Fréchet-eloszlás

A valószínűségszámításban és a statisztikában a Fréchet-eloszlás az általánosított extrémérték-eloszlás egy speciális esete. Ezt az eloszlást Maurice Fréchet-ről nevezték el, aki 1827-ben publikálta, ehhez kapcsolódó további munkásságot Fisher és Tippett végzett 1928-ban és Gumbel 1958-ban. A kumulatív eloszlásfüggvény:

$\mathrm{Pr}(X\le x)=e^{-x^{-\alpha }}\text{ if }x>0.$

ahol α>0 az alakparaméter. Úgy is általánosítható, hogy tartalmazza a helyparamétert (m, minimum) és a skálaparamétert (s>0) a kumulatív eloszlás függvényben:

$\mathrm{Pr}(X\le x)=e^{-{\left(\frac{x-m}{s}\right)}^{-\alpha }}\text{ if }x>m.$

Karakterisztika

Fréchet-eloszlás, Valószínűség sűrűség függvény

Fréchet-eloszlás, Kumulatív eloszlás függvény

A standardizált momentum $\alpha$ paraméterel

${\mu }_k=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{k}f(x)dx=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{-\frac{k}{\alpha }}{e}^{-t}dt$,

(ahol $t=x^{-\alpha }$) kizárólag $k<\alpha$ esetre

${\mu }_k=\mathrm{\Gamma }(1-\frac{k}{\alpha })$

ahol $\mathrm{\Gamma }\left(z\right)$ is the Gamma-függvény.

• $\alpha >1$ -re a várható érték: $E[X]=\mathrm{\Gamma }(1-\frac{1}{\alpha })$
• $\alpha >2$-re a szórás: $\text{Var}(X)=\mathrm{\Gamma }(1-\frac{2}{\alpha })-(\mathrm{\Gamma }(1-\frac{1}{\alpha }){)}^2$.

$q_y$ kvantilis $y$ függvényében az eloszlás inverzeként fejezhető ki:

$q_y=F^{-1}(y)={(-{\log }_{e}y)}^{-\frac{1}{\alpha }}$.

A medián:

$q_{1/2}=({\log }_{e}2{)}^{-\frac{1}{\alpha }}$.

Az eloszlás módusza: ${\left(\frac{\alpha }{\alpha +1}\right)}^{\frac{1}{\alpha }}$. A 3 paraméteres Fréchetre, az első kvartilis: $q_1=m+\frac{s}{\sqrt[\alpha ]{\log (4)}}$ A harmadik kvartilis: $q_3=m+\frac{s}{\sqrt[\alpha ]{\log (\frac{4}{3})}}$ A kvantilisek a középértékre és a móduszra:

$F(mean)=\exp (-{\mathrm{\Gamma }}^{-\alpha }(1-\frac{1}{\alpha }))$

$F(mode)=\exp (-\frac{\alpha +1}{\alpha })$

Fréchet eloszlás alkalmazása egynapi maximális csapadékra

Alkalmazások

A hidrológiában a Fréchet-eloszlást extrém események becslésére használják, mint például az évente egynapi maximális csapadék, vagy folyók áradása. A kék színű kép egy Fréchet eloszlású alkalmazást mutat be az Ománban esedékes maximális egynapi esőzésre, 90% konfidenciaintervallum mellett, a binomiális eloszlásra alapozva. Az esőzés adatai kumulatív frekvenciáit pontok pozíciói reprezentálják, melyek részei a kumulatívfrekvencia-analízisnek. Azonban a legtöbb hidrológiai alkalmazásban, az eloszlás az általánosított extrémérték-eloszláson keresztül működik, mivel ez elkerüli azt a feltételezést, hogy az eloszlásnak nincs felső határa (mint ahogy az a Fréchet-eloszlásban érvényes lenne az éves maximumra).

Kapcsolódó eloszlások

• Ha $X\sim U(0,1)$ (Állandó eloszlás) akkor $m+s(-\log (X){)}^{-1/\alpha }\sim \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Frechet</mrow>}(\alpha ,s,m)$
• Ha $X\sim \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Frechet</mrow>}(\alpha ,s,m)$ akkor $kX+b\sim \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Frechet</mrow>}(\alpha ,ks,km+b)$
• Ha $X_i=\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Frechet</mrow>}(\alpha ,s,m)$ és $Y=\max \{X_1,\dots ,X_n\}$ akkor $Y\sim \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Frechet</mrow>}(\alpha ,n^{\frac{1}{\alpha }}s,m)$
• A maximum stabilitási posztulátum egyenlet megoldása a Frechet eloszlás kumulatív eloszlásfüggvénye.
• Ha $X\sim \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Weibull</mrow>}(k=\alpha ,\lambda =m)$ (Weibull-eloszlás) akkor $\frac{m^2}{X}\sim \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Frechet</mrow>}(\alpha ,s,m)$

Tulajdonságok

• A Frechet eloszlás egy maximum stabil posztulátumnak felel meg
• Egy Frechet eloszlású negatív valószínűségi változó a minimum stabil posztulátumnak felel meg.

Kapcsolódó szócikkek

• Fisher–Tippett–Gnedenko elmélet
• Valószínűségszámítás
• Statisztika
• Matematikai statisztika
• Normális eloszlás
• Exponenciális eloszlás
• Szórás
• Valószínűségi változó
• Szórásnégyzet
• Weibull-eloszlás
• poli-Weibull-eloszlás
• Általánosított extrémérték-eloszlás
• Hatványozott Weibull-eloszlás
• Extrém érték elmélet