Háromnégyzetszám-tétel

A háromnégyzetszám-tétel azt állítja, hogy egy n pozitív egész akkor és csak akkor nem áll elő három négyzetszám összegeként, ha $n=4^k(8m+7)$ alakú. A tételre Legendre egy nem teljes bizonyítást adott 1798-ban. Az első teljes bizonyítást Gauss írta le Disquisitiones Arithmeticae című 1801-ben megjelent könyvében.

A tétel alkalmazása

A tételből levezethető, hogy minden természetes szám három háromszögszám összege, ahol háromszögszámoknak a 0, 1, 3, 6, 10,…, tehát az $n(n+1)/2$ alakú számokat nevezzük. Valóban, az

$n=\frac{a(a+1)}{2}+\frac{b(b+1)}{2}+\frac{c(c+1)}{2}$

egyenlőség 8-cal való szorzással és mindkét oldalhoz 3 hozzáadásával átalakítható a következővé:

$8n+3=(2a+1{)}^2+(2b+1{)}^2+(2c+1{)}^2.$

Fenti tételünkből adódik, hogy minden $8n+3$ alakú szám három négyzetszám összege, azt kell belátnunk, hogy az összeadandók ekkor szükségképpen páratlanok. Mivel páros szám négyzete 8-cal osztva 0 vagy 4 maradékot ad, páratlané pedig 1-et, a 8-cal vett 3-as maradékot csak úgy kaphatjuk meg, ha minden összeadandó páratlan.

A tétel bizonyítása

Állítás: Az $n=4^k(8m+7)$ alakú számok nem állnak elő három négyzetszám összegeként A bizonyításhoz teljes indukciót használunk mégpedig k-ra. Először belátjuk hogy k=0 esetén nem állítható elő, azaz 8m+7 számok nem írhatók fel három négyzetszám összegeként. Egy négyzetszám nyolccal osztva maradékul nullát, egyet vagy négyet ad, ezek közül semelyik három összege nem ad hetet maradékul. Tegyük fel hogy k-ig igaz az állítás. Bizonyítsuk k-ra. Indirekt módon tegyük fel hogy létezik olyan $n=4^k(8m+7)$ alakú szám ami előáll három négyzetszám összegeként, vagyis létezik x, y, z hogy: $4^k(8m+7)=x^2+y^2+z^2$. $4^k(8m+7)$ osztható néggyel tehát $x^2+y^2+z^2$ is, ami csak úgy lehet hogy x, y, z mindegyike páros. De ekkor az egyenlet mindkét oldalát néggyel osztva kapjuk hogy: $4^{k-1}(8m+7)={\left(\frac{x}{2}\right)}^2+{\left(\frac{y}{2}\right)}^2+{\left(\frac{z}{2}\right)}^2$, de ez ellentmond az indukciós feltétellel mivel $\left(\frac{x}{2}\right),\left(\frac{y}{2}\right),\left(\frac{z}{2}\right)$ pozitív egészek. A másik irány bizonyítása jóval nehezebb.

Kapcsolódó szócikkek

• kétnégyzetszám-tétel
• négynégyzetszám-tétel