknek nincs megfelelő ket-jük. Ez nem futtatja zátonyra kvantummechanikát, mert minden fizikailag realisztikus hullámfüggvény négyzetesen integrálható. A braket-jelölés akkor is használható, ha a vektortér nem Hilbert-tér. Bármely B Banach-térben a vektorok jelölhetők kettel és a folytonos lineáris funkcionálok braval. Bármely nemtopologikus vektortér vektorait is jelölhetjük kettel és a lineáris funkcionálokat bra-val. Ebben az általános esetben a braketnek nincs belső szorzat jelentése, mivel a Riesz-féle reprezentációtétel nem alkalmazható. A $⟨\varphi |$ bra és a $|\psi ⟩$ ket szorzata, amit bra-ket-nek hívhatunk:

$⟨\varphi |\psi ⟩$.

egy komplex szám. A kvantummechanikában ez annak a valószínűségi amplitúdója, hogy a $\psi$ állapot a $\varphi .$ állapotba essen a mérés során.

Tulajdonságok

Mivel minden ket egy vektor egy komplex Hilbert-térben és minden bra-ket egy belső szorzat, a következő műveletek lehetségesek:

$⟨\varphi |(c_1|{\psi }_1⟩+c_2|{\psi }_2⟩)=c_1⟨\varphi |{\psi }_1⟩+c_2⟨\varphi |{\psi }_2⟩$

$(c_1⟨{\varphi }_1|+c_2⟨{\varphi }_2|)|\psi ⟩=c_1⟨{\varphi }_1|\psi ⟩+c_2⟨{\varphi }_2|\psi ⟩$

$c_1|{\psi }_1⟩+c_2|{\psi }_2⟩$ duálisa $c_1^{*}⟨{\psi }_1|+c_2^{*}⟨{\psi }_2|$

$⟨\varphi |\psi ⟩=⟨\psi |\varphi {⟩}^{*}$

ahol $c_1,c_2$ komplex számok.

Lineáris operátorok

Ha A : H → H lineáris operátor, akkor A-t egy $|\psi ⟩$ ket-re alkalmazva a $(A|\psi ⟩)$ ket-et kapjuk. A lineáris operátorok mindenütt jelen vannak a kvantummechanikában, például a fizikai mennyiségeket önadjungált operátorok, a szimmetriatranszformációkat unitér operátorok képviselik. Az operátorokat tekinthetjük úgy is, mint ami jobbról a bra-ra hat. A $(⟨\varphi |A)$ konstrukció egy bra, ami egy lineáris funkcionál H-n a következő szabály szerint:

$(⟨\varphi |A)|\psi ⟩=⟨\varphi |(A|\psi ⟩)$.

Ezt a kifejezést szokásosan így írjuk:

$⟨\varphi |A|\psi ⟩.$

H-n komponálhatunk operátort a külső szorzattal:

$|\varphi ⟩⟨\psi |$

ami a $|\rho ⟩$ ket-et leképezi a $|\varphi ⟩⟨\psi |\rho ⟩$ ket-re (ahol $⟨\psi |\rho ⟩$ egy skalár). A külső szorzatot például projekciós operátorok megkonstruálására használhatjuk. Legyen $|\psi ⟩$ 1-es normájú ket. Az általa kifeszített altérbe vetítő operátor ekkor:

$|\psi ⟩⟨\psi |.$

Összetett bra és ket

A V és W Hilbert-terekből tenzorszorzattal képezhetünk egy harmadikat: $V\otimes W$. A kvantummechanikában ha egy rendszer egy V és W által leírt alrendszerből áll, akkor a teljes rendszert a tenzorszorzat írja le – kivéve ha az alrendszerek azonos részecskék, mert ekkor a helyzet egy kicsit bonyolultabb. Ha $|\psi ⟩$ egy ket V-ben és $|\varphi ⟩$ egy ket W-ben, akkor a tenzorszorzatuk egy ket $V\otimes W$-ben, amit többféleképpen írhatunk:

$|\psi ⟩|\varphi ⟩$ vagy $|\psi ⟩\otimes |\varphi ⟩$ vagy $|\psi \varphi ⟩$ vagy $|\psi ,\varphi ⟩.$

Reprezentációk braket-jelöléssel

A kvantummechanikában gyakran kényelmesebb a vektoroknak egy bázisra vett vetületeivel dolgozni, mint magukkal a vektorokkal. Az ok, hogy az utóbbiak egyszerűen komplex számok, amiket parciális differenciálegyenletekben használhatunk (például a Schrödinger-egyenlet helykoordináta-bázison). Ez az eljárás nagyon hasonlít a koordinátavektorok használatához a lineáris algebrában. Például egy nulla spinű részecske Hilbert-terét az $\{|\mathbf{x}⟩\}$ helybázis feszíti ki, ahol x befutja az összes helyvektort. Kiindulva bármely $|\psi ⟩$ ket-ből ezen a Hilbert-téren definiálhatunk egy komplex skalár függvényt, a hullámfüggvényt:

$\psi (\mathbf{x})\equiv ⟨\mathbf{x}|\psi ⟩.$

Ezután definiálhatjuk a hullámfügvényre ható operátorokat a ket vektorokon ható operátorok segítségével:

$A\psi (\mathbf{x})\equiv ⟨\mathbf{x}|A|\psi ⟩.$

Például a p impulzus operátorát:

$\mathbf{p}\psi (\mathbf{x})\equiv ⟨\mathbf{x}|\mathbf{p}|\psi ⟩=-i\hslash \mathrm{\nabla }\psi (x).$.

A számolás közben előfordul a

$-i\hslash \mathrm{\nabla }|\psi ⟩$

kifejezés, amit úgy kell érteni, hogy a differenciáloperátor egy absztrakt operátor, ami a koordinátákra vetítéskor a következőképpen hat:

$-i\hslash \mathrm{\nabla }⟨\mathbf{x}|\psi ⟩.$