Hadamard-szorzat

A matematikában a Hadamard-szorzat, más néven Schur-szorzat vagy elemenkénti szorzat egy kétváltozós művelet, aminek tényezői azonos dimenziójú mátrixok. A szorzatban álló elemek a tényezők megfelelő elemeinek szorzatai. Nevét a francia Jacques Hadamard vagy a német Issai Schur matematikusok után kapta. Jelölése $\circ$ szimbólummal történik.

Definíció

Legyenek A és B ugyanolyan dimenziójú, m×n-es mátrixok. Ekkor A és B Hadamard-szorzata, A∘B is m×n-es mátrix, és

$(A\circ B{)}_{i,j}=(A{)}_{i,j}\cdot (B{)}_{i,j}$.

Kifejtve:

$A\circ B=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\\ \end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \cdots & b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \cdots & b_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{m1}& b_{m2}& \cdots & b_{mn}\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}\cdot b_{11}& a_{12}\cdot b_{12}& \cdots & a_{1n}\cdot b_{1n}\\ a_{21}\cdot b_{21}& a_{22}\cdot b_{22}& \cdots & a_{2n}\cdot b_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}\cdot b_{m1}& a_{m2}\cdot b_{m2}& \cdots & a_{mn}\cdot b_{mn}\\ \end{array}\right)$

Nem azonos méretű mátrixokra a Hadamard-szorzást nem értelmezzük.

Tulajdonságai

• Kommutatív (a közönséges mátrixszorzástól eltérően): $A\circ B=B\circ A,$
• Asszociatív: $A\circ (B\circ C)=(A\circ B)\circ C,$
• Disztributív a mátrixok összeadására: $A\circ (B+C)=A\circ B+A\circ C.$
• Identitásmátrixa az m×n-es mátrixok halmazán az az m×n-es mátrix, aminek minden eleme 1. Ez különbözik a szokásos identitásmátrixtól. Egy mátrix Hadamard-invertálható, ha egyik eleme sem nulla.
• A $D_x$ és a $D_y$ átlós mátrixokra, és főátlójukra mint $x$ és $y$ vektorokra teljesül:

$x^{*}(A\circ B)y=\mathrm{t}\mathrm{r}(D_x^{*}A{D}_y{B}^T)$,

ahol $x^{*}$ az $x$ adjungáltja. Általában, csupa egy vektorokkal megmutatható, hogy a Hadamard-szorzat elemeinek összege egyenlő AB^T nyomával. Négyzetes A és B mátrixok Hadamard-szorzatának sorösszege éppen az AB^T főátlóján álló elemei:

$\sum _j(A\circ B{)}_{i,j}=(A{B}^T{)}_{i,i}$.

• A Hadamard-szorzat a Kronecker-szorzat principális részmátrixa.

Schur szorzástétele

Pozitív szemidefinit mátrixok Hadamard-szorzata is pozitív szemidefinit. Ez „Schur szorzástétele” néven ismert. Sőt, ha A és B pozitív szemidefinit, akkor

$\det (A\circ B)\ge \det (A)\det (B).$

Programozási nyelvekben

A Hadamard-szorzást egyes programozási nyelvek beépítetten tartalmazzák. A MATLAB nyelvben a .* számítja. Fortranban és Mathematicában egyszerűen a * jelöli, míg a közönséges mátrixszorzat rendre a matmul függvénnyel, illetve . jellel számítható. Pythonban a sympy szimbolikus matematikai függvénytár tartalmazza, az array() adattípushoz kapcsolódóan, míg a közönséges mátrixszorzáshoz a mátrix (matrix)osztályt kell használni. A kettő között beépített konverziókkal lehet váltani. Az Eigen C++ függvénytár rendszere hasonló. R-ben a Hadamard-szorzat alapértelmezett, a mátrixszorzás a matrix.A%*%matrix.B alakban valósítható meg.

Alkalmazása

A Hadamard-szorzatot veszteséges tömörítő algoritmusok használják, például a JPEG.