Funkcionál

A matematikában, különösen a funkcionálanalízis területén, hagyományosan funkcionálnak nevezzük azokat a függvényeket, melyek vektortérből képeznek a vektortér alaptestére, népszerűen fogalmazva a skalár-értékű vektorfüggvényeket. Az analízisben igen természetesen fordul elő függvények vektortere, ahol a funkcionál mint függvények függvénye manifesztálódik. A funkcionálok használata a variációszámításból ered, ahol azokat a függvényeket keresik, amiken egy bizonyos funkcionál a minimumát veszi fel. Különösen fontos alkalmazása - és nem kevésbé tipikus - a fizikában, amikor egynémely rendszer olyan állapotát keressük, amely minimalizálja a rendszer hatását.

Definíció

$F$ pontosan akkor funkcionál, ha létezik $V\mathbb{𝕂}$ feletti vektortér, hogy $F\in {\mathbb{𝕂}}^V$, ahol $\mathbb{𝕂}\in \{\mathbb{ℝ},\mathbb{ℂ}\}$. $F$ funkcionál akkor lineáris, ha bármely $V\ni x,y$-ra és $\lambda \in \mathbb{𝕂}$-ra $F(x+y)=F(x)+F(y)$, és $F(\lambda x)=\lambda F(x)$. Talán pontatlanabbul, de nem csak matematikusoknak érthetően: a funkcionál olyan függvény, amely függvényhez számot rendel. (Ezzel szemben a (szűkebb értelemben vett) függvény olyan függvény, amely számhoz számot, elemhez elemet, az operátor pedig olyan függvény, amely függvényhez függvényt rendel.) Ne tévesszen meg a függvény szó kétféle használata; a többi név speciálisabb.

Példák

Határozott integrál

A Riemann-integrálható függvények teréből értelmezett lineáris funkcionál az intervallumon vett határozott integrál:

$f\mapsto \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$.

Algebrai duális

Legyen $V$ vektortér $\mathbb{𝕂}$ felett.$V$ algebrai duálisa, $V^{*}$, a $V$-ből $\mathbb{𝕂}$-ba ható lineáris funkcionálok a tere. Ekkor

$V^{*}=\{f:V\to \mathbb{𝕂};y\mapsto ⟨x,y⟩|\mathrm{\forall }x\in V\}$, ahol $⟨.,.⟩$ euklideszi skalárszorzás,

ugyanis $\mathrm{\Phi }:V\to V^{*};x\mapsto (y\mapsto ⟨x,y⟩)$ izomorfia $V$ és $V^{*}$ között.

Források

Kolmogorov, A. N. – Fomin, Sz. V.: A függvényelmélet és a funkcionálanalízis elemei; fordította: Szigeti Ferenc; Typotex 2010.