Redukciós formulák

A redukciós formulák bizonyos $I_n=\int f(x,n)dx$ alakú határozatlan integrálokra adnak rekurziót. Ezek a rekurziók gyakran jól alkalmazhatók bizonyos határozott integrálok kiszámítására.

Legfontosabb redukciós formulák

Trigonometrikus redukciós formulák

$\int {\sin }^{n}xdx=\frac{(n-1)}{n}\int {\sin }^{n-2}xdx-\frac{1}{n}{\sin }^{n-1}x\cos x$

$\int {\cos }^{n}xdx=\frac{(n-1)}{n}\int {\cos }^{n-2}xdx+\frac{1}{n}{\cos }^{n-1}x\sin x$

A két formula levezetése analóg, mi csak az elsőt mutatjuk be. Parciálisan integrálva:

$\int {\sin }^{n-1}x(-{{\cos }^{}}^{\prime }x)dx=-{\sin }^{}x\cos x+(n-1)\int {\sin }^{}x{\cos }^{}xdx$, ahol

$\int {\sin }^{n-2}x{\cos }^{2}xdx=\int {\sin }^{n-2}x(1-si{n}^{2}x),dx$.

Visszaírva és, rendezve:

$n\int {\sin }^{n-1}x(-{{\cos }^{}}^{\prime }x)dx=(n-1)\int {\sin }^{}xdx-{\sin }^{}x\cos x$, ami már maga a redukciós formula.

---

$\int \frac{dx}{(1+x^2{)}^n}$

$\int \frac{dx}{(1+x^2{)}^n}=\frac{1}{2n-2}\frac{x}{(1+x^2{)}^{n-1}}+\frac{2n-3}{2n-2}\int \frac{dx}{(1+x^2{)}^{n-1}}$

Hogy ezt belássuk, a számlálót írjuk át:

$\int \frac{dx}{(1+x^2{)}^n}=\int \frac{dx}{(1+x^2{)}^{n-1}}-\int \frac{x^2}{(1+x^2{)}^n}dx$

Parciálisan integrálva:

$\int \frac{x^2}{(1+x^2{)}^n}dx=\frac{1}{2n-2}[\frac{-x}{(1+x^2{)}^{n-1}}+\int \frac{dx}{(1+x^2{)}^{n-1}}]$, amit rendezve már a kívánt formulához jutunk.

---

$\int x^n{e}^{ax}dx$ Parciálisan integrálva kapjuk, hogy

$\int x^n{e}^{ax}dx=\frac{1}{a}[a{x}^n{e}^{ax}-n\int x^n{e}^{ax}dx]$

Alkalmazások

Trigonometrikus helyettesítéseknél

Irracionális függvények határozott integráljának a kiszámításakor gyakran alkalmazhatunk olyan trigonometrikus helyettesítést, ahol az integrandusz a helyettesítés után sin, vagy cos polinomja, és a határok $\frac{\pi }{2}$ többszörösei. Ekkor hasznos a következő két formula, amit a redukciós formulák alkalmazásával könnyen megkaphatunk:

$\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\sin }^{2n+1}xdx=\frac{2\cdot 4\dots 2n}{3\cdot 5\dots (2n+1)}$

$\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\sin }^{2n}xdx=\frac{1\cdot 3\dots (2n-1)}{2\cdot 4\dots (2n)}\cdot \frac{\pi }{2}$

Racionális törtfüggvények integrálásakor

Racionális törtfüggvény primitív függvényének a meghatározásakor a függvényt parciális törtekre bontjuk. A kapott összeadandók primitív függvényét zárt alakban megkaptuk, kivéve az $\int \frac{dx}{(x^2+1{)}^n}$ alakú tagokét. Hogy ezen tagok határozott integrálját is számolhassuk, redukciós formulát alkalmazunk:

$I_n=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{dx}{1+x^2}$

$I_n=\frac{1}{2n-2}[\frac{x}{(1+x^2{)}^{n-1}}{]}_a^b+\frac{2n-3}{2n-2}{I}_{n-1}=\frac{1}{2n-2}[\frac{x}{(1+x^2{)}^{n-1}}{]}_a^b+\frac{2n-3}{(2n-2)(2n-4)}[\frac{x}{(1+x^2{)}^{n-1}}{]}_a^b+\dots +\frac{(2n-3)!!}{(2n-2)!!}[\text{arc tg }x{]}_a^b$

Gamma-függvény

Felhasználva, hogy

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t}dt=1$,

az idevágó redukciós formulából adódik, hogy

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^n{e}^{-t}dt=n!$.

A gamma-függvény szokásos definíciójával egybevetve:

$\mathrm{\Gamma }(n+1)=n!$

Ugyanazt a parciális integrálást elvégezve, amit a vonatkozó redukciós formulánál elvégeztük kapjuk, hogy

$\mathrm{\Gamma }(x)=(x-1)\mathrm{\Gamma }(x-1)$.

Források

• Banach, S.: Differenciál- és integrálszámítás, Tankönyvkiadó, 1967